课改后全国数学高考试题4

2.以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为

A.x+y2+2x=0B.x2+y2+x=0C.x2+y-x=0D.x2+y-2x=0

3.设等差数列｛an｝前n项和为S”.若ai=-11,a.i+a6=-6，则当S：取最小值时，n等于

A.6B.7C.8D.9

幺+23—3,才二0

4.函数f(x)=[-2+lnx,x>0的零点个数为

A.0B.1C.2D.3

5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于

A.2B.3C.4D.5

/利4/

经束

6.如图，若Q是长方体ABCD-ABCD被平面EFGH截去几何体EFGHBC后得

到的几何体，其中E为线段AB上异于今的点，F为线段BBi上异于R的点,

且EH〃AiD,,则下列结论中不正确的是

A.EH〃FGB.四边形EFGII是矩形

C.Q是棱柱D.Q是棱台

Y(第6白图)

7.若点0和点F(-2,0)分别为双曲线七->2=1(a〉0)的中心和左焦点，

a-

点P为双曲线右支上的任意一点，则近而的取值范围为

A.[3-26，+8)B.[3+2^3,)C.[—,+8)D.[―,+8)

44

1,

<x-2y+3之0,

8.设不等式组歹之天所表示的平面区域是园,平面区域A与旦关于直线3x-4y-9

对称.对于R中的任意点A与鼻中的任意点B,|AB|的最小值等于

2812

A.—B.4C.—D.2

55

9.对于复数a,b,c,d,若集合S=｛a,b,c,d｝具有性质”对任意x,y€S,必有xywS”，则

a=L

<1=1,

当卜*=a时，b+c+d等于

A.1B.-1C.0D.i

10.对于具有相同定义域I)的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,b为常数),

0</(%)-A(x)<m',

<

对任给的正数m,存在相应的x°wD,使得当xeD且x>x。时，总有l℃(x)-g⑶〈丸则

称直线1：y=kx+b为曲线y=f(x)与y=g(x)的“分渐近线”.给出定义域均为D={x|x>1}

的四组函数如下：

/-2犬一3

①f(x)=x?,晨x)=4x;②f(x)=10'+2,g(x)=------;

x

2

③f(x)二^r-i4-,1g(x)=rlnr+1;@f(x)=/(幻=三，g(x)=2(x-l-ex).

xInxx+1

其中，曲线尸f(x)与尸g(x)存在“分渐近线”的是

A.①④B.②③C.②④D.③④

第n卷(非选择题共io。分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

11.在等比数列{aj中，若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式a“()

12.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于().

13.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问

题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题

的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于().

JT

14.已知函数f(x)=3sin(0x—-)(6y>0)和g(x)=2cos(2x+P)+l的图像的对称轴完全相

6

同.若XW0,色，则f(x)的取值范围是().

_2_

15.已知定义域为(0,+oo)的函数f(定满足:(1)对任意xw(0,+8),恒有f(2x)=2f(x)

成立；(2)当xe(1,2］时,f(x)=2-x.给出结论如下：

①对任意meZ,有f(2*)=0；②函数f(x)的值域为［0,+8)；③存在neZ,使得f(2"+l)=9;

④''函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在keZ,使得(a,b)C(2k,2k")

其中所有正确结论的序号是().

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分13分)设S是不等式x2-x-6W0的解集，整数m,n€S.

(I)记”使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举A包含的基本事件；

(II)设求？的分布列及其数学期望Ej.

17.(本小题满分13分)己知中心在坐标原点0的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2.0)

为其右焦点.(I)求椭圆C的方程；

(II)是否存在平行于0A的直线L,使得直线L与椭圆C有公共点，且直线0A与L的距离

等于4?若存在，求出直线L的方程；若不存在，说明理由.

18.(本小题满分13分)如图，圆柱00i内有一个三棱柱ABC-AB一一....-

三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆0的直径.

(I)证明：平面AMC」平面RBC3；

(II)设AB=AAi.在圆柱00i内随机选取一点，记该点取自于

三棱柱ABC-A3G内的概率为P.

