高中数学选修2

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新课程高中数学训练题组

（数学选修2-1）第一章常用规律用语[基础训练A组]一、选择题

1．以下语句中是命题的是（）

A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin45?1C．x?2x?1?0D．梯形是不是平面图形呢？

222．在命题“若抛物线y?ax?bx?c的开口向下，则x|ax?bx?c?0??〞的

02??逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（）

A．都真B．都假C．否命题真D．逆否命题真3．有下述说法：①a?b?0是a?b的充要条件.②a?b?0是③a?b?0是a?b的充要条件.则其中正确的说法有（）A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

332211?的充要条件.ab4．以下说法中正确的是（）

A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a?b〞与“a?c?b?c〞不等价

C．“a?b?0,则a,b全为0〞的逆否命题是“若a,b全不为0,则a?b?0〞D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真

5．若A:a?R,a?1,B:x的二次方程x?(a?1)x?a?2?0的一个根大于零,另一根小于零,则A是B的（）A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

2222226．已知条件p:x?1?2，条件q:5x?6?x，则?p是?q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

二、填空题

1．命题：“若a?b不为零，则a,b都不为零〞的逆否命题是。

22．A:x1,x2是方程ax?bx?c?0(a?0)的两实数根；B:x1?x2??b,a则A是B的条件。3．用“充分、必要、充要〞填空：

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①p?q为真命题是p?q为真命题的_____________________条件；②?p为假命题是p?q为真命题的_____________________条件；

2③A:x?2?3,B:x?4x?15?0,则A是B的___________条件。

4．命题“ax?2ax?3?0不成立〞是真命题，则实数a的取值范围是_______。5．“a?b?Z〞是“x?ax?b?0有且仅有整数解〞的__________条件。

22三、解答题

1．对于下述命题p，写出“?p〞形式的命题，并判断“p〞与“?p〞的真假：

（1）p:91?(A?B)（其中全集U?N，A?x|x是质数，B?x|x是正奇数）.（2）p:有一个素数是偶数；.（3）p:任意正整数都是质数或合数；（4）p:三角形有且仅有一个外接圆.

2．已知命题p:4?x?6,q:x2?2x?1?a2?0(a?0),若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围。

3．若a?b?c，求证：a,b,c不可能都是奇数。

4．求证：关于x的一元二次不等式ax?ax?1?0对于一切实数x都成立的充要条件是

2*????2220?a?4

新课程高中数学测试题组

（数学选修2-1）第一章常用规律用语

[综合训练B组]一、选择题

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1．若命题“p?q〞为假，且“?p〞为假，则（）

A．p或q为假B．q假C．q真

D．不能判断q的真假

2．以下命题中的真命题是（）A．3是有理数B．22是实数

C．e是有理数D．x|x是小数??R

3．有以下四个命题：

①“若x?y?0,则x,y互为相反数〞的逆命题；②“全等三角形的面积相等〞的否命题；

③“若q?1,则x2?2x?q?0有实根〞的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等〞逆命题；其中真命题为（）

A．①②B．②③C．①③D．③④4．设a?R，则a?1是

1?1的（）aA．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5．命题：“若a2?b2?0(a,b?R)，则a?b?0〞的逆否命题是（）A．若a?b?0(a,b?R)，则a?b?0B．若a?b?0(a,b?R)，则a?b?0C．若a?0,且b?0(a,b?R)，则a?b?0D．若a?0,或b?0(a,b?R)，则a?b?0

6．若a,b?R,使a?b?1成立的一个充分不必要条件是()

A．a?b?1B．a?1C．a?0.5,且b?0.5D．b??1

22222222二、填空题

1．有以下四个命题：

①、命题“若xy?1，则x，y互为倒数〞的逆命题；②、命题“面积相等的三角形全等〞的否命题；

③、命题“若m?1，则x?2x?m?0有实根〞的逆否命题；

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④、命题“若A?B?B，则A?B〞的逆否命题。

其中是真命题的是（填上你认为正确的命题的序号）。

2．已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件,q是s的充分条件，

则s是q的______条件，r是q的条件，p是s的条件.3．“△ABC中,若?C?90,则?A,?B都是锐角〞的否命题为；4．已知?、?是不同的两个平面，直线a??,直线b??，命题p:a与b无公共点；

命题q:?//?，则p是q的条件。

5．若“x??2,5?或x?x|x?1或x?4〞是假命题，则x的范围是___________。

0??三、解答题

1．判断以下命题的真假：

（1）已知a,b,c,d?R,若a?c,或b?d,则a?b?c?d.（2）?x?N,x3?x2

（3）若m?1,则方程x?2x?m?0无实数根。（4）存在一个三角形没有外接圆。

22．已知命题p:x?x?6,q:x?Z且“p且q〞与“非q〞同时为假命题，求x的值。

2

3．已知方程x2?(2k?1)x?k2?0,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件。

4．已知以下三个方程：x?4ax?4a?3?0,x?(a?1)x?a?0,x?2ax?2a?0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围。

