人教中考数学平行四边形-经典压轴题及答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.己知，在矩形ABCD中，AB=a,BC=b,动点M从点A出发沿边AD向点D运动.图1 图2 图3（1）如图1,当b=2a,点M运动到边AD的中点时，请证明NBMC=90。；（2）如图2,当b>2a时，点M在运动的过程中，是否存在NBMC=90。，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3,当bV2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析；（3）不成立.理由如下见解析.【解析】试题分析：（1）由b=2a,点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a,又由四边形ABCD是矩形，即可求得NAMB=NDMC=45。，则可求得NBMC=90。；（2）由NBMC=90。，易证得△ABM〜△DMC,设AM=x,根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程:x2-bx+a2=O,由b>2a,a>0,b>0,即可判定△>0,即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；（3）由（2）,当bV2a,a>0,b>0,判定方程x?-bx+a2=0的根的情况，即可求得答案.试题解析：（1）b=2a,点M是AD的中点，/.AB=AM=MD=DC=a,又「在矩形ABCD中，ZA=ZD=90°,ZAMB=ZDMC=45°,/.ZBMC=90°.（2）存在，理由：若NBMC=90。，则NAMB+ZDMC=90°,又•••ZAMB+ZABM=90°,/.ZABM=ZDMC,又NA=ND=90°,「.aABM~△DMC,AMAB…CD=DM*、门 rn.X4设AM=x,则一= ,ab-x