(i)当点C在圆周上运动时，求P的最大值；

(ii)记平面AiACG与平面BQC所成的角为6(0°<6<90°).当P取最大

值时，求cos6的值.

19.(本小题满分13分)某港口0要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在

小艇出发时，轮船位于港口0北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/

小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.

(I)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(II)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向

和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.

20.(本小题满分14分)(I)已知函数f(x)=xCx，其图像记为曲线C.(1)求函数f(x)

的单调区间；(2)证明：若对于任意非零实数Xj曲线C与其在点R(xi,f(x。),处的切线

交于另一点P2(X2,f(X2)),曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(X3,f(X3)),线段PtP2.

P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为Sl,S2,则立为定值；

(II)对于一般的三次函数g(x)=ax、bx2+cx+d(a。0),请给出类似于(I)(ii)的正确命

题，并予以证明.

21.本题设有(1)(2)(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如

果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号

涂黑，并将所选题号填入括号中.

(1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵M=(61),N=(°"1且MN=(-2o).(J)求实数a,b,c,d的值：(II)求

直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程.

(2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线L的参数方程为(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy

取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为P=2j^sin6.

(I)求圆C的直角坐标方程；

(II)设圆C与直线L交于点A,B.若点P的坐标为(3,V5),求IPA|+|PB|.

(3)(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲

己知函数f(x)=|x-a|(I)若不等式f(x)W3的解集为{尤卜13<5},求实数a的

值：(H)在(I)的条件下，若f(x)+f(x+5)2m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范

围.参考答案

一'选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分50分.

1.A2.D3.A4.C5.C6.D7.B8.B9.B10.C

二'填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分20分.

11.4"T12.6+2V313.0.12814.--,315.©(2)(4)

_2_

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查

分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想.满分13分.

解：(I)由*2一x—6W0得—2即5=卜|一24》43}

由于北〃wZ,S且加+〃=0,所以A包含的基本事件为：

(-2,2),(2-2),(-1,1),(1,-1),(0,0)

(II)由于m的所有不同取值为-2,-1,0,1,2,3,所以J=m2的所有不同取值为0,1,4,9,

i9iQii

且有PC=O)=N，P^=\)=-=-,^=4)=-=-.=9)=-

oo563o

故4的分布列为：

J。149

p2£2

6336

所以EJ=0XL+1X!+4X』+9X1=^

63366

17.本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数

与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.满分13分.

解法一：

22

(I)依题意，可设椭圆C的方程为0+5=1(a>b〉0),且可知左焦点为b'(-2,0)

ab

从而有<「c=2解得Y「c=2

I2a=\AF\+\AF'|=3+5=8,1a=4

又1+/=。2,所以/=12,故椭圆C的方程为—+^=1

1612

3

(II)假设存在符合题意的直线/,其方程为y九+/

3

由厂y=-x+t得3/+3次+产-12=0

2

72

xy1

—+—=1

L1612

因为直线/与椭圆C有公共点，所以八二。〃)—4x3(产一12)20,

解得一

另一方面，由直线0A与/的距离d=4可得=4,从而r=±2屈.

由于±2任［-46,4月］,所以符合题意的直线/不存在.

解法二:

(I)依题意，可设椭圆C的方程为——+=1(a>b>0),且有:

a2h2

49.

7+F=1解得从=12或从=-3(舍去).从而/=16

a2-b2-4

(II)同解法一

18.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积

几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结

合思想、化归与转化思想、必然与或然思想.满分13分.

解法一：

(I)平面ABC,BCu平面ABC,/.A,AIBC

•••A8是圆0的直径，/.BC±AC

又ACr)AA=A,平面

而BCu平面B{BCCX,

所以平面4ACG-L平面区BCC[.

(II)(i)设圆柱的底面半径为r,则A8=A4=2r

故三棱柱ABC_AB,C,的体积

V.=-ACBC-2r=ACBCr

12

又•••+=AB2=4r2

ACBC<A，*次-=2r2

2

当且仅当AC=BC=V2r时等号成立.