2222

新课程高中数学测试题组

（数学选修2-1）第一章常用规律用语

[提高训练C组]一、选择题

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1．有以下命题：①2023年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x?1的解x??1。其中使用规律联结词的命题有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个2．设原命题：若a?b?2，则a,b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题

的真假状况是（）

A．原命题真，逆命题假

B．原命题假，逆命题真D．原命题与逆命题均为假命题

2C．原命题与逆命题均为真命题

3．在△ABC中，“A?30?〞是“sinA?1〞的（）2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．一次函数y??

m1x?的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（）nnA．m?1,且n?1B．mn?0C．m?0,且n?0D．m?0,且n?0

5．设集合M??x|x?2?,P??x|x?3?,那么“x?M,或x?P〞是“x?M?P〞的（）

A．必要不充分条件C．充要条件

B．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

6．命题p:若a,b?R，则a?b?1是a?b?1的充分而不必要条件；命题q:函数y?

x?1?2的定义域是???,?1???3,???，则（）

A．“p或q〞为假C．p真q假

B．“p且q〞为真D．p假q真

二、填空题

1．命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等〞的逆否命题是；2．用充分、必要条件填空：①x?1,且y?2是x?y?3的

②x?1,或y?2是x?y?3的

3.以下四个命题中

22①“k?1〞是“函数y?coskx?sinkx的最小正周期为?〞的充要条件；

②“a?3〞是“直线ax?2y?3a?0与直线3x?(a?1)y?a?7相互垂直〞的充要条件；

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2?4x③函数y?的最小值为22x?3其中假命题的为（将你认为是假命题的序号都填上）

33224．已知ab?0，则a?b?1是a?b?ab?a?b?0的__________条件。

5．若关于x的方程x2?2(a?1)x?2a?6?0.有一正一负两实数根，

则实数a的取值范围________________。

三、解答题

1．写出以下命题的“?p〞命题：（1）正方形的四边相等。

（2）平方和为0的两个实数都为0。

（3）若?ABC是锐角三角形，则?ABC的任何一个内角是锐角。（4）若abc?0，则a,b,c中至少有一个为0。（5）若(x?1)(x?2)?0,则x?1且x?2。

2．已知p:1?x?1?2；q:x2?2x?1?m2?0(m?0)若?p是?q的必要非充分条3件，求实数m的取值范围。

3．设0?a,b,c?1，

求证：(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a不同时大于

24.命题p:方程x?mx?1?0有两个不等的正实数根，

1.42命题q:方程4x?4(m?2)x?1?0无实数根。若“p或q〞为真命题，求m的取值范围。

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（数学选修2-1）其次章圆锥曲线[基础训练A组]一、选择题

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x2y2??1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，1．已知椭圆

2516则P到另一焦点距离为（）A．2B．3C．5D．72．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（）

x2y2x2y2??1B．??1A．

9162516x2y2x2y2??1或??1D．以上都不对C．

251616253．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线

4．设双曲线的半焦距为c，两条准线间的距离为d，且c?d，

那么双曲线的离心率e等于（）

A．2B．3C．2D．35．抛物线y2?10x的焦点到准线的距离是（）

515B．5C．D．10226．若抛物线y2?8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）。

A．

A．(7,?14)B．(14,?14)C．(7,?214)D．(?7,?214)

二、填空题

1．若椭圆x?my?1的离心率为223，则它的长半轴长为_______________.22．双曲线的渐近线方程为x?2y?0，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。

x2y2??1表示双曲线，则k的取值范围是。3．若曲线

4?k1?k4．抛物线y?6x的准线方程为＿＿＿＿＿.

225．椭圆5x?ky?5的一个焦点是(0,2)，那么k?。

2三、解答题

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1．k为何值时，直线y?kx?2和曲线2x2?3y2?6有两个公共点？有一个公共点？

没有公共点？

2．在抛物线y?4x2上求一点，使这点到直线y?4x?5的距离最短。

3．双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0,?5),F2(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。

x2y2?2?1(b?0)上变化，则x2?2y的最大值为多少？4．若动点P(x,y)在曲线

4b

（数学选修2-1）其次章圆锥曲线[综合训练B组]一、选择题

1．假使x?ky?2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）

A．?0,???B．?0,2?C．?1,???D．?0,1?

22x2y2??1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（）2．以椭圆

2516x2y2x2y2??1B．??1A．

1648927第8页共35页金太阳新课标资源网

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x2y2x2y2??1或??1D．以上都不对C．

16489273．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠PF1Q?则双曲线的离心率e等于（）

A．2?1B．2C．2?1D．2?2

?2，

x2y20??1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF4．F1,F2是椭圆1F2?45，则97ΔAF1F2的面积为（）A．7B．

7775C．D．4225．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2?y2?2x?6y?9?0的圆心的抛物线的方程是（）

