联赛不等式研究通讯

不等式研究通 文家 健s216Rr5r2krR2rk0Es2

上 R

tanAbc2在一个新量级上 2 (59)与R2r2同量级的非负对称量的发现 零次量级E(12rR)上的一个量级簇 [问题解答]黄拔萃等(71)[研究动态]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯刘健等(86)[选登]文家金(87文家金 摘要:先生近期向我们提出了如下有趣的猜想:如果x1,y1,那么xyyx2 本文引进符号等价的概念,并借助于优势理论及数学软件(Mathematicaxye1x,ye11)x,y1)xi[),ni1,2,n1 xixjn(n1)(nxxx)nx1x2x1 1ij ,e1.3898610708218087 MR(2000)分类:26D07； 中图法分类:O 文献标识码问题1当1yex时,yx与xy的大小关系如何？其中e 59045为常数其实,解决这个问题是解决yx与xy(xy0)的大小的比较问题的关键．2000年 A设1yex,tnt10tn1(lny)ln(1tn11n1,2),limtnt必定存在,y1t1)t(t0xy(1t1,yx,xyB设1yexMtxyx,y的t次幂平均M23(xye,yxxyMln2x,y)e,yxxy．并且这个结果是不可改进的． 先还研究了不等abccba成立的条件[3]． 2设x0y0,xyyx与2有

xy1时xyyx2( xy所满足的一致上下界获得的主要结果如下1(i)x,ye1x,ye1,那么不等式(1)成立；(ii)如果x,y[,),那么有xyyx2(xy)xy 其中 te1lnt1.5在(0,e1)上的唯一实根,而e1.3898610708218087 t(1lnt)(lnt1)11在(e,e2上的唯一实根并且(1),(2)取等号当且仅当xy2如果xi(i1,2,nn2),

1ij

xixjn(n1)[G(x)]G(x) 其中G(x) x1xn1设MN是两个实数．如果M0NMN符号等价,M~N

M0N0M0N0引理1(i符号等价“~”是一个等价关系M~MM~NN~MM~N0,N0~NM~N(ii)c0,M~cM(iii)M0,N0,则MN~lnMlnN引理2(i)方程(3)在(0,e1)上有唯一实根:t te1.3898610708218087 19929证(i) f(t):te1lnt1.5,则f'(t)11(et)0(t(0,e1)),f(t)(0,e1严减．f(00),f(e10)2e1.50,故由介值定理知断言(i)真 g'(t)lnt (t(e,g(t在(e,严3设Fx,y)xy

g(e0)g(e20)e20,xy0),(lnx

ln

y)~(x,y):

(1lnx)

(1lny) xlnxln x ~ 证(lnx

yxyxyxlny(xyxyxylnxy[xy1(1lnx)yx1(1lny)]~(x,y) 设xy0如果xy0,那么(1)如果(xy)0,那么(2)成立．其中(xy3定义(下文相同)．证令xeu，yev,则(1)(或(2))F(eu，ev)（）F(e(uv)2，e(uv)2)由于((uv)2uv)2)uv),故由书[4]知F(eu，ev)R2S–凹(凸)函数,由于(uvR2,(uv)(FF)()0 xy0,(uv)(FF)(lnxlny)(FxFy)~(x,y)

由对称性知,xy0 yxe1(x,y):xy1(1lnx)yx1(1ln~ln[xy1(1lnxln[yx1(1ln 1(x,y)x1[y1x

y ]~1ln

(x,y):y1xlny 1ln2(x,y)lny

22(x,y) 1ln

0 x(1ln

x2(1lnx)故2(x,yx在区间ye1严格凸

2(x,y)max{2(y,y),2(e1, 2(y,y)y1ylny ln

(yevv1 2 v2v[(1

(1v)2 (1v)1v

1v2ve]

v2

(1v

)022(e1yye1lny3fy(2)2故由(10)知2(xy)0．由(9),1(xyx严减,

f()0(x,y)~1(x,y)<1(y,y)0 e1yxe由xy的连续性知,xe,此时,(8),(9)仍成立由2(xy)y1xy02(x,y)2xe1e11x1(1lnx)e11((见[1,P.366lnx(x1)xx00．再由(8),(9)知,(x,y)~1(x,y)<1(y,y)03:eyx．不妨设ye,则(x,y):xy1(1lnx)yx1(1ln~ln[yx1lny1ln[xy1lnx (用引理13(x,y):(x1)lnyln(lny1)[(y1)lnxln(lnx1)] 3(x,y)lny(y1)x1[x(lnxx12(x,y)~2(x,y)(2由(9)定义 (2)xy0(xy)(xx)[x1xlnx g(x( lnx2,g(x严增g(03(x,y)0((133(xy)3yy)0(x,y)0(用(12(1)(4)．4:e1yex．xy1(1lnx0yx1(1lny0(x,y):xy1(1lnx)yx1(1（ii）xy知,此时(12),(13)仍成立