整理得:X2-bx+a2=0,b>2a,a>0,b>0,・•・△=b2-4a2>0,••.方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，・•・当b>2a时，存在NBMC=90°,(3)不成立.理由：若NBMC=90。，由(2)可知x2-bx+a2=0,b<2a,a>0,b>0,/.△=b2-4a2V0,•••方程没有实数根，.•.当bV2a时，不存在<BMC=90。,即(2)中的结论不成立.考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质2.问题发现：(1)如图①，点夕为平行四边形A6c。内一点，请过点夕画一条直线/,使其同时平分平行四边形A5C。的面积和周长.问题探究：(2)如图②，在平面直角坐标系X。》中，矩形。46c的边。4、OC分别在x轴、了轴正半轴上，点8坐标为(8,6).己知点P(6,7)为矩形外一点，请过点夕画一条同时平分矩形。46c面积和周长的直线/,说明理由并求出直线/,说明理由并求出直线/被矩形截得线段的长度.问题解决：(3)如图③，在平面直角坐标系X。)，中，矩形。4BCO的边。4、分别在工轴、丁轴正半轴上，OC//X轴，A5〃>轴，且。4=8=8,AB=CD=2,点、PQ0-5«、10-5&)为五边形内一点.请问：是否存在过点夕的直线/,分别与边。4与6c交于点七、F，且同时平分五边形。488的面积和周长?若存在，请求出点后和点尸的坐标：若不存在，请说明理由.o【答案】(1)作图见解析：(2)o【答案】(1)作图见解析：(2)y=2x—5,3";(3)E(0,0),F(5,5).【解析】试题分析：（1）连接AC、BD交于点0,作直线P0,直线P0将平行四边形ABCD的面积和周长分别相等的两部分.（2）连接AC,BD交于点O',过O'、P点的直线将矩形ABCD的面积和周长分为分别相等的两部分.（3）存在，直线＞=X平分五边形。钻8面枳、周长.试题解析：（1）作图如下：.・尸(6,7),0(4,3),一.设尸O':y=爪+6,6k+b=7k=2%+/?=3'{〃=-5’/.y=2x-5,(5A交x轴于N-,0,/f11A交6C于M—,6,I，/(3)存在，直线)'=x平分五边形。ABC。面积、周长.PQO——5JI)在直线)'=x上，••连OP交OA、BC于点、E、F,设5C:y=Ax+b,B(8,2)C(2,8),8k+b=2k=一1^2k+=8' =10・.直线6C:y=—x+10,3.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到夕的位置，AB，与CD交于点E.(1)求证：△AED之△CEB'(2)若AB=8,DE=3,点P为线段AC上任意一点，PGJLAE于G,PHLBC于H.求PG+【答案】(1)证明见解析：(2)土【解析】【分析】(1)由折叠的性质知，CB'=BC=AD,乙乙D=90。，乙B,EC=5EA,则由/1/1S得至［j△AED=△CEB，.(2)由△"EDWACEB：可得EZT=°E=3,又由“8=8,即可求得力后的长，然后在立△/!/)£中，利用勾股定理即可求得AD的长，再过点P作于K,由角平分线的性质，可得PK=PG,易证得四边形八小正是矩形，继而可求得答案.【详解】.J四边形/Be。为矩形，•••CB'=BC=ADLB=乙B'=£D=90°9 ，又•••2B'EC=LDEA,△AED=△CEB,.⑵,:△AED=△CEB；・••EB'=DE=3■:AB1=AB=8•••AE=AB1-EBf=8^3=5在/?£△/!/）£中，AD=x；AE2-DE2=49过点P作PK〉®于勺■:LBlAC=LBACPGLAE9 9•・PK=PG••PHLCDABUCD,•・PH1AB••H、P、K共线，••（D=乙KHD=^HKA=90°•・四边形/D〃K是矩形，•・HK=AD=4•・PG+PH=PK+PH=HK=4•【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.4.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A,B的坐标分别为（4,0）,（4,3）,动点M,N分别从0,B同时出发.以每秒1个单位的速度运动.其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动.过点M作MP_LOA,交AC于P,连接NP,已知动点运动了x秒.（1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）；（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面枳S的最大值及相应的x值：3【答案】（1）P点坐标为（x,3-1x）.3S的最大值为彳，此时x=2.4 16 12Sx=-,或x=—,或x=——3 9 57【解析】试题分析：(1)求P点的坐标，也就是求0M和PM的长，己知了0M的长为x,关健是求出PM的长，方法不唯一，①可通过PMII0C得出的对应成比例线段来求；②也可延长MP交BC于Q,先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和NACB的正切值求出PQ的长，然后根据PM=AB-PQ来求出PM的长.得出0M和PM的长，即可求出P点的坐标.(2)可按(1)②中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BC-BN来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S,x的函数关系式.(3)本题要分类讨论：①当CP=CN时，可在直角三角形CPQ中，用CQ的长即x和NABC的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值；②当CP=PN时，那么CQ=QN,先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CN-CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值.③当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN的长，联立CN的表达式即可求出x的值.试题解析：(1)过点P作PQ_LBC于点Q,有题意可得:PQHAB,△CQP~△CBA,QPAB-QC~1COP3■・・ =—x4解得:QP=-x,4/.PM=3--x,4由题意可知，C(0,3),M(x,0),N(4-x,3),P点坐标为(x,3-—x).4(2)设ANPC的面积为S,在4NPC中，NC=4-x,NC边上的高为:X,其中，0<x<4.4，，/.S=—(4-x)x—x=(-x2+4x)4S・•.S的最大值为2,此时x=2.7(3)延长MP交CB于Q,则有PQ_LBC.①若NP=CP,•/PQ±BC,「•NQ=CQ=x./.3x=4,4x=-♦3②若CP=CN,则CN=4-x,PQ=x,CP=jx,4-x=jx,16*-x=—；9③若CN=NP,贝l]CN=4-x.rJ「PQ=-x,NQ=4-2x,/在RtAPNQ中，PM=NQ2+PQ2,.・.(4-x)2=(4-2x)2+(-x)4考点：二次函数综合题.5.如图①，在等腰中，ABAC=90,点E在4c上(且不与点4C重合)，在△ABC的外部作等腰必△CE。，使NCEO=90'，连接AD,分别以48,4D为邻边作平行四边形A8FD,连接八F.(1)请直接写出线段八F,AE的数量关系；⑵①将晶七。绕点C逆时针旋转，当点E在线段8c上时，如图②，连接4E,请判断线段4F,AE的数量关系，并证明你的结论；②若AS=2/，CE=2,在图②的基础上将△CEO绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形4BF。为菱形时，直接写出线段4E的长度.