A．y?3x2或y??3x2B．y?3x2

C．y2??9x或y?3x2D．y??3x2或y2?9x

6．设AB为过抛物线y2?2px(p?0)的焦点的弦，则AB的最小值为（）

A．

pB．pC．2pD．无法确定2

二、填空题

1x2y2??1的离心率为，则k的值为______________。1．椭圆

2k?892．双曲线8kx?ky?8的一个焦点为(0,3)，则k的值为______________。

3．若直线x?y?2与抛物线y?4x交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是______。

2224．对于抛物线y?4x上任意一点Q，点P(a,0)都满足PQ?a，则a的取值范围是____。

2x2y23??1的渐近线方程为y??x，则双曲线的焦点坐标是_________．5．若双曲线4m2第9页共35页金太阳新课标资源网

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x2y26．设AB是椭圆2?2?1的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，

ab则kAB?kOM?____________。

三、解答题

1．已知定点A(?2,3)，F是椭圆

x2y216?12?1的右焦点，在椭圆上求一点M，使AM?2MF取得最小值。

2．k代表实数，探讨方程kx2?2y2?8?0所表示的曲线

3．双曲线与椭圆

x227?y236?1有一致焦点，且经过点(15,4)，求其方程。

4．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y?2x?1截得的弦长为15，求抛物线的方程。

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（数学选修2-1）其次章圆锥曲线[提高训练C组]一、选择题

1．若抛物线y2?x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（第10页共35页金太阳新课标资源网

）

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A．(,?142121212)B．(,?)C．(,)D．(,)4844484x2y2??1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线相互垂直，2．椭圆

4924则△PF1F2的面积为（）A．20B．22C．28D．24

3．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2?2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使MF?MA取得最小值的M的坐标为（）A．?0,0?B．?,1?C．1,2D．?2,2?

?1??2???x2?y2?1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是（）4．与椭圆4x2x2x2y2y2222?y?1B．?y?1C．?1??1D．x?A．242335．若直线y?kx?2与双曲线x2?y2?6的右支交于不同的两点，

那么k的取值范围是（）A．（?1515151515,）B．（0,）C．（?（?,0）D．,?1）3333326．抛物线y?2x上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线

y?x?m对称，

1，则m等于（）235A．B．2C．D．3

22且x1?x2??二、填空题

x2y2??1的焦点F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时,点P横1．椭圆94坐标的取值范围是。

2．双曲线tx?y?1的一条渐近线与直线2x?y?1?0垂直，则这双曲线的离心率为___。3．若直线y?kx?2与抛物线y?8x交于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标是2，

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222

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则AB?______。

4．若直线y?kx?1与双曲线x2?y2?4始终有公共点，则k取值范围是。5．已知A(0,?4),B(3,2)，抛物线y2?8x上的点到直线AB的最段距离为__________。

三、解答题

1．当?从0到180变化时，曲线x2?y2cos??1怎样变化？

00x2y2??1的两个焦点，点P在双曲线上，且?F1PF2?600，2．设F1,F2是双曲线

916求△F1PF2的面积。

x2y23．已知椭圆2?2?1(a?b?0)，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直

aba2?b2a2?b2?x0?.平分线与x轴相交于点P(x0,0).证明：?aa

x2y2??1，试确定m的值，使得在此椭圆上存在不同4．已知椭圆43两点关于直线y?4x?m对称。

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（数学选修2-1）第三章空间向量与立体几何[基础训练A组]一、选择题

1．以下各组向量中不平行的是（）

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????A．a?(1,2,?2),b?(?2,?4,4)B．c?(1,0,0),d?(?3,0,0)

????C．e?(2,3,0),f?(0,0,0)D．g?(?2,3,5),h?(16,24,40)

2．已知点A(?3,1,?4)，则点A关于x轴对称的点的坐标为（）A．(?3,?1,4)B．(?3,?1,?4)C．(3,1,4)D．(3,?1,?4)

???8?3．若向量a?(1,?,2),b?(2,?1,2)，且a与b的夹角余弦为，则?等于（）

9A．2B．?2C．?2或

22D．2或?

55554．若A(1,?2,1)，B(4,2,3)，C(6,?1,4)，则△ABC的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等边三角形

?5．若A(x,5?x,2x?1)，B(1,x?2,2?x)，当AB取最小值时，x的值等于（）

A．19B．?8819C．D．

71476．空间四边形OABC中，OB?OC，?AOB??AOC??3，

????????则cos的值是（）

A．

112B．C．－D．0222二、填空题

??????1．若向量a?(4,2,?4),b?(6,?3,2)，则(2a?3b)?(a?2b)?__________________。

????????2．若向量a?2i?j?k,b?4i?9j?k,，则这两个向量的位置关系是___________。

??????3．已知向量a?(2,?1,3),b?(?4,2,x)，若a?b，则x?______；若a//b则x?______。

??????????4．已知向量a?mi?5j?k,b?3i?j?rk,若a//b则实数m?______，r?_______。

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??????????5．若(a?3b)?(7a?5b)，且(a?4b)?(7a?5b)，则a与b的夹角为____________。

6．若A(0,2,1955)，B(1,?1,)，C(?2,1,)是平面?内的三点，设平面?的法向量888?a?(x,y,z)，则x:y:z?________________。

??????7．已知空间四边形OABC，点M,N分别为OA,BC的中点，且OA?a,OB?b,OC?c，?????用a，b，c表示MN，则MN=_______________。

18．已知正方体ABCD?A1BC11D1的棱长是，则直线DA1与AC间的距离为。

空间向量与立体几何解答题精选（选修2--1）

1．已知四棱锥P?ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，

1?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA?AD?DC?，

2AB?1，M是PB的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD?面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

证明：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

1A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,).