y)0(2)lny 0(x,y)(y,y)[y1ylny ] x(1ln lnyg(y)g()0(由引理2,g(y)严增, 由(９)定义)3(x,y)0( (133x,y)3yy0(x,y0(用(12(2)(4)．证毕首先证明:ai0(i1,2,n,且G(a1,[G(a)]G(a) 其中G(a) ．等号成立当且仅当a1an不妨设a1an0,则lna1lnan．由 不等式(见[5])及A—G不 1(a1lna1anlnann1(a1an)1(lna1lnan G(alnG(a(用lnG(a)0ln[G(a)]G(axixj1,1,A—G不等式及(14)1ij

xix

1ij

(xixjxjxi)

(用n 2[ ]2A—G21ijn

121ijn(n1)[( ) n(n1)[G(x)]G(x) 若0x,y,如何比较xyyx与3．设0e1．

xy)xy的大小？其中1(i存在唯一的函数(使得:2(,(00(其中2(x,y)y1xlny11lnx证明(i由定理1之情形1的证明可知2(y)(0yy严减2(,y)0

y

x

2(,y)2(,())0４在定理３中,令e1,则()．故定理３是对定理１的一种延伸．５函数zxyyx2(xy) 图1(0x,y5的情形 图2(0x,ye1的情形 图3(0x,ye2的情形的截面图 图4(0x,y的情形的截面图2设xyt0xyyx2[Mt(x,y)]Mt 参考文献,文家金．比较ab与ba的大小的幂平均判别法 人 先．不等式abccba的研究［J］．内江师范学院学报,2000,15(2):9—: : SomeDevelopmentsofStudiesforaConjectureofInequalitiesInvolvingPower-exponent:ZhangXiao-mingposedaninterestingconjectureasfollows: x1,yxyyx2(xy Inthispaper,bymeansofthetheoryofmajorizationandMathematicaSoft,weprovethat:①Ifeitherx,y[,e1]or x,y[e1,],then(1)holds;if x,y[,) thentheinequalityin(1)isinverse.②Ifxi[,),i1,2,,n,n2

n(n

nxxxxxx,1iwhere,0. ,e1.38986107082180874. 19929.Ouraimistodisysomemethodsandtechniquesofestablishingyticinequalities.2000MRSubjectClassification:26D07;(省蓬安中学 蓬安本文给出f(x,x) (x、x、xR,xxx1)的上下界 121:设x1x20x1x21f(x1x2

f(x1,x2)2

2）当23时,1f(x1,x2) 323)当02时,1f(x1,x2) 定理1:设x1,x20,且x1x21,f(x1,x2) ,(I)当3时,f(x1,x2)

当03时 f(x1,x2)2(II)当02f(x1x22

当2时,f(x1,x2) 证明(I)当3时,(4)

＋

1(1x11x2) (1)[2(x1x2) 4[1(xx) M4222(3)(xx 3,(-3)0x1,x20,x1x21,有x1x22M142222(3)2(142222262242由(4)知,当3时, 1,因此,当03时,f(x,x (II)当02时,(6) M4222(3)(xx 令t 1,则(xx)t22 M24222(3)(t221)2(1=(3)t22(1)t32=[(3)t22

=(3)(t

202,30

3

2而t1,t(1)0,t 3由(5)知,当2时, 2,因此,当2时,f(x,x)

1

1

1 111:2002111n1]),那篇稿子转到了的红手中,他寄给我一篇他写于2002年4月的一篇文章,文中用乘数法解决了111 设x1,x20,且x1x21,mZ,m1,111当2m1时,有

)m

)m

1 1

1

11当02m1时,有( )m )m

1M(1)[(1x)m(1x)m]m2m(1x)(1x) 令(1x1)mA,(1x2mB,因AB)m的展开式共有2m项(同类项不合并)

.若设A2

=ABA1B2(q1q2m, 为正整数),则为正整数),则Aq1共有2m2项,ABm2mmm(2mm2时,应用2m2维平均值不等式,m(2m Aq1Bq2(2m2)[(AB) ]2m2(2m2)(AB)2mm1时,有Aq1Bq2002m2)(ABm(AB)mAmBm(2m2)(AB)注意到x,x0,xx1,xx 1及2m112m M4(1)(AB)m2m(1x1)(1xm(1)[AmBm(2m2)(AB)2]2m(1x1)(1x=(1)[1x1x(2m2)(1x)(1x)]2m[12(xx =(12m)(xx)2(1)2m(12)(1)(2m 2(12m)2(1)2m(12)(1)(2m=2(12m)2(1)2m(12)(1)2(2m=(22)(1)(122)2m(2m2)(1=2(1)22m(1)2(2m2)(1)21所以(13成立,故(11)成立1 当