【答案】(1)证明见解析：⑵①AF=&E②4a或2vL【解析】【分析】(1)如图①中，结论：AF二&E，只要证明aAEF是等腰直角三角形即可;(2)①如图②中，结论：AF=&AE，连接EF,DF交BC于K,先证明△EKF2△EDA再证明aAEF是等腰直角三角形即可；②分两种情形a、如图③中，当AD=AC时，四边形ABFD是菱形.b、如图④中当AD=AC时，四边形ABFD是菱形•分别求解即可.【详解】(1)如图①中，结论：AF二&AE.图①理由：•四边形ABFD是平行四边形,/.AB=DF，vAB=AC,AC=DF，vDE=EC,/.AE=EF»”EC=NAEF=90，「.△AEF是等腰直角三角形，AF=-x/2AE.故答案为AF=JlAE.（2）①如图②中，结论：AF=V2AE-图②理由：连接EF,DF交BC于K..•四边形ABFD是平行四边形，.•.AB//DF，/.CKE=NABC=45。，/.ZEKF=180-^DKE=135°,EK=ED,/ADE=180-ZEDC=180-45,=135°,.•.^EKF=NADE,.•/DKC=/C,.-.DK=DC,.・DF=AB=AC,.•.KF=AD,在^EKF和aEDA中，EK=EDZEKF=ZADE,KF=AD.,.△EKF=△EDA，.•.EF=EA,^KEF=NAED，^FEA="ED=90，「.△AEF是等腰直角三角形，.*.AF=V2AE.②如图③中，当AD=AC时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H,易知EH=DH=CH="AH="2后-（必、=3无，AE=AH+EH=4>/1，

A.图④综上所述，满足条件的AE的长为4&或2虚.【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关健是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型.6.己知AD是△ABC的中线P是线段AD上的一点（不与点A、D重合），连接PB、PC,E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，AD与EF交于点M；（1）如图1，当AB=AC时，求证：四边形EGHF是矩形;(2)如图2,当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与4BPE面积相等的三角形(不包括仆BPE本身).【答案】(1)见解析；(2)△APE.△APF.△CPF.△PGH.【解析】【分析】(1)由三角形中位线定理得出EGIIAP,EFIIBC.EF=-BC,GHIIBC,GH=-BC,推出2 2EFIIGH,EF=GH,证得四边形EGHF是平行四边形，证得EF_LAP,推出EF_LEG,即可得出结论；(2)由△APE与△BPE的底AE=BE,又等高，得出入ape=Sabpe,由△APE与△APF的底EP=FP,又等高，得出Saape=Saapf,由△APF与4CPF的底AF=CF,又等高，得出Saapf=Sacpf,证得△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，推出PGH=-aEF=SaAPF,即可得出结果.2【详解】(1)证明：・••£、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，1 1「•EGIIAP,EFIIBC,EF=—BC,GHIIBC,GH=-BC,2 2AEFIIGH,EF=GH,••・四边形EGHF是平行四边形，AB=AC,AD±BC,EF_LAP,,/EGIIAP,・•.EF±EG,・•・平行四边形EGHF是矩形；「£是4APB的中线，△APE与△BPE的底AE=BE,又等高，SaAPE=5△BPEt,/AP是〉AEF的中线,.・.△APE与AAPF的底，EP=FP,又等高，SaAPE=SaAPF，SaAPF=S△BPEt,/PF是^APC的中线,.・.△APF与△CPF的底AF=CF,又等高，SaAPF=SaCPF，SaCPF=SaBPE，•/EFIIGHIIBC,E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点,・.△AEF底边EF上的高等于△ABC底边BC上高的一半，△PGH底边GH上的高等于△PBC

