数学实验6的学习课件

数学实验6的学习课件第1页/共31页6.1古典概率定义定义假设某一实验满足下面的条件：

(1)它的全部可能结果只有有限个，设此数为N;(2)每个结果等可能出现，则一个恰好包含M个结果的事件A的概率定义为

P(A)=M/N甲、乙两位棋手棋艺相当。现在他们在一项奖金为1000元的比赛中相遇，比赛为五局三胜制。已经进行了三局的比赛，结果为甲二胜一负。现因故停止比赛，问如何分配这1000元比赛奖金才算公平？第2页/共31页平均分配对甲欠公平，完全归甲则对乙欠公平。那么合理的分法是按一定的比例分配而甲拿大头。一种看起来合理的分法是按已胜局数份，即甲拿2/3，乙拿1/3。这种分法合理吗？下面，在甲乙已经两胜一负的基础上，我们在计算机上模拟两位棋手以后的比赛，计算他们应得到的奖金。由于两位棋手棋艺相当，可假定他们在每一局的比赛中胜负机会各半。用产生0、1的随机函数Random[Integer]来决定。可用1表示甲胜，0表示乙胜。第3页/共31页第4页/共31页关于概率古典定义的几个模拟实验1).列举出同时抛掷三颗骰子的所有可能结果，比较掷出点数和为9与和为10，何者更容易。2).利用概率古典定义计算在抛掷一对骰子的实验中，哪种点数和出现的概率最大，那种点数和出现的概率最小？3).计算下列两事件的概率大小：抛四次骰子至少有一次出现一点；抛掷一对骰子24次至少有一次出现两个一点。

第5页/共31页第6页/共31页第7页/共31页Thenumberofsum2is1Thenumberofsum3is2Thenumberofsum4is3Thenumberofsum5is4Thenumberofsum6is5Thenumberofsum7is6Thenumberofsum8is5Thenumberofsum9is4Thenumberofsum10is3Thenumberofsum11is2Thenumberofsum12is1第8页/共31页几何概率在平面上的区域[-1，1]×[-1，1]中随意的选取一点，问“选取的点落在单位圆内“这个事件A的概率是多少？因为正方形内包含无限多个点，古典概率定义无法使用。于是，我们把“等可能性”概念安本问题的特点引申一下：正方形内相同的面积具有同样的概率。因此可以算出事件A的概率为P(A)=Pi/4这样算出的概率称为“几何概率”，因为它是基于几何图形的面积、体积、长度等算出来的。第9页/共31页计算实验二的蒲丰随机掷针试验中，针与线相交的概率设针的中点与最近直线的距离为ｘ和针与直线的夹角为ｙ．则当针与最近直线相交时有

在单位圆内随意的取一条弦，问“弦长超过该圆内接等边三角形的边长”这一事件的概率是多少？因为每一条弦的中点和圆的中心连线都和该弦垂直，由此规则，每个点可以确定一条弦。这样我们只需要随机选取一个点就等于选取了一条弦。第10页/共31页6.2概率的统计定义以骰子为例，定义古典概率时，要假定：（1）骰子的质料绝对均匀；（2）骰子是绝对的正方体；（3）掷骰子时离地面有充分的高度。实际中不可能达到上述要求。通过试验得到事件A1的概率：设反复投掷大量骰子的次数为ｎ次，若在这次抛掷中一点发生了m1次，则称m1/n为A1这个事件在这ｎ次试验中的频率。，概率的统计定义就是将m1/n作为事件A1的概率P(A1)的估计。第11页/共31页背景：当一个事件发生的可能性大（小）时，如果在同样条件下反复重复这个实验时，则该事件发生的频繁程度就大（小）。对于任何一组实验，频率不会恒等于一个数，但是对几乎任何一组实验，当ｎ趋于无穷时，频率m1/n趋向同一个数。p是区间[0,1]内任一实数,在该区间内取随机数λ，则λ≤p的概率应等于p。取n(=100,