1时,有 ]m1(2m 1(2m1)11 11

]m1当02m1时

)m

)m

]m

]m1 1 1(2m 1(2m1)1

当1时,

1

1x2

……当1时, 1 1

1

1

1)1时, 1 1 1猜想:设x1x20x1x2(I)若1当1时,有1

)

)

1 (1 当21 时,有1 ) )

⋯ 1

当021时,有 ) ) 1 (II)若01 21时, ) ) 1

1

21时, ) ) ⋯ 1 1

1时,有 ) ) 1 [1].关于两个不等式的推广及其它.中国初等数学研究(二),中国科学文化,2003年61版..对一个不等式的再探讨.中学教研(数学.(省蓬安中学 蓬安xiR(i=1,2,⋯,n),n3,xn1x1,xn2x21954Shapiro,H.S.猜测[1n n ni1xi1xi n3(1)x、y、zR y

z

x

命题:设、、x、y、zR,R,则当 1,或0时,x(y

) z

)＋(xy

(

在命题中取1,即得()(xyyzzx)( ＋ y

z

=[(xyxz)(yzyx)(zxx y ·(xyxz＋yzyx＋zxzy(xyz)2=x2y2z22xy2yz2zx3(xyyz y

＋z

＋x

即当=1时,不等式(3)(即(4))成立.当 1时,由幂平均不等式及(4),x(y

)x

zy

)＋(xy 3[( ＋ ＋ y z x即当1(3)

3[(

(当00,不等式(3)(yz)＋(zx)＋(xy) 3() y )x

z )y

)z

3

z·y

)z=3

(yz)(zx)(xy)]而(yz)(zx)(x=3xyz+2(x2yy2zz2x)+2(xy2yz2zx2)+3xyz+32xyz+32xyz+3xyz=()3(yz)x

z )y

)z

3[()3]3=3()即(5)成立,故当0(3)成立,证毕.对于0<<1,我们有猜想设、x、y、zR①当1>log23－1= ⋯时,x(y

) z

)＋(xy

(

②当0<<log23－1= =(1T T11,T2

1(注(0,T1T2x(y

) z

)＋(xy

(

当

T1,T2 )

)

)y

z

x

＋ 注:我们猜测:当0<<log23－1= ⋯时,关于T的方程(*)在(0,+ 特别地,取

、 猜想1-1设T1、T2(T1<T2)是方程 T1T2

9 29 2

=2.262610607122⋯当

(0,T1T2 (T1,T2

1＋ 1 设设T1、T2(T1<T2)是方程 T10.155728782725⋯,T26.424142051398⋯

3当当

(0,T1T2＋＋z＋T1T2

1＋

[3]D.S.MitrinovicP.M.Vasic.解析不等式.科学(省蓬安中学,蓬 a,b>0,a+b=1,则4 a3

b

a2 b2 文[2]a,b0ab13 a3

b3

9

a,b0,ab1,nN,n23 an

bn

2n经研究,发现不等式链(4)对nRn22命题设a,b>0,a+b=1,R,2,0 32

1

a b

2 很显然,取n1,由命题即得(4),可见命题是(4)(2)[((ab)2]21(a1)(b[21ab(2)(ab)2]M=21ab(2)(ab)2 2,12

ab a (a2b2)22(ab)2

)22

－2(ab)2= －2(ab)2又03

,2},0

203 M 1ab(2)[22－2(ab)2]－2

)(ab)222 21[(ab)2()]2

3)(ab)22

2,2}2,2} 0而0min{

230－2(23)0又0ab

a

1)2

11,0(ab)2

) 1 于是－2( 3)(ab)2－2( 3)(2

=－2+ 所以M－2+2

2

2

1 a2 b2(6)(2)(a21)(b21)<(1)[((ab)(2)2a2b2(a2b2)<(2)2a2b2[(ab)22ab]<(2)2a2b2(1

<ab(222

1 0

,2}3

02 (2)4ab(*)式显然成立,因而(6)又0a,b<1,当20aa20bb2 a

b

a2

b2

21n猜想设ai0(i=1,2⋯,n),ai1,R,2

nn–2<a

n n问题设ai0(i=1,2⋯,n),ai1,R,2,实数 式n–1+ a n

浙江省三门中学邬天泉1998年IMO训练题:设x1 x2...,xn1是正实数,满足条 .. 1 1 1xnx1x

...xn1n1iyi1x,i=1,2,iy1+y

=1令Si yji1jnii

=1jn1ji

1yisi 因为在乘积

中,n

nn11

i1

所以xx1

i)y

)nn1i nn

当且仅当yi xin,i1,2,,n1时取等号.证n定理 设x1 x2...,xn是正实数, 1 1 1

..