从而，匕W2,，而圆柱的体积

V2r31

V=勿"2-2r=2勿尸，故p=—<=—，当

V22m3兀

且仅当AC=8C=后厂，即OC_LA8时等号成立.所以，p的最大值等于,

71

(ii)由(i)可知，p取最大值时，0CJ_A8

于是，以0为坐标原点，建立空间直角坐标系。-孙z(如图)，

则C(r,O,O),B(0,r,0),⑸(0,r,2r)BC_L平面4ACG•.元=(/，-「，°)是平

面AtACCt的一个法向量,设平面B、OC的法向量n=(x,y,z),

由｛塌得厚匕。故｛/A

取z=l,得平面与0C的一个法向量为

n=(0-2,1),0°<"90°,

解法二：

(I)同解法一(11)(i)设圆柱的底面半径为r,则4?==2r,故三棱柱/用弓

的体积匕=」ACBC-2r=ACBCr,设N8AC=a(0°<a<90°),则

2

AC=ABcosa=2rcos6Z,8C=ABsina=2rsina，由于

AC-BC=4r2sinacosa=2r2sin2a<2r2,当且仅当sin2a=1即a=45°时等号成

y2r31

立，故XW2r3,而圆柱的体积v="2.2r=2"3,故J.=_L,当且仅当

V22亦7t

sin2a=1即a=45°时等号成立.所以，p的最大值等于'(ii)同解法一

71

解法三：

(I)同解法一(ID(i)设圆柱的底面半径r,则A8=AA=2r,故圆柱的体积

丫=加2.2r=2加3,因为〃=2.,所以当乂取得最大值时，p取得最大值.又因为点C在

圆周上运动，所以当0C_LA3时，A4BC的面积最大.进而，三棱柱耳G的体

积最大，且其最大值为2广>2r=2/，故〃的最大值等于'(ii)同解法一

27t

19.本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，绿茶推理论证能力、抽象概括能力、

运算求解能力、英语意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分

类与整合思想.满分13分.

解法一：

(I)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则

S=7900/2+400-2-30/-20-cos(90°-30°)

=，900”―600f+400

=^900(/-1)2+300

故当，=；EI寸，5,nin=10A/3,此时丫=邛1=30指，即，小艇以30百海里/小时的

3

速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.

(II)设小艇与轮船在B出相遇，贝IJ/产=400+900f2-2・20・30f・cos(9(r-3(r)

故小900一竿+当

•.•0<uW30,.•.900-&+驾W900

tr

232

即F----<0,解得t—

t2t3

2

又，=—时，v=30故u=30时，t取最小值，

3

2

且最小值等于一，此时，在A0A5中，有0A=03=43=20,故可设计寒星方案如

3

下：航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇

解法：:

(I)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北

方向.设小艇与轮船在C处相遇.在R/AO4C中,

OC=20cos300=10A/3,AC=20sin300=10

又AC=30f,OC=vt此时，轮船航行时间

—丫="8=30百，即，小艇以306

3031

3

海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.

(II)猜想u=30时，小艇能以最短时间与轮船在D出相遇，此时40=00=30，，又

2

/。4。=60°,所以4。=。。=。4=20,解得f=一，据此可设计航行方案如下：航

3

行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇

证明如下：如图，由(I)得OC=106，AC=10,故

OC>AC,且对于线段AC上任意点P,有

OP>OC>AC而小艇的最高航行速度只能达到30海里

/小时，故小艇与轮船不可能在A,C之间(包含C)的任意

位置相遇.设ZCOD=8(0°<。<90°),则在RtkCOD

中，CD=10Gtan6,0。=”史，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分

COS。

口310+106tan。由loV3rrrl10+1073tan105/3.八丁和

别为/=--------------和f=------，所以，---------------=-------，由此可得，

30vcos030vcosff

丫=―应|_，又vW30,故sin(。+30°)2走，从而，30°W9<90°,由于

sin(e+30°)2

走，于是，当e=30°时，

6=30"时，tan6取得最小值，且最小值为

3

10+106tan。

取得最小值，且最小值为士2

303

解法三:

(I)同解法一或解法二

(II)设小艇与轮船在B处相遇.依据题意得:

v2t2=400+900产-2,20•30八cos(90°-30°),

((v2-900)/2+600r-400=0

(1)若0<v<30,则由△=360000+1600(/-900)=1600(d—675)20

-300±20&-675

得V215JL从而,ve[15疯30)

v2-900

①当-二3°°更时’令x=J7二布’则，€［。［5)’

t=.-30°-20x=二>士，当且仅当无=(J即u=15g时等号成立.