2（Ⅰ）证明：因AP?(0,0,1),DC?(0,1,0),故AP?DC?0,所以AP?DC.

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由题设知AD?DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC?面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.（Ⅱ）解：因AC?(1,1,0),PB?(0,2,?1),

故|AC|?2,|PB|?5,AC?PB?2,所以10cos?AC,PB???.5|AC|?|PB|AC?PB

（Ⅲ）解：在MC上取一点N(x,y,z)，则存在??R,使NC??MC,

11NC?(1?x,1?y,?z),MC?(1,0,?),?x?1??,y?1,z??..

22?????????14要使AN?MC,只需AN?MC?0即x?z?0,解得??.

25412可知当??时,N点坐标为(,1,),能使AN?MC?0.555

1212此时,AN?(,1,),BN?(,?1,),有BN?MC?05555由AN?MC?0,BN?MC?0得AN?MC,BN?MC.所以?ANB为

所求二面角的平面角.

????30????30????????4?|AN|?,|BN|?,AN?BN??.555????????????????AN?BN2?cos(AN,BN)???????????.3|AN|?|BN|2故所求的二面角为arccos(?).3

2．如图，在四棱锥V?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,

平面VAD?底面ABCD．（Ⅰ）证明：AB?平面VAD；

（Ⅱ）求面VAD与面DB所成的二面角的大小．

证明：以D为坐标原点，建立如下图的坐标图系.

0)（Ⅰ）证明：不防设作A(1,0,，

则B(1,1,0)，V(,0,123)，2

13AB?(0,1,0),VA?(,0,?)

22第15页共35页金太阳新课标资源网

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由AB?VA?0,得AB?VA，又AB?AD，因而AB与平面VAD内两条相交直线VA，

AD都垂直.∴AB?平面VAD.

（Ⅱ）解：设E为DV中点，则E(,0,143)，4333313EA?(,0,?),EB?(,1,?),DV?(,0,).

444422由EB?DV?0,得EB?DV,又EA?DV.因此，?AEB是所求二面角的平面角，

cos(EA,EB)?EA?EB|EA|?|EB|?21,7解得所求二面角的大小为arccos21.

73．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA?底面ABCD，AB?3，BC?1，PA?2，VDABCE为PD的中点.

（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE?面PAC，

并求出点N到AB和AP的距离.

解：（Ⅰ）建立如下图的空间直角坐标系，

则A,B,C,D,P,E的坐标为A(0,0,0)、

B(3,0,0)、C(3,1,0)、D(0,1,0)、

1P(0,0,2)、E(0,,1)，

2从而AC?(3,1,0),PB?(3,0,?2).设AC与PB的夹角为?，则

cos??AC?PB|AC|?|PB|?327?37,14∴AC与PB所成角的余弦值为

37.14)（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x,0z,，则

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1NE?(?x,,1?z)，由NE?面PAC可得，

2??NE?AP?0,???NE?AC?0.?1?3z?1?0,(?x,,1?z)?(0,0,2)?0,?x?????2∴?6即?化简得?1?3x??0.?z?1?(?x,1,1?z)?(3,1,0)?0.?2???2?33.,0,1)，从而N点到AB和AP的距离分别为1,66即N点的坐标为(4．如下图的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中

AB?4,BC?2,CC1?3,BE?1.

（Ⅰ）求BF的长；

（Ⅱ）求点C到平面AEC的距离.1F

解：（I）建立如下图的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)

A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3)设F(0,0,z).

∵AEC1F为平行四边形，

?由AEC1F为平行四边形,?由AF?EC1得,(?2,0,z)?(?2,0,2),?z?2.?F(0,0,2).?EF?(?2,?4,2).于是|BF|?26,即BF的长为26.（II）设n1为平面AEC1F的法向量，

显然n1不垂直于平面ADF,故可设n1?(x,y,1)??n1?AE?0,?0?x?4?y?1?0由?得?

?2?x?0?y?2?0??n1?AF?0,?第17页共35页金太阳新课标资源网

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?x?1,?4y?1?0,?即???1??2x?2?0,?y??.4?又CC1?(0,0,3),设CC1与n1的夹角为?，则cos??CC1?n1|CC1|?|n1|?33?1?1?116?433.33∴C到平面AEC1F的距离为

d?|CC1|cos??3?433433?.33115．如图，在长方体ABCD?A,AB?2，点E在棱AD上移1BC11D1，中，AD?AA1?1动.（1）证明：D1E?A1D；

（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1?EC?D的大小为

?.4

解：以D为坐标原点，直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设

AE?x，则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0)

（1）由于DA,0,1),(1,x,?1)?0,所以DA1?D1E.1,D1E?(1（2）由于E为AB的中点，则E(1,1,0)，从而D1E?(1,1,?1),AC?(?1,2,0)，

??n?AC?0,AD1?(?1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n?(a,b,c)，则???n?AD1?0,也即???a?2b?0?a?2b，得?，从而n?(2,1,2)，所以点E到平面ACD1的距离为

??a?c?0?a?c第18页共35页金太阳新课标资源网

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h?|D1E?n||n|?2?1?21?.33（3）设平面D1EC的法向量n?(a,b,c)，∴CE?(1,x?2,0),D1C?(0,2,?1),DD1?(0,0,1),

??n?D1C?0,?2b?c?0由?令b?1,?c?2,a?2?，x??a?b(x?2)?0.???n?CE?0,∴n?(2?x,1,2).依题意cos?4?|n?DD1||n|?|DD1|?222??.