1

nn1xx

1

11

..11

11

1,

nn1x1x2

.. 1 1 1 1 1

...+ 1

1xnnnx1x2...

nn

n 11x..

1 11

1

1

nn

1nnnn1xx

x1x2xnn时取等号.1 注:这个不等式是<<中学生数学>>1996.12<课外练习栏>笔者编拟已知a>0,b>0,求证:11

1

8 由n i11 i11 i11x i

1xn i nn1xin当且仅当x1x2xn1n1已知x1,x2,xn 1xn nn1

nn1xi推论 已知nN,x0ixxnn1对一切x0x=nn=11 nnxn1x对一切nN恒成立,当且仅当nx1 设x1x2x

1

xnnx n1x=nn 1在(1)中用替换xxnx推论 已知x1,x2,,xn都是正数,则有

n

. nn1x1 1 nxni 证明:在推论2的(1)中令x ,整理即得左边的不等式同上,令xn

推论 已知i ),(i1,2,,n),则有2cos1cos2cosn当且仅当cot1cot2cotn n时取等证明cos1cos2cosn n推论 已知i ),(i1,2,,n),2tan1tan2tannn2coscos 当且仅当tan1tan2tannnn

2(1)xi

i11 若0xi1i1,2,nn则 ni11定理 (1)若xi1,i1,2,,n,n2, n i nn1xi(2)若0xi1i1,2,nn2, xi

i11推论(1)若3 42 4 n nn1

tann

(2)若0,3, 4 4

1

tann邬天泉由一个不等式想到的 [2]两道国际数学竞赛题的推广《数学通讯》2003-17浙江省三门中学邬天泉x10xixi10,i1,2,n,xn1x1 nx2 x3 x1 nnN3n1315,17,19,21,23时成立已知正数x,x,x,x,将所有型 (i,j,k=1,2,3,4,且i,j,k互不相同)的数按从x xj

（1）这个数列共有多少项（2）试证:S分析:(1)这个数列共有C3C112 不等式(ab)2a2b2可i a

ii

(这里

xi,j,k1,2,3,4i,j,k1,2,3,4xj i,j,k1,2,3,4xixjxi2 3(x1x2x3x424(x1x2x2x3x3x4x4x1)x1x3x2x49x2x2x2x22(xxxxxxxx)2(xxxx= 1 2 3 4 1 2=4(xxxxxxxx)xxxx1 2 3 4 9x2x2x2x

1 224 2

1

42xi2 2:Sx3x4x1x2x2x4x1x3x1x4x2x3x1222

x3 x1 x2 x2 x1x命题:已知正数x,x,,x,将所有型 (i,j,k=1,2,,n,且i,j,k互不相同)的x xj

数列a1n(n1)(n2) S1n(n1)(n4证明:(1)显然这个数列共有C3C11n(n1)(n2)ni

n1 （2）我们容易得到xixj

xi22a2a再据i

(ai

(这里ai0,bi0,i1,2,n.有 i,j,k1,2,,nxj i,j,k1,2,,nxixjxi1(n1)(n2)(xxx

i2(n 2i,j

x2x2 i i xxji i8xixji,j1,2,,n

=1(n1)

(n

ijx i 1(n1)

2 2)n 1盛立 :本文给出分式不等式

i1s

(n:不等式初等证明 定理:设a,a,⋯,aR,且aa s,kN,k≥2,则

(n其中当且仅当a1a2an文[2]中老师又,当kR,k1时定理也成立,并给出了一个非初等的证明n推广:设aiRi1,2,n,且aisk、rNk≥2,kra a

≥i1s

n

(sai

其中当且仅当a1a2an 证明:由不等式 )r≤ a a

a(其中

0i1 i1,2,n;j1,2,r

n a

k ( (sai)r)(k1(sai)r)≥((sai)

ai

k1

i,,陈胜利(福建省南安市五星中学命题 F1(x,y,z)k113+k212+k33+k0x2y0(F1(1,1,1)=0) (式中1＝x+y+z,2＝xy+yz+zx,3＝xyz)对任意x,y,zR+成立的充要条件是F1(x,1,0)0(x 命题 F2(x,y,z)k14+k2+ 2+ 0(F(1,1, F2(x,1,1)0(x 2 3F(x,y,z)k114+k22+k2+k413+k01x2y0(F(1,2 33k10时,(5)x,y,zR+F(x,1,0) (x 证:z0,y1时,30,2x,1x1,x2yx2,则(6)F(x,1,0)=x[(k2+k0)x2+(2k2+k3+k0)x+k2] (x k2+k00,k20,2k2+k3+k0下面只要证明在此条件下(5)成立.k22,k2k020),k3–(2+22F(11,1)27k29k33k49k00,2–3130知(5)22F(x,y,z)=k21(12–93)+k01(x2y–33)+k3(2