%2-225x-153

2

2-300+20VV-675巾皿一田2,4

②当t=--------------------时，同理可得一<tW-

v2-90033

由①、②得，当ue［15g,30)时，/>2

2

(2)若v=30,贝！］f=—,综合(1)、(2)可知，当u=30时，t取最小值，且最小

3

2

值等于一，此时，在AOAB中，04=08=48=20,故可设计航行方案如

3

下：航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与

轮船相遇.

20.本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能

力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一

般思想.满分14分.

解法一：

(I)(i)有f(x)=x：'-x得f'(x)=3x2-1=3(x-)(x+.

33

当x€(—8,—也)和(也，+8)时，广(x)〉0；当xw(—也，吏)时，f'(x)<0.

3333

因此,/U)的单调递增区间为(-8,-苧)和(

(ii)曲线C在点P,处的切线方程为

y=(3xi2-l)(x-xD+x^-Xi,

即y=(3x/-l)x-2x「.

y=(3xi-l)x-2xi，

由=

WX3-X=(3XI2-1)X-2x「即(x-xi)2(X+2XI)=0,

解得x=xi或x=-2xi,故X2=-2XI.

SI=J*+2«；)dx।=|(十J+2小)

进而有

用X2代替X>,重复上述计算过程，可得X3=-2X2和S2=q-x；.

77x16vI

又X2=-2X#0,所以S2=」一H0,因此有立=—.

45216

(II)记函数g(x)=ax，bx2+cx+d(aHO)的图像为曲线C',类似于(I)(ii)的正确命

题为：若对于任意不等于-2的实数X,,曲线C'与其在点巴(xi,g(x,))处的切线交于另

3a

一点P2(X2,g(X2)),曲线C'与其在点P2处的切线交于另一点P3(X3,g(X3)),线段PR、

P2P3与曲线C'所围成封闭图形的面积分别记为S“S2,则立为定值.

证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心

标原点，因而不妨设g(x)=<«'+hx,且占#0.

类似(1)(ii)的计算可得5=争曷，&=%凶竭力0.

(-枭式-5)平移至吟福

解法二：

(I)同解法一.

(II)记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(aW0)的图像为曲线为，类似于(I)(ii)的正确命题

b

为：若对于任意不等于-一的实数XI,曲线C'与其在点Pi(XI,g(x,))处的切线交于另一

3a

点Pz(x2>g(x2))，曲线C'与其在点P2处的切线交于另一点P3(X3,g(X3)),线段PR、P2P3

与曲线C'所围成封闭图形的面积分别记为S2,则△为定值.

邑

证明如下：

由g(x)=o?+6+，("。)得/(幻=3ax2+26x+c,所以曲线C在点(.,虱航))处的

切线方程为y=+2k［+c)x-2ax：+4

由p=工+白/得(Mf)'［心+4)+6］=0,

ly=(3M+26父i+c)%-2ax；+d171v17J,

或---2x即均=---2Z故

QlfaM

-I尸i.唾...■I(3ax.+6)4

Si=|「［ax3+Ax2-(3ax：*26x)x+2a”：+屉：］Jx产---rr~5---,

IJ”:I12a

用X2代替X”重复上述计算过程，可得X3=_2_2逢和5,=(3〃±+初4

a12。

_b〜口b

又X2=----2尤［且X］W----,

a3a

(3OX+b)_(-6ax—2/?)4_16(3町+/?)"qi

所以§2=21，o,故'=J_

12/12/

12a3S216

21.(1)选修4-2：矩阵与变换

本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力.满分7分.

解法一■：

.c+0=2,a=-1.

12+=0,6=-1,

解得

16c+0=-2c

(I)由题设得：匕6+。=0.

(II)因为矩阵M为对应的线性变换将直线变成直线(或点)，所以可取直线y=3x上的两点

(0,0),(1,3),

由丁(;)=(-力得:

点(0,0),(1,3)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点(0,0),(-2,2).