222(x?2)?5∴x1?2?3（不合，舍去），x2?2?3.∴AE?2?3时，二面角D1?EC?D的大小为

?.46．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C,C1的一点，EA?EB1，已知AB?2,BB1?2,BC?1,?BCC1??3，求：

（Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；

（Ⅱ）二面角A?EB1?A1的平面角的正切值.

解：（I）以B为原点，BB1、BA分别为y,z轴建立空间直角坐标系.

由于，AB?2,BB1?2,BC?1,?BCC1??3

在三棱柱ABC?A1B1C1中有

B(0,0,0),A(0,0,2),B1(0,2,0),C(3133,?,0),C1(,,0)2222

设E(3,a,0),由EA?EB1,得EA?EB1?0,即233,?a,2)?(?,2?a,0)22

0?(??33?a(a?2)?a2?2a?,44第19页共35页金太阳新课标资源网

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131331得(a?)(a?)?0,即a?或a?(舍去),故E(,,0)222222

313333BE?EB1?(,,0)?(???0)????0,即BE?EB1.222244又AB?侧面BB1C1C，故AB?BE.因此BE是异面直线AB,EB1的公垂线，则|BE|?31??1，故异面直线AB,EB1的距离为1.44（II）由已知有EA?EB1,B1A1?EB1,故二面角A?EB1?A1的平面角?的大小为向量B1A1与EA的夹角.

因B1A1?BA?(0,0,2),EA?(?故cos??即tan??EA?B1A1|EA||B1A1|2.2?23,31,?,2),22

7．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PD?底面ABCD，E是AB上

一点，PF?EC.已知PD?2,CD?2,AE?1,2求（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；

?D（Ⅱ）二面角E?PC的大小.

解：（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DP分别为

x,y,z轴建立空间直角坐标系.

由已知可得D(0,0,0),P(0,0,2),C(0,2,0)设A(x,0,0)(x?0),则B(x,2,0),

113E(x,,0),PE?(x,,?2),CE?(x,?,0).由PE?CE得PE?CE?0，

222即x?2313333?0,故x?.由DE?CE?(,,0)?(,?,0)?0得DE?CE，

222242又PD?DE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得|DE|?1，故异面直线

PD,CE的距离为1.

（Ⅱ）作DG?PC，可设G(0,y,z).由DG?PC?0得(0,y,z)?(0,2,?2)?0

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即z?2y,故可取DG?(0,1,2),作EF?PC于F，设F(0,m,n)，

31,m?,n).2231,m?,n)?(0,2,?2)?0,即2m?1?2n?0，2222312m?2,故m?1,n?,EF?(?,,).22222则EF?(?由EF?PC?0得(?又由F在PC上得n??因EF?PC,DG?PC,故E?PC?D的平面角?的大小为向量EF与DG的夹角.故cos??

DG?EF|DG||EF|?2??,??,即二面角E?PC?D的大小为.244新课程高中数学训练题组参考答案

（数学选修2-1）第一章常用规律用语[基础训练A组]

一、选择题

1．B可以判断真假的陈述句

2．D原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题3．A①a?b?0?a?b，仅仅是充分条件②a?b?0?2211?，仅仅是充分条件；③a?b?0?a3?b3，仅仅是充分条件ab4．D否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性5．AA:a?R,a?1?a?2?0，充分，反之不行

6．A?p:x?1?2,?3?x?1，?q:5x?6?x2,x2?5x?6?0,x?3,或x?2?p??q，充分不必要条件二、填空题

1．若a,b至少有一个为零，则a?b为零2．充分条件A?B

3．必要条件；充分条件；充分条件，A:?1?x?5,B:2?19?x?2?19,A?B

24．[?3,0]ax?2ax?3?0恒成立，当a?0时，?3?0成立；当a?0时，

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??a?0???4a?12a?02得?3?a?0；??3?a?0

5．必要条件左到右来看：“过不去〞，但是“回得来〞三、解答题

1．解：（1）?p:91?A,或91?B；p真，?p假；

（2）?p:每一个素数都不是偶数；p真，?p假；

（3）?p:存在一个正整数不是质数且不是合数；p假，?p真；

（4）?p:存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆。2．解：?p:4?x?6,x?10,或x??2,A?x|x?10,或x??2

q:x?2x?1?a?0，x?1?a,或x?1?a,记B?x|x?1?a,或x?1?a

22????而?p?q,?A?1?a??2?B，即?1?a?10,?0?a?3。

?a?0?3．证明：假设a,b,c都是奇数，则a2,b2,c2都是奇数

得a?b为偶数，而c为奇数，即a?b?c，与a?b?c矛盾所以假设不成立，原命题成立

222222222?a?04．证明：ax?ax?1?0(a?0)恒成立??2??a?4a?0?2?0?a?4

（数学选修2-1）第一章常用规律用语[综合训练B组]