22=2A–2B+ 21 1 A=2–2–3–x2y=xy2–20,C=1x2y–221 1 B2–AC=(2–3)2+2(2–2–3)–2(2–3)x2y+

1

1

1 2x2y= (x–y)2=–2732–213(212–92)+2( 易 (x2y)2=(12–33)x2y–92–13(12–62)– 则B2–AC=–13(2–3)20,故有2A–2B+2C 而由(8)式知(5)(k=0时)成立 命题得证4k08k12k20时,(5)x,y,zR+成立的充要条件是(6)式成立2F(x,y,z)=2k11(13–412+93)+2k3(2–k01(12–33–2x2y) x2yM|(x–y)|12–33–2Mx2yN|(x–y)|2k11( 若(6)式恒成立,则当z=0,y=1,x>0时上式也成立这时2–40,因而可令2= (4+p)20p0),代入(13)(注意应用(10)式),2k1t2–|k0|t2k30式中tt0都成立,

0 k10,k30,|k0| 2下面只要证(15)式成立时(13)式也成立.D1(13–412+93)0,E23130,于是由(15)知(13)F –1| DE–2(x–y)2(2–3)20,F0,从而(13)式

+

+

=0时1

13

定理当k0k1k3(k08k12k20时,三元四次轮换对称不等式(5)x,y,zR+成立F(x,1,1)0,F(x,1,0)0(x 例1(文[4] a2b(a–b)2abcs(1–2r R证:ay+z,bz+x,cx+y,则(18)1 1 22–2–12–x21 1 3,z0,y1,x0成立,2(x+1)2x–x2–(x+1)x2 在ABC中,当51k0时,

k51时上式反向

kb 1 1 证:(19)1–k2)14+(4k2+2k–4)21–k21 –6(k2+k–1)13–4k1x2y 2 2 1k x3(1–k)x–2kx–(1–k)x+2kx1–k f(x)(k>0时 x4x2 1k 由于f(x) (x–x–1)0,故f(x)max251k

2

,知(19) 1kx31类似可知(19的反向不等式可化为 1k (x+x–1)0,即f(x)min= ,从而由 x4x22f(x) 21 ,知(19)k

. 猜想(5)x,y,zR+成立的充要条件是(17)成立参 ....BOTEEMA,我们看见了什么.人民,2003.(河西学院数学系,张掖:设n维单形=conv{A0A1An的体积为V,其垂足单形conv{B0B1B}的体积为V,则有V1B}的体积为V,则有V ,,, VnnV i in

其中01,且两式等式成立的充要条件是P为其中心.并由此得到了一 Vinn(n1)Vi Euclid空间;单形;垂足单形;体积;不等式;分类号:AMS(2000)51K05/CLCnumber设conv{AA,A}nEuclidEn中的单形,n维体积为V.P 中任意一点自P点向n1ficonvA0A1,Ai1Ai1,An引垂线,B(i0,1,,n,由点集BB,B所支撑的单形为,称为点P关于的垂足单形i它的n维体积为V

1989年文献[1]证明了如下有趣的结果1n维单形的体积V和垂足单形的体积VV1V

i,j,k0,1,,n ncoscoscos ij,ik,j ^这里kP关于坐标单形的重心规范坐标(k0,1,,nijfi,fj为的内二面角1992年文献[2]给出了不等式(1.1)的一个新证明1996年文献[3]对此不等式进行了改进,建立了该不等式的一个加细,不等式(1.1)原是文献[4]的一个猜想.本文利用距离几何的理论和方法推广了不等式(1.1),我们证明了下面的定理2,并获得了关于单形顶点角的两个三角不等式(见引理4、引理5及推论3),它们是已有结果的推广.作者简介:马统一(1959--),男,会宁人,河西学院数学 .主要研究方向为凸分析和不等式理论Bn}所的n维单形记为i,其体积记为Vi. 定理2设P为n维单形内任意一点,则的子块i的体积Vi与它的垂足单形的子块i的体积Vi(i0,1,,n) VnnV in

i

其中01,且两式等式成立的充要条件是:P为其中心于(1.3)式中取1,则立得不等式(1.1),因此不等式(1.3)是不等式(1.1)的推广.于(1.3)式或(1.4)中令0,则又得1在n维单形和它的垂足单形中,2, Vinn(n1)Vi 嵌入等方面做了许多开创性的工作,获得了国际数学界的广泛好评.的一个著名结果是1[5]设MAm,i0,1,NEn中的质点组m0A 质量Nn).任取M中的k1AiAi,Ai,k1为Viii.01