1000,10000)个这样的λ,计算λ≤P的次数m，看m/n是否接近于p。

第12页/共31页(2)利用概率的统计定义，通过计算机模拟本实验练习２中的(1)--(3)。(3)利用例2的结果和概率的统计定义，通过计算机模拟估计π的值。

(4)用计算机进行下面的模拟：(i)在线段[0,1]中随机地取一点，共取n次。(ii)将该线段n等分，计算个小线段中含有的点数.(iii)计算小线段中恰含k(k取0,1,2,3,4,5)的概率。第13页/共31页第14页/共31页第15页/共31页第16页/共31页6.3二项分布与Poisson分布对于一个随机变量Ｘ，它取一个值ｘ就对应于某个事件，对于此事件就有一个概率值p(x),它是x的一个函数，我们称它为随机变量Ｘ的概率分布。考虑如下问题：将一枚硬币投掷5次，恰好等到2次国徽向上的概率是多少？投掷一颗骰子9次，恰好等到4个2点的概率是多少？盒中有2个红球和3个白球，有放回地随机取6次，恰好有2次取到红球的概率是多少？

第17页/共31页上面的几个问题都是下面这个问题的特例：设某事件A在一次试验中发生的概率为p。现把这个试验独立的重复n次，以X记A在这n次试验中发生的次数，求X恰好为k的概率。A发生则记为A，不发生则记为，若X正好等于k，必须在这n次试验的纪录中，有k个A,n-k个，每个A有概率p，而每个有概率1-p,又这n次试验是独立的，所以每个这样的纪录序列出现的概率是pk(1-p)n-k,这样的序列有个，所以X恰好为k的概率为第18页/共31页如果随机变量X的概率分布具有以上形式，则称X服从具有参数(n,p)的二项分布(Binomialdistribution)，记作Ｘ～Ｂ(n,p)。计算机模拟本节开始提出的三个问题。其中抛硬币可以用0-1随机数模拟；掷骰子可以用1-6的随机数模拟；摸球可以用1-5的随机数来模拟。对这三个试验用计算机模拟，看是否和理论值接近？下面用二项分布来导出另一重要分布：Poisson分布。第19页/共31页考虑在一定时间内某交通路口所发生的事故个数X，求X恰好为k的概率。为方便起见，设所观察的这段时间为[0,1)，取一个很大的自然数n，把时间[0,1)分为等长的n段：

I1=[0,1/n),I2=[1/n,2/n),…,Ij=[j-1/n,j/n),…,In=[n-1/n,1)现假定：1.在每段Ij内，恰发生一次事故的概率，近似的与这段时间的长度成正比，即可取为/n。又假定在n很大因而1/n很小时，在Ij这么短的时间内，要发生两次或两次以上事故是不可能的。因此,在Ij时段内不发生事故的概率为1-/n.第20页/共31页2.I1,

I2,…,In各段内是否发生事故是相互独立的。此时，在[0,1)时段内发生的事故数X就等于在n个时段I1,

I2,…,In内有事故发生的时段数，按1、2的假设，X应该服从二项分布B(n,/n).于是，严格讲，上式只是一个近似式，因为在假设1中，每个时间段内发生一次事故的概率只是近似等于/n,当n→∞时，就得到确切答案。因为当n→∞时有第21页/共31页

所以如果一个随机变量X的概率分布具有上式的形式，我们称X服从具有参数的Poisson分布，记为X～P().利用本节的知识解释本实验练习3(4)的结果.验证P(np)与X:B(n,p)当n很大而p很小时,两者近似,取定p:(i)对很大的n,是否认为X服从P(np);

(ii)对很大的n，取k=20，30，40，50，分别作出kP(np+（i-1）sqrt(n)/k<=X<np+i*sqrt(n)/k)的图形，进行观察。

第22页/共31页验证P(np)与X:B(n,p)当n很大而p很小第23页/共31页第24页/共31页取定p时第25页/共31页第26页/共31页6.4正态分布设T是在区间[0，1]内均匀分布的随机变量。T连续取n个值,记为t1,t2,...,计算X=(t1+t2+...+tn-0.5*n)/sqrt(n)为一次试验，共进行N次,结果记作X1,X2,…,XN.取一个短的区间长度d，对每一个正实数x，计算落在区间[x-d/2,x+d/2]内的Xi的个数Nx，以Nx/N作为随机变量X在点x的概率密度f(x)，取足够大的N和n，计算出足够多的f(x)