一、选择题

1．B“?p〞为假，则p为真，而p?q（且）为假，得q为假2．B22属于无理数指数幂，结果是个实数；3和e都是无理数；x|x是小数?R

??3．C若x?y?0,则x,y互为相反数，为真命题，则逆否命题也为真；

“全等三角形的面积相等〞的否命题为“不全等三角形的面积不相等相等〞为假命题；若q?1?4?4q?0,即??4?4q?0,则x?2x?q?0有实根，为真命题4．Aa?1?21?1，“过得去〞；但是“回不来〞，即充分条件aa?0,b?0a?0,b?0a?0,b?0a?0,b?0其中之一的否定是另外三个5．Da?b?0的否定为a,b至少有一个不为0

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6．D当a?1,b?0时，都满足选项A,B，但是不能得出a?b?1当a?0.5b,?C，但是不能得出a?b?1时，都满足选项0.5二、填空题

1．①，②，③A?B?B，应当得出B?A

?2．充要，充要，必要q?s?r?,?;sr0q?s?,r?r;q?s?rp3．若?C?90,则?A,?B不都是锐角条件和结论都否定4．必要q?p从p到q，过不去，回得来

5．?1,2或x?4都是假命题，则??x??2,5?和x?x|x?1三、解答题

???x?2,或x?5

?1?x?4，或5?，而21?5?1．解：（1）为假命题，反例：1?4（2）为假命题，反例：x?0,x3?x2不成立

4?2m??0无实数根（3）为真命题，由于m?1???4?4

（4）为假命题，由于每个三角形都有唯一的外接圆。

2．解：非q为假命题，则q为真命题；p且q为假命题，则p为假命题，即

2??x?x?6?0,?2?x?3,x?Zx?x?6,且x?Z，得?2??x?x?6?02?x??1,0,或1,23．解：令f(x)?x?(2k?1)x?k，方程有两个大于1的实数根

22???(2k?1)2?4k2?0?1?2k?1????1即0?k?

42???f(1)?01所以其充要条件为0?k?

44．解：假设三个方程：x?4ax?4a?3?0,x?(a?)x?a?0,x?2ax?2都没有实a?02222第23页共35页金太阳新课标资源网

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1?3??a??22??1?(4a)2?4(?4a?3)?0??13?数根，则??2?(a?1)2?4a2?0，即?a?,或a??1，得??a??1

32??2??2?a?0??1?(2a)?4(?2a)?0???a??3,或a??1。2（数学选修2-1）第一章常用规律用语[提高训练C组]

一、选择题

1．C①中有“且〞；②中没有；③中有“非〞；④中有“或〞

2．A由于原命题若a?b?2，则a,b中至少有一个不小于1的逆否命题为，若a,b都小于1，则a?b?2显然为真，所以原命题为真；原命题若a?b?2，则a,b中至少有一个不小于1的逆命题为，若a,b中至少有一个不小于1，则a?b?2，是假命题，反例为a?1.2,b?0.3

03．B当A?170时，sin170?sin10?001，所以“过不去〞；但是在△ABC中，21?300?A?1500?A?300，即“回得来〞2m14．B一次函数y??x?的图象同时经过第一、三、四象限

nnm1???0,且?0?m?0,且n?0?mn?0，但是mn?0不能推导回来

nn5．A“x?M,或x?P〞不能推出“x?M?P〞，反之可以

sinA?6．D当a??2,b?2时，从a?b?1不能推出a?b?1，所以p假，q显然为真二、填空题

1．若△ABC的两个内角相等，则它是等腰三角形

2．既不充分也不必要，必要①若x?1.5,且y?1.5?x?y?3，1?4?3,而x?1②x?1,或y?2不能推出x?y?3的反例为若x?1.5,且y?1.5?x?y?3，

x?y?3?x?1,或y?2的证明可以通过证明其逆否命题x?1,且y?2?x?y?3

223．①，②，③①“k?1〞可以推出“函数y?coskx?sinkx的最小正周期为?〞

但是函数y?coskx?sinkx的最小正周期为?，即y?cos2kx,T?222???,k??12k第24页共35页金太阳新课标资源网

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②“a?3〞不能推出“直线ax?2y?3a?0与直线3x?(a?1)y?a?7相互垂直〞

222?4?3?11xx反之垂直推出a?；③函数y?的最小值为2??x2?3?2225x?3x?3x?3令x2?3?t,t?3,ymin?3?143?334．充要a3?b3?ab?a2?b2?(a?b?1)(a2?ab?b2)5．(??,?3)2a?6?0

三、解答题

1．解（1）存在一个正方形的四边不相等；（2）平方和为0的两个实数不都为0；

（3）若?ABC是锐角三角形，则?ABC的某个内角不是锐角。

（4）若abc?0，则a,b,c中都不为0；（5）若(x?1)(x?2)?0,则x?1或x?2。2．解：?p:1?x?1?2,x??2,或x?10,A??x|x??2,或x?10?3?q:x2?2x?1?m2?0,x?1?m,或x?1?m,B??x|x?1?m,或x?1?m?