Mk

VV

(1k0i0i10Mkl[(nMk

(1kl l [(nl0其等号当且仅当M的密集椭球为球时成立不等式(2.1)中取kn1,lnfi的n1FiV0,,i1,i1,,n(i0,1,,n),单形的体积记为V01nV. n3n nmm mF2 mm 00

i1i m i ii 在上式中令m mF2(i0,1,,n),则立 i1i i2设i0(i0,1,,nn维单形的体积V与它的n1fi2 n2 V2(n1)F2 i

j

j当为正则单形且01n时等式成立.2设i0(i0,1,,n),01,则n维单形的体积Vn1n(n(n1)(1)n3n

n

V2(n

n!2 j i0j当为正则单形且01n时等式成立 设e0e1,en依次是n维单形的n1f0f1,fn上的单位法向量,D

i定义为此单形的第i个界面所对应的顶点角 [8]建立了n维单形的正弦定理,引理3(正弦定理)在n维单形中,成 (n

Fj j (nV随后,人们又几度以不同方式重新发现这个定理,并给出了多种证明和推广[9,10].单形的正弦定理在几何不等式研究中扮演着重要角色[1,10,11].现在 正弦定理用于引理2,立得下面关于单形顶点角的三角不等式.4设i是n维单形的第ifi所对应的顶点角i0(i0,1,,n组实数,则对01 (n1)n1 i i i0j当为正则单形且01n时上式取等号

i 我们还可将不等式(2.5)推广为涉及m1个单形的情形5设n维单形knconvAk0Ak1Akn(k0,1,m的n1fn所对应的顶点角为ki(i0,1,,n则对01,这m1个单形0n,mnn

(n

1jsinki (n i 1i0j

i 当m1个单形kn(k0,1,m均为正则且01n时上式取等号证明由算术4,

jsinki j kii0j

i0j

k ki jjjj

sin2kii0j

(n1)n1 n .证毕 特别地,若不等式(2.6)中的m1个单形合同,取mn1,i 0ij i0,1,,n1 ij j0,1,, ij 推论3设i0(i0,1,,n),01,则在n维单形中,成 (n1)n1 sinnn11 ii0j0等号成立的条件是为正则单形且01

i 引理6 设 n)是En的一组以O为始点的线性无关的向量, ,pk kpp,p为棱生成的k维平行体的体积为V k kpi|)p1p1pkG(p1,p2,,p k 1

V jj

PBj

11

i

1

1

det2

jkj,ki

jk为PBj与PBk间的夹角,而jkkj 证明设i(i0,1,,nPBi上的单位向量,记|PBi|PBi,则PBiPBi由于n维单形iPB0,PBi1PBi1,PBnn维平行体体积的1倍[15],6知:V2

,,PB,PB,,PB

i i

(PB0PB1PBi1PBi1PBn ( jj

PBj)(01i1i1n)). 01i1i1ndet(conjk)j,kisini

2 从 (n!)2PBjsinij j V iPBsini(n!)2j (2.9)式成立,7得证

j ....8设a(i1,2,n;j1,2,m是正数,

11的正数,

aa n

1n

n

n1

i11

imi1

1 i1

2 i2i

mi

1 时成立

nn

nain

(k1,2,,(i)设PBjPBk的夹角为jk单形AjAk所对的n1fjfk所夹的内二面角为jk,第ifi所对的顶点角为i,则易知有关系式jkjk.|PBi|di,7V

1

ndsin

1 1

n!j n!dj

j j 1n n1

1 dn!

