概率论第一节数学期望

概率论第一节数学期望第1页，共46页，2023年，2月20日，星期五一、随机变量的数学期望三、数学期望的性质二、随机变量函数的数学期望四、小结第一节数学期望(mathematicalexpectation)第2页，共46页，2023年，2月20日，星期五试问哪个射手技术较好?例1

谁的技术比较好?乙射手甲射手第3页，共46页，2023年，2月20日，星期五数学期望（均值）

—描述随机变量平均取值的情况。

例一批钢筋共有10根，抗拉强度指标为120和130的各有2根、125的有3根、110、135、140的各有1根，则它们的平均抗拉强度指标为

可见，平均抗拉强度指标并不是这10根钢筋所取到的6个值的简单平均，而是取这些值的次数与试验总次数的比值（频率）为权重的加权平均。第4页，共46页，2023年，2月20日，星期五1.离散型随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望

第5页，共46页，2023年，2月20日，星期五关于定义的几点说明(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正平均值,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.第6页，共46页，2023年，2月20日，星期五试问哪个射手技术较好?例1

谁的技术比较好?乙射手甲射手第7页，共46页，2023年，2月20日，星期五解平均起来甲射手每枪击中9.3环,乙射手每枪击中9.1环.因此甲射手的本领要高一些.甲射手乙射手第8页，共46页，2023年，2月20日，星期五例2

二项分布则有

设随机变量X服从参数为n,p二项分布,其分布律为第9页，共46页，2023年，2月20日，星期五则两点分布b(1,p)的数学期望为p.=np第10页，共46页，2023年，2月20日，星期五例3

泊松分布

则有第11页，共46页，2023年，2月20日，星期五2.连续型随机变量数学期望的定义定义第12页，共46页，2023年，2月20日，星期五

设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间

X(以分计)服从指数分布,其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间?解因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.例4

顾客平均等待多长时间?第13页，共46页，2023年，2月20日，星期五例5

均匀分布则有结论

均匀分布的数学期望位于区间的中点.第14页，共46页，2023年，2月20日，星期五例6

指数分布

则有第15页，共46页，2023年，2月20日，星期五例7

正态分布则有第16页，共46页，2023年，2月20日，星期五第17页，共46页，2023年，2月20日，星期五例

(书）设随机变量X服从柯西分布,其密度函数为求E(X).解:

由于此积分不存在因此柯西分布的数学期望不存在.第18页，共46页，2023年，2月20日，星期五若X为离散型随机变量，分布律为Y=f(X)为X的函数则Y的期望为1.离散型随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望第19页，共46页，2023年，2月20日，星期五解例8

求:第20页，共46页，2023年，2月20日，星期五2.连续型随机变量函数的数学期望若X是连续型的,它的分布密度为f(x)则第21页，共46页，2023年，2月20日，星期五第22页，共46页，2023年，2月20日，星期五第23页，共46页，2023年，2月20日，星期五第24页，共46页，2023年，2月20日，星期五3.二维随机变量函数的数学期望第25页，共46页，2023年，2月20日，星期五解例11设(X,Y)的分布律为由于第26页，共46页，2023年，2月20日，星期五第27页，共46页，2023年，2月20日，星期五第28页，共46页，2023年，2月20日，星期五第29页，共46页，2023年，2月20日，星期五第30页，共46页，2023年，2月20日，星期五第31页，共46页，2023年，2月20日，星期五三、数学期望的性质(1)

设C为常数，则有E(C)=C(2)

设X是一个随机变量，C为常数，则有(4)

设X，Y是相互独立的随机变量，则有

(3)设X1，X2,…,Xn是n个随机变量，a1，a2,…,an

为实数，则有第32页，共46页，2023年，2月20日，星期五解例14第33页，共46页，2023年，2月20日，星期五第34页，共46页，2023年，2月20日，星期五四、小结数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值.2.数学期望的性质第35页，共46页，2023年，2月20日，星期五3.常见离散型随机变量的数学期望第36页，共46页，2023年，2月20日，星期五4.常见连续型随机变量的数学期望第37页，共46页，2023年，2月20日，星期五根据生命表知,某年龄段保险者里,一年中每个人死亡的概率为0.002,现有10000个这类人参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.问每人一年须交保险费多少元?例1

你知道自己该交多少保险费吗?备份题第38页，共46页，2023年，2月20日，星期五解设1年中死亡人数为X,被保险人所得赔偿金的期望值应为若设每人一年须交保险费为a元,第39页，共46页，2023年，2月20日，星期五由被保险人交的“纯保险费”与他们所能得到的赔偿金的期望值相等知故每人1年应向保险公司交保险费4元.第40页，共46页，2023年，2月20日，星期五解例2

某大学二年级学生进行了一次数学统考,设其成绩

X服从

N(75,9)的正态分布,试求学生成绩的期望值.第41页，共46页，2023年，2月20日，星期五解例3