??p是?q的必要非充分条件，?B?1?m??2A，即??m?9,?m?9。

1?m?10?111，即(1?a)b?,(1?b)c?,44411?a?b11?b?c1(1?c)a?，而?(1?a)b?,?(1?b)c?,

422221?c?a11?a?b1?b?c1?c?a3?(1?c)a?,得???22222233即?，属于自相矛盾，所以假设不成立，原命题成立。224．解：“p或q〞为真命题，则p为真命题，或q为真命题，或q和p都是真命题

3．证明：假设(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a都大于

???m2?4?0?当p为真命题时，则?x1?x2??m?0，得m??2；

?xx?1?0?12当q为真命题时，则??16(m?2)?16?0,得?3?m??1当q和p都是真命题时，得?3?m??2

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2

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?m??1

（数学选修2-1）其次章圆锥曲线[基础训练A组]

一、选择题

1．D点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a?10,10?3?72．C2a?2b?18,a?b?9,2c?6,c?3,c2?a2?b2?9,a?b?1

x2y2x2y2??1或??1得a?5,b?4，?251616253．DPM?PN?2,而MN?2，?P在线段MN的延长线上

2a2c2222?c,c?2a,e?2?2,e?24．Cca5．B2p?10,p?5，而焦点到准线的距离是p

6．C点P到其焦点的距离等于点P到其准线x??2的距离，得xP?7,yp??214二、填空题

x2y2??1,a?1；1．1,或2当m?1时，

11my2x2a2?b231212??1,e??1?m?,m?,a??4,a?2当0?m?1时，11a244mmx2y2???1设双曲线的方程为x2?4y2??,(??0)，焦距2c?10,c2?252．

205当??0时，

x2??y2?4?1,???4?25,??20；

x2???1,???(?)?25,???20当??0时，

???4?4)3．(??,?4?(1?,?1k?)(4?k)(?y20k,?(k4?)(?1)k或?0,k1,??第26页共35页金太阳新课标资源网

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4．x??3p32p?6,p?3,x????222y2x25??1,c2??1?4,k?15．1焦点在y轴上，则51kk三、解答题1．解：由??y?kx?222?2x?3y?6，得2x2?3(kx?2)2?6，即(2?3k2)x2?12kx?6?0

??144k2?24(2?3k2)?72k2?48

2当??72k?48?0，即k?66时，直线和曲线有两个公共点；,或k??3366时，直线和曲线有一个公共点；,或k??33k当??722?48?，即0k?k当??722?48?，即0?66时，直线和曲线没有公共点。?k?332．解：设点P(t,4t)，距离为d，d?当t?

24t?4t2?5174t2?4t?5?1711时，d取得最小值，此时P(,1)为所求的点。22y2x2?1；3．解：由共同的焦点F1(0,?5),F2(0,5)，可设椭圆方程为2?2aa?25169y2x22??1,a?40?1P(3,4)双曲线方程为2?，点在椭圆上，222aa?25b25?b双曲线的过点P(3,4)的渐近线为y?b25?b2x，即4?b25?b2?3,b2?16

y2x2y2x2??1；双曲线方程为??1所以椭圆方程为

40151694．解：设点P(2cos?,bsin?)，x?2y?4cos22??2bsin???4sin2??2bsin??4

b422令T?x?2y,sin??t,(?1?t?1)，T??4t?2bt?4,(b?0)，对称轴t?第27页共35页金太阳新课标资源网

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当

bb?1,即b?4时，Tmax?T|t?1?2b；当0??1,即0?b?4时，44Tmax?b2?b?4b??4,0)ax??4?T|b??4?(x2?2ymt?44?2b,b?4?2（数学选修2-1）其次章圆锥曲线[综合训练B组]

一、选择题

y2x22??1,?2?0?k?11．D焦点在y轴上，则22kkx2y2?1；)a?4,c?8,b?43,?2．C当顶点为(?4,0时，

1648y2x2?1,3)a?3,c?6,b?33,?当顶点为(0?时，

9273．CΔPF1F2是等腰直角三角形，PF2?F1F2?2c,PF1?22c

PF1?PF2?2a,22c?2c?2a,e?c1??2?1a2?14．CF1F2?22,AF1?AF2?6,AF2?6?AF1

2202AF22?AF1?F1F2?2AF1?F1F2cos45?AF1?4AF1?8

7(6?AF1)2?AF12?4AF1?8,AF1?,

21727S???22??