1 1

djsini(i0,1,,jn!另外 Vn!ii ni ii

nnV Vi djsink

sin (n!)k0j

k0j0Fj jnn

nV

nn jsin FVFsinn!

k0j0Fj

i

k0j0

jk

Fk

V V sin2 V V sin2 n! jnnVn1 i0 k0j0 (n1) k0j

(n1)n1 V n11n i 1n(n1)n1 nn

V

Vi V (n1)n1

nVn Vn11ii i n nVin

由此即得欲证(i).等式成立的条件显然2

2

2nn(ii)V nn

n

2 i0j0

i0j0k jik nn n1 2 2njVji0j

(n!)2n

d i0j (n (n

2n nn(n!)2d i0j n1

nV2n j nn(n!)2i0j F

j n n1 nV2n 1nn(n n1

i0j0 j F n1

n nn11nn(n F2 (VF)2

j i n1

i0j n11nn(n F2 V2n2V2n2F2n

i

i0j

8(取12mm之情形),

n i0j n1

n1 n11nn(n F2 V2n V2nF2

i i0j i0j FF2 V2n

i

i0j nV2n(n1)!nF2sin2n (nV)n1 i

i n1

n1 V2n V2nsin2

2(n1)

i

i0j

i0j 4,

i0j n1

n1 V2n V2ni0j

V2(n1)

n1

n V2n V2n 2(n1)

i0j

注意到01,0

1(n2

i0j

n1

n1 2n V2n V2(n V i0j i0 n1

2n

V V2 n V2(n2) V i0j n2

V2n V2(n

即

V V2 n22(n2)nV 2 i0j i

n nn另外,由不等式(1.1)VnVn

Vi, 2n22(nV2(n1)n2n(n

n2n(n2)n11n

Vin

i

n2n(n

i 221,n2(n1)(n2)(n2)V2n ii

n1 yii y0y1

n

i0j

n2n(n n2n(n n1n

V2(n1)

(n1)(n2)(n2) (n1)(n2)(n2

V2nn

2i0j(n1)(n2)(12i0j

进而,将式(3.5)用于式

n2

V2 n V2

(n1)n2 (n1)(n2)(12) i0j i0j n n

2n(n

2

V2nn2nV2nji0j

此即为欲证(ii),等式成立的条件不难由证明过程易得].Borto?P.,SinusovavetaoSimplexochvEn[J].Cas.Pest.ErikssonF.,TheLawofSinesforTetrabedraandn-VeljanD.,thesinetheoremandinequalitiesforvolumesofsimplicesanddeterminants[J].LinearAlgebra 项武义 、潘养廉.古典几何学[M].:复旦大学.超平行体的体积[J].工科数学如.En中p维与q维平面间的夹 .高等数学引论(余篇)[M],:科 , :科学,.HARDYGH.不等式[M].:科学AClassofGeometricInequalitiesforaPedalDepartmentofMathematics,HexiUniversity,Zhangye,Gansu734000,People,sRepublicof:Wegeneralizethewell-knowninequalityforthevolumesofn-simplexanditspedalSimplex(seeTheorem2in[1]),andestablishsomeinequalitiesforthevolumesofsubsimplicesOfn-simplexanditspedalsimplex.华东交通大学(330013)刘在文献[1]中,作者建立了有关三角形内角平分线倒数和的下述不等式111

其中a,bc与wawbwc分别表示ABCBC,CA,AB与相应边上的内角平分线元二型推广:xyzx y2z2 (yzzx 本文中,我们进一步将不等式(2)推广为涉及两个三角形的情形,主要结果如下:定理对ABC与ABC与任意实数x,y,z有x2y2

z24(yzsinAzxsinB

sin

等号当且仅当ABC与ABCxyz时成立显然,令ABC为正三角形,由(3)式即得(2)式.因此上述定理推广了不等式(2)为证上述定理,先给出几个引理.引理1[1]在ABC中有wbwcwcwawawb c 等号当且仅当ABC为正三角形时成立 对ABC与任意正数u,v,w与实数x,y,z1x2y2zyzsinAzxsinBxysinC

w xy:z=cosAcosBcosC且uvwtgAtgBtgC q q q k p2 p3 p1p1x2p2y2pz22k(yzqsinAzxq2sinBxyq3sinC cosC且pq2pq2pq2xyz(qcosA)(qcosBtgAtgBtgC

1 2 3证 正弦和不等式(5)中令uq2q3,vq3q1,vq1q2,则q1 q2 q3p p p (11x2 22y2 33z2 q3 再作置换:x y z yzq1sinAzxq2sinBxyq3sin1 (px2

y2pz2 式等号成立的条件.引理3证毕. 在引理3中令p1 ,p2 ,p3 ,q1 ,q2 ,q3 ,立即就得 对于ABCP,记BPC,CPA,APB分别为11,1,角的补角分别为2,2,2,则 一定存在恒等式:,其中为1,2中的一值(,的值同此).因此,,可构成一个三角形的内角.从而在不等式(3)中可A,B C又记BPC,CPA,APB的外接圆半径分别为RaRbRc,a2Rasin等等, 对ABC平面上任一点P与任意实数x,y,zx2y2z