底边BC上高的一半，:•*PGH底边GH上的同等于△AEF底边EF上局的一•半，,/GH=EF,,1SaPGH=—SaAEF=SaAPF,2综上所述，与△BPE面枳相等的三角形为：ZkAPE、△APF>△CPF.△PGH.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形面枳的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键.7.如图①，四边形A5CO是知形，AB=1,BC=2,点七是线段6c上一动点（不与3C重合），点尸是线段延长线上一动点，连接。旦所,。£所交AO于点G.设BE=x,AF=y,已知》与工之间的函数关系如图②所示.图① 图②（1）求图②中）'与x的函数表达式；（2）求证:DE1DF；（3）是否存在x的值，使得△OEG是等腰三角形?如果存在，求出x的值;如果不存在，说明理由【答案】（1）y=-2x+4（0VxV2）；（2）见解析；（3）存在，x=』或‘一"或4 2 2【解析】【分析】（1）利用待定系数法可得V与x的函数表达式；（2）证明△ △ADF,得N40F=NCDE,可得结论；（3）分三种情况：①若DE=DG,则NDGE=4DEG,②若DE=£G,如图①，作EHIICD,交AD于H,③若DG=EG,则NGDE=Z.GED,分别列方程计算可得结论.【详解】（1）设y=H+b,由图象得：当X=1时，y=2,当x=0时，y=4,[k+b=2 (k=-2代入得：4)，得< 」，Z?=4g=4/.y=-2x+4(0<x<2)；(2)BE=x,BC=2・•・CE=2-x,CE2-x 1CD1• AF-4-2x_2，AD-21CECD■ ,■~af~~ad'•・四边形八BCD是矩形，•・ZC=ZDAF=90\•・△CDE〜△ADF,•・NADF=NCDE,•・ZADF+NEDG=4CDE+NEDG=90\•・DE工DF；(3)假设存在x的值，使得△OEG是等腰三角形，①若DE=DG9则NDGE=NDEG,••四边形八8CD是矩形，•・AOII8C,Z8=90。，ZDGE=Z.GEB,ZDEG=NBEG,在ADEF和ABEF中，ZFDE=ZBZDEF=ZBEF,EF=EF・•・△DEFW△BEF(AAS),/.DE=BE=x,CE=2-x,.•.在RSCDE中，由勾股定理得：1+(2-x)2=x2,5x=—：4②若DE=EG,如图①，作EHIICD,交AD于H,（图①）TA。II8C,EHIICD,・・.四边形CDHE是平行四边形,ZC=90°,四边形CDHE是矩形，，EH=CD=1,DH=CE=2・x,EH工DG,HG=DH=2・x,/.AG=2x-2,•/EHIICD,0cliAB.「•EHIIAF9△EHG~△FAG..EH_HG■'~AF=~\G', 1 _2-x"4-2x~2x-2,.•.8=三叵,x,=土在（舍），1 2 - 2③若DG=EG,则NG0E=NGED,「A。IIBC,•.ZGDE=NDEC,•・ZGE0=NDEC,/ZC=ZEDF=90。,CDE〜△DFE,CEDE'■~cd~~df'CDE-△ADF,DECD1• "'DF~~AD~2,.CE1TOC\o"1-5"\h\z•- =一，CD232-x=『x=~,综上，x=g或上叵或4 2 2【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等的性质和判定，矩形和平行四边形的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键.8.如图1,已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE,GC.⑴试猜想AE与GC有怎样的关系（直接写出结论即可）；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2,连接AE和【答案】⑴AE=CG,AE±GC；（2）成立，证明见解析：⑶.【解析】【分析】（1）观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明.由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得△ADE2△CDG,则N1=N2,由于N2、N3互余，所以N1、N3互余，由此可得AE_LGC.（2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证△ADE2△CDG,得N5=Z4,由于N4、N7互余，而N5、N6互余，那么N6=/7：由图知NAEB=NCEH=90。-Z6,即N7+NCEH=90。，由此得证.（3）如图3中，作CM_LDG于G,GN_LCD于N,CH_LFG于H,则四边形CMGH是矩形，可得CM=GH,CH=GM.想办法求出CH,HF,再利用勾股定理即可解决问题.【详解】（1）AE=CG,AE±GC：证明：延长GC交AE于点H,在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD=DC,ZADE=ZCDG=90°,DE=DG,「.△ADE登△CDG(SAS),AE,CG,Z1=Z2/Z2+Z3=90",••Z1+Z3=90%zAHG=180°-(Z1+Z3)=180°-90°=90%AE±GC.(2)答：成立：证明：延长AE和GC相交于点H,图2尸在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD=DC,DE=DG,ZADC=ZDCB=ZB=ZBAD=ZEDG=90%•・Z1=Z2=90°-N3；「・△ADE里△CDG(SAS),/.AE=CG,Z5=Z4；又「Z5+Z6=90%Z4+Z7=180°-ZDCE=180°-90°=90°,N6=N7,又•・•N6+NAEB=90°,NAEB=NCEH,•・ZCEH+Z7=90%•・ZEHC=90°,AE±GC.⑶如图3中，作CMJ»DG于G,GNLCD于N,CHLFG于H,则四边形CMGH是矩形，可得CM=GH,CH=GM.图3/BE=CE=1,AB=CD=2,・AE=DE=CG=DG=FG=75，「DE=DG,NDCE=NGND,NEDC=NDGN,「・△DCE垩△GND(AAS),「・GCD=2,TOC\o"1-5"\h\z1 1dcg=—・CD・NG=一・DG・CM,2 22x2=75<M,5MG=CH=^CG2-CM2= ，

