全等三角形几种常见辅助线精典题型

PAGEPAGE4全等三角形几种常见辅助线精典题型一、截长补短1、已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．2、如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?3、如图，AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=，AD=，CB=，∠AMD=75°，∠BMC=45°，求AB的长。4、已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.5、以的、为边向三角形外作等边、，连结、相交于点．求证：平分．6、如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．7、如图所示，在中，，是底边上的一点，是线段上的一点，且，求证.五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE参考答案：一、截长补短1、，理由是：在上截取，连结，利用证得≌，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，利用证得≌，∴，∴．2、.过点作交于点，，∴又∵，∴，而，∴，∴．过点D作BC的垂线，垂足为E.∵∠AMD=75°，∠BMC=45°∴∠DMC=60°∵DM=CM∴CD=DM∵AD⊥AB，DE⊥BC，CB⊥AB，∠AMD=75°∴∠ADM=∠EDC∴△ADM≌△CDE∴AD=DE故ABED为正方形，AB=AD=，选D.4、延长CB至M，使得BM=DF，连接AM.∵AB=AD，AD⊥CD，AB⊥BM，BM=DF∴△ABM≌△ADF∴∠AFD=∠AMB，∠DAF=∠BAM∵AB∥CD∴∠AFD=∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAE+∠BAM=∠EAM∴∠AMB=∠EAM∴AE=EM=BE+BM=BE+DF.5、因为、是等边三角形，所以，，，则，所以，则有，，．在上截取，连结，容易证得，．进而由．得；由可得，即平分．6、如图所示，延长到使.在与中，因为，，，所以，故.因为，，所以.又因为，所以.在与中，，，，所以，则，所以的周长为.7、如图所示，作的平分线交于，又过作交于，交于，则知，从而.又，则.由可得.注意到，故有，从而，，于是.又由，有，，且.而，从而，即，故.8、延长DE至F，使得EF=BC，连接AC.∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°∴∠ABC=∠AEF∵AB=AE，BC=EF∴△ABC≌△AEF∴EF=BC，AC=AF∵BC+DE=CD∴CD=DE+EF=DF∴△ADC≌△ADF∴∠ADC=∠ADF即AD平分∠CDE.二、全等与角度1、如图所示，延长至使，连接、.由知，而，则为等边三角形.注意到，，，故.从而有，，故.所以，【另解】在上取点，使得，则由题意可知.在和中，，，，则，从而，进而有，，.注意到，则：，故.【点评】由已知条件可以想到将折线“拉直”成，利用角平分线可以构造全等三角形.同样地，将拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.2、过作的平行线交于，连接交于.连接，易知、均为正三角形.因为，，，所以，，，则，，故.从而.进而有，3、如图所示，连接.因为，，，则，故.而，，，因此，故.4、在中，由可得，.如图所示，作于点，延长交于点，连接，则有，，，