2(

zxxyRb

2ax2Ry2Rz2Ra

(yzwazxwbxywc 3 1 对ABC平面上任一点P1113(111

2 1111 (Rr为ABC的外接圆半径)是不分强弱的并行结果rrr.在不等式(9)中作置换xxR,yyRzzR,RR2R3等,1

aa价式 R R R 1x2 2x2 3z2 (yzrzxrxyr

对ABC平面上任一点PR 1 2 3 (rrr

(RRR

(www

对ABC平面上任一点P(RRR) (mmm

其中mambmc为ABC的三条中线 对ABC平面上任一点P(RRR 4(Rr)r1r2r3 (RRR) r1r2r3s为ABC的半周长R2R2

x2

y2

z28(yzsinA

zxsin

sin)

b c a,刘健,三角形一些新的三元二次不等式,第三届初等数学研究学术交流 刘健,正弦和不等式的一个等价式及其应用,中国初等数学研究(二),中国科学文化社,2003年6月.(福建省仙游县金石中学文[1]中提出:能否在量级ER2r2上再找到一个非负对称量？经探讨,笔者成功 1 2r2 BC 2r21 a s1 2 R

R 2r

B

2rs21 a2 s21 R R 2r B 2rs31 a3 s31 1

B

R2r1 21 3 R R并把最优美的式(4)发布不等式研究小组(http://)上. BC 2r2E E1 t3,4,5 R并提出了许多类似的不等式.在此基础上,提出了一个猜想,即本文中的定理1(包括推论1).笔者经过深入探讨,发现这个猜想成立,并在探索过程中,提出并证明了另一个有趣的结论,即本文中的定理2.设xaxaxbxcxa0,xb0,

ExatEettaExtEettaExaEe,存在两个正常数k1k2,使k1exak2exaxak2exak2e2xbk2exck2exatktet2xat3ktetx x a a(t1),又xake,则 xt 1 xt1ket1ktet 3t1 3t1即 xt1ktet

1ktetxat3ktet3t1 ExtEett11aaaaaE2nxE2ne(nN* a证明(对n进行数学归纳法证明)由 xa xbxc 式(*)成立,则对于n1

2nx

n E2n1x

a 2

e1n下面给出定理1的证明:1n当0t1时,总存在一个n

*,使t ,即有t2n1,由引理2,2nt2 t22nt2 t2

ttn ttn

Ee1若

当t1当t11,ExtEet.综上,定理1 2ExtExtt0 2ExaEe1EyaEe2ExayaEe Exa Ee (m0,n0 e10或e20e10e20的当m1,n111a 21 y2 同样,存在正常数ky1、ky2和k1、k211a 21 y2 ke

x

ke

mkmem ynk

xamyan3kx2mky2ne1me2n 利 幂平均不等式[2],xm xy kee k y22y2 a aa k11e2 1 y22y2a a

k又因为yaky1kmxmyk 1eme,即有xmykeme(常数k0

1 1cemxmce1 1xm

xmy keme

k a 2 en(nx xm cem c 2 2k kxmyncemen 2 2a Ea

当m1,0n1

ExamyanExmynm1,n l xm yn

xmy m1,n n1 n lxmxm m1,n ay a由于0 1等,0n1,故有

x

xam a ya ya由式(6)(n1)知,存在正常数l,使lxmxm

ay存在正常数l, xml xm.故有 a 3 m,lxmxm lxm, ay 所以,l xm yn xmynl yn,即有2 3 综合情况(A)、(B)知,上式对m1,n0类似于情况(B),同理可证,E当0m1,类似于情况(B),同理可证,Ea

Ee

3Exaxaya

(m0,n0 3表明:如果xaya是标准的几何量,那么xmynm0,n0 .三角形几何量的量级研究综述.BOTTEMA我们看见了什 著).:人民.2003年1月.P453—[2].平均[M].:人民教 最近,笔者在考虑一些几何不等式式差的量级时,地发现有些三角形非负对 k2Q1Qk1 考虑不等式链(1)右边不等式的式差k11(由Ｑ到不等式链(1)的过程称为对Ｑ进1k11 nQ=limkin

ab

(bc)2

L 2 2r

2 2

2rk2s1Rabc(bc)k1s1R 1 ,k2min1,即有不等式s2

2r

(bc)2122r Rab R

12

2r abc

8 R

12

2r (bc) 1

E(s216Rr5r2 ab R 3BOTTEMAa

2r (s216Rr5r2)

(bc)2

(s216Rr5r2 ab 8s

R

2r 2r 4s1RRabc(bc)8s1R8(s16Rr5r)128

1R13r

12

2r (s16Rr5r)

(bc)2s

(s16Rr5r ab 2 2r 27

R R

16Rr5r52

2rr

(bc)