从而，直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y=-x.

解法二：

(I)同解法一.

(II)设直线y=3x上的任意点(x,y)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点(x',y'),

由⑸":一册)=仁工加(4)得八F即点(―tty…上

由(X,y)的任意性可知，直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y=-x.

(2)选修4-4：坐标系与参数方程

本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查

运算求解能力.满分7分.

解法一：

(1)由°=26而6,得；+y*-2用<=0,51x1+(y-Ji)2=5.

(11)将便参数方程代人圆。的亶角坐标方程，得(3-多)'+(争产=5,

即，-34+4=0.

由于A=(3&V-4x4=2>0,故可设“，匕是上述方程的两实根，

所以小+“=产，

U|•G=4.

又直线/过点尸(3,6),

故由上式及t的几何意义得1以1+加8』IM+Hli+4=3々：

解法二:

(I)同解法一.(II)因为圆C的圆心为(0,加),半径r=J5,直线1的普通方程为:

x=l卜=2,

工一+(y-j5)、5,得/_3工+2=0.

y=2+而或〔丁=1+6

y=-x+3+V5.由y=-x+3+<5解得:

不妨设A(1,2+JF),B(2,1+JF),又点P的坐标为(3,石),

故|PA|+|28|=点+衣=3立

(3)选修4-5：不等式若讲

本小鹿主要考衣绝对值的意义、绝对他不等式等基明知识，老式运算求解能力.满分7分.

解法一：

(I)由/(幻G3得|x-a|&3,解得a-3=G"3.

a—3=-1,

<

又已知不等式f(x)W3的解集为{x|—iw九W5},所以1«+3=5,解得a=2.

(II)当a==2时,f(x)=|x-2|.设g(x)=f(x)+f(x+5),于是

--2x-1,x<-3；

g(%)=|%-2|+|力+3|,5,・3。宅2；

,2x+1,x>2.

所以当“<-3时，g(%)>5；

当-3W#W2时，g(幻=5；

当x>2时，g(“)>5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若

f(x)+f(x+5)2m即g(x)2m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(-8,5].

解法二：

(I)同解法一.(II)当a=2时，f(x)=|x-2|.设g(x)=f(x)+f(x+5).

由|x-2|+|x+3|2|(x-2)-(x+3)I=5(当且仅当-3<x<2时等号成立)得，g(x)

的最小值为5.

从而，若f(x)+f(x+5)2m即g(x)2m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(-8,

5].

2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)

数学(理工农医类)

V=-Sh

参考公式：锥体的体积公式为3,其中S是锥体的底面积，是锥体的高.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合“则

人M=NRNqMcMPIN={2,3}MUN={1,4}

2.下列命题中的假命题是

A.VxeR,2l-,>0B.VxeN*,（1）一〉。

QSxeR,1g〈ID.玉£R,tanx=2

jx=-1—t,

3.极坐标方程夕=c°sO和参数方程1y=2+3f&为参数）所表示的图形分别是

A.圆、直线B.直线、圆

C.圆、圆D.直线、直线

4.在RtAABC中，NC=90°,AC=4,则荏口花等于

A.-16B.一8c.8D.16

5.等于

A.-2In2B.21n2c.-In2D.In2

6.在中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若NC=120",c=缶，贝ij

A.a>bB.a<b

C.a=bD.a与b的大小关系不能确定

7.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同

排列表示不同信息，若所用数字只有。和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字

相同的信息个数为

A.10B.11C.12D.15

8.用min｛。，加表示a,b两数中的最小值，若函数/（*）=min（|x|,|x+'|｝的图象关于直

X=—1

线2对称，则t的值为

A.-2B.2C.-1D.1

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横

线上.

9.己知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间.若用0.618法安排试验，则第一次试点

的加入量可以是

10.如图1所示，过。。外一点P作一直线与。。交于A,B

两点.已知PA=2,点P到。O的切线长PT=4,则弦AB

的长为

11.在区间［-1,2］上随机取一个数x,则।尤区1的概率为

12.图2是求I2+2?+3?+…+1002的值的程序框图，则正整数〃图1

错误!

13.图3中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则〃=cm.

14.过抛物线尤2=2py（p>0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A8两点，4B在

X轴上的正射影分别为RC.若梯形A8CO的面积为12垃，则°=

15.若数列｛""｝满足：对任意的〃eN”,只有有限个正整数机使得4〈〃成立，记这样的

机的个数为（4）*,则得到一个新数列｛（%）｝.例如，若数列｛凡｝是12,3…，〃，…，则

数列｛（*｝是0，1，2,…，"-1,…已知对任意的〃eN*,%=",则（％）*=,

（（%）*）*=

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）已知函数/（x）=6sin2x—2sin".（1）求函数/（*）的最大

值；（II）求函数A》）的零点集合.

17.（本小题满分12分）图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）

的频率分布直方图.（I）求直方图中x的值；

（II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用

水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望.

18.（本小题满分12分）如图5所示，在正方体ABCD-

A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.-

（I）求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值；

（II）在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F//平面A1BE?J_

证明你的结论.:一・一丁•・[―।____

月埼制水鱼/冷

S4

19.（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科

考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地.视

冰川面为平面形，以过A,B两点的直线为x轴，线段AB

的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）.在直线

述

光=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过5km的

区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A,B两点的距

离之和不超过46km的区域.（I）求考察区域

边界曲线的方程；

（II）如图6所示，设线段［鸟，鸟A是冰川的

部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，

边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，

第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年

的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最

短时间.

20.（本小题满分13分）己知函数/（*）=/+"x+cS，ceA）,对任意xeR,恒有

（D证明：当时，/（x）＜（x+c）2;（ID若对满足题设条件的任意〉

c,不等式一〃）恒成立，求M的最小值.

21.（本小题满分13分）数列｛%｝（〃'"）中，=a,an+｝是函数

£,（x）=J（3%+/J）/+3〃%,/.

32的极小值点.（I）当a=0时，求通项“”

（II）是否存在a,使数列伍"是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明

理由.参考答案

一、选择题：

1—4CBAD5—8DABD

二、填空题：9.171.81或48.210.6

2

T2

11.312.10013.414.215.2,〃

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

•TC

16.解：（I）因为八幻二百sin2x_（l_cos2x）=sm（2x+k）_l,

.K.兀兀

2xd--=2k7Td---x=kjr-\——(keZ),

所以，当62,即6时，函数/(刈取得最大值1.

.小万、1

，/、nsin(2xH—)=—

(II)解法1由⑴及/(X)=°得62,所以

C兀AI兀

2x4—=2攵%H—2.xH—=2k兀H----,x=k兀、=k兀—

66,或66即3

〃、{九I九=或冗=我乃+一,攵£Z}

故函数/(X)的零点的集合为3

解法2由/3=°得2gsinxcosx=2sin2x,于是sinx=°,或6cos=sinx

,兀

[T[TX=K7U-\-----.

即tanx=V3.由sinx=0可知x=k兀.由tanx=43可知3

〃、{%|%=左九"，或犬=ZJTH——、keZ\

故函数/(x)的零点的集合为3

17.解：(I)依题意及频率分布直方图知，0.02+0.1+x+0.37+0.39=l,解得x=0.12.

(II)由题意知,X-B(3,0.1).

因此p(x=0)=C(x0.9=0.729,P(X=1)=C；x0.1x0.92=0.243,

P(X=2)=C；x0.12x0.9=0.027,P(X=3)=C；xO.r=0.001.

故随机变量X的分布列为

X0123

P0.7290.2430.0270.001

X的数学期望为EX=3X0.1=03

18.解法1设正方体的棱长为1,如图所示，以A8，AD,Aa为单位正交基底建立空间直

角坐标系.

0，R

(I)依题意，得B(1,0,0),E(2),

A(0,0,0),D(0,1,0),所以

--*1--,

BE=(-1,1,-)MD=(0,1,0).

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，因为AD_L平面

ABB1A1,所以AO是平面ABB1A1的一个法向量,

设直线BE和平面ABB1A1所成的角为6,则

I函I而।3xi32

2即直