22225．D圆心为(1,?3)，设x?2py,p??,x??设y?2px,p?221621y；392,y?9x2p6．C垂直于对称轴的通径时最短，即当x?,y??p,ABmin?2p

2二、填空题

5c2k?8?912?,k?4；1．4,或?当k?8?9时，e?2?4ak?84第28页共35页金太阳新课标资源网

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c29?k?815?,k??当k?8?9时，e?2?a9442y2x281??1,??(?)?9,k??12．?1焦点在y轴上，则81kk??kk?y2?4x23．(4,2)?,x?8x?4?0,x1?x2?8,y1?y2?x1?x2?4?4

?y?x?2中点坐标为(x1?x2y1?y2,)?(4,2)22t2t2222224．???,2?设Q(,t)，由PQ?a得(?a)?t?a,t(t?16?8a)?0,

44?t2?16?8a?0,t2?8a?16恒成立，则8a?165．(?7,0)渐近线方程为y??0a,?2mx，得m?3,c?2，且焦点在x轴上7x1?x2y1?y2b2y2?y1M(,)6．?2设A(x，则中点，得k?,,y),B(x,y)AB112222ax2?x1kOMy2?y1y22?y12222222，kAB?kOM?2，?bx?ay?ab,112x2?x1x2?x1222222212221y22?y12b2??2bx2?ay2?ab,得b(x2?x)?a(y2?y)?0,即2x2?x12a22三、解答题

1x2y2??1的a?4,c?2,e?，记点M到右准线的距离为MN1．解：显然椭圆

21612则

1?e?,MN?2MF，即AM?2MF?AM?MNMN2MF当A,M,N同时在垂直于右准线的一条直线上时，AM?2MF取得最小值，

x2y2??1得Mx??23此时My?Ay?3，代入到1612而点M在第一象限，?M(23,3)

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y2x2??1为焦点在y轴的双曲线；2．解：当k?0时，曲线

84?k当k?0时，曲线2y2?8?0为两条平行的垂直于y轴的直线；

x2y2??1为焦点在x轴的椭圆；当0?k?2时，曲线84k当k?2时，曲线x2?y2?4为一个圆；

y2x2??1为焦点在y轴的椭圆。当k?2时，曲线

84ky2x2y2x2??1的焦点为(0,?3),c?3，设双曲线方程为2??13．解：椭圆

3627a9?a2过点(15,4)，则

1615??1，得a2?4,或36，而a2?9，22a9?ay2x2?a?4，双曲线方程为??1。

452?y2?2px,消去y得4．解：设抛物线的方程为y?2px，则?y?2x?1?24x2?(2p?4)x?1?0,x1?x2?p?21,x1x2?24AB?1?k2x1?x2?5(x1?x2)2?4x1x2?5(则p?221)?4??15，24p2?p?3,p2?4p?12?0,p??2,或64?y2??4x，或y2?12x

（数学选修2-1）其次章圆锥曲线[提高训练C组]

一、选择题

1．B点P到准线的距离即点P到焦点的距离，得PO?PF，过点P所作的高也是中线

?Px?12122)，代入到y?x得Py??，?P(,?8484第30页共35页金太阳新课标资源网

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22222．DPF1?PF2?14,(PF1?PF2)?196,PF1?PF2?(2c)?100，相减得

2PF1?PF2?96,S?1PF1?PF2?2423．DMF可以看做是点M到准线的距离，当点M运动到和点A一样高时，MF?MA取

得最小值，即My?2，代入y2?2x得Mx?2

x2y2?1过点Q(2,1)4．Ac?4?1且焦点在x轴上，可设双曲线方程为2?，c?3，a3?a2241x222?1?a?2,?y?1得2?2a3?a2?x2?y2?625．D?,x?(kx?2)2?6,(1?k2)x2?4kx?10?0有两个不同的正根

?y?kx?2?2???40?24k?0?154k2?则?x1?x2?得??k??1?0,231?k??10?xx??012?1?k2?6．AkAB?x?x1y2?y1y2?y11,)??1,而y2?y1?2(x22?x12),得x2?x1??，且(222x2?x12在直线y?x?m上，即

22y2?y1x2?x1??m,y2?y1?x2?x?12m222(?2(x2?x1)?x2?x1?2m,2[x2?x1)二、填空题1．(?2xx2m,2m?2x1?]x2?1?33m,?2353522,)可以证明PF1?a?ex,PF2?a?ex,且PF?PF12?55525e,?，则(a?ex)?(a?e2)x?(22c),22a?322FF12而a?3,b?2,c?2e2x?2220e,?x1x2?1113535,??x?,??e?即2eee55115渐近线为y??tx，其中一条与与直线2x?y?1?0垂直，得t?,t?

2422．第31页共35页金太阳新课标资源网

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x25?y2?1,a?2,c?5,e?42?y2?8x4k?83．215?,k2x2?(4k?8)x?4?0,x1?x2??42k?y?kx?22得k??1,或2，当k??1时，x?4x?4?0有两个相等的实数根，不合题意

当k?2时，AB?1?k2x1?x2?5(x1?x2)2?4x1x2?516?4?215

?x2?y2?4254．?1,??,x?(kx?1)2?4,(1?k2)x?2kx?5?0

2?y?kx?1当1?k2?0,k??1时，显然符合条件；

2当1?k?0时，则?