FH=FG-FG=FH=FG-FG=^=y/FH2+CH2=借）、（哈"口故答案为JI.【点睛】本题属于四边形综合题，考杳了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题.9.（1）如图1,将矩形A5CD折叠，使5c落在对角线6。上，折痕为8E,点。落在点C'处，若NAQ8=42°，则4心石的度数为、（2）小明手中有一张矩形纸片A5CQ,A8=4，AD=9.（画一画）如图2,点上在这张矩形纸片的边AO上，将纸片折叠，使A8落在CE■所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AO,8C上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；DCDC£2（算一算）如图3,点尸在这张矩形纸片的边6C上，将纸片折叠，使必落在射线尸。7上，折痕为G尸，点A,6分别落在点4,夕处，若AG=',求夕。的长.【答案】（1）21；（2）画一画；见解析；算一算：B'D=3【解析】【分析】（1）利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题；（2）【画一画】，如图2中，延长BA交CE的延长线由G,作NBGC的角平分线交AD于M,交BC于N,直线MN即为所求；720【算一算】首先求出GD=9-；=＜，由矩形的性质得出ADIIBC,BC=AD=9,由平行线的3 3

性质得出NDGF二NBFG,由翻折不变性可知，NBFG=NDFG,证出NDFG=NDGF,由等腰三20角形的判定定理证出DF二DG二一，再由勾股定理求出CF,可得BF,再利用翻折不变性，3可知FB'=FB,由此即可解决问题.【详解】(1)如图(1)如图1所示:・・・四边形ABCD是矩形,/.ADIIBC,/.ZADB=ZDBC=42",由翻折的性质可知，Z由翻折的性质可知，Z1

DBE=ZEBC=-ZDBC=21°,

2故答案为21.(2)【画一画】如图所示:【算一算】如3所示:•/AG=-,AD=9,•/AG=-,AD=9,3720gd=9--=——,3 3丁四边形ABCD是矩形,ADIIBC,BC=AD=9,

ZDGF=ZBFG,由翻折不变性可知,NBFG=NDFG,ZDFG=ZDGF,20「•df=dg=——，3・「CD=AB=4,ZC=90%.•.在R3CDF中，由勾股定理得：CF=y/DF2-CD2=yj-42=y，1611.・.BF=BC-CF=9——=—,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 3由翻折不变性可知，FB=FB=一，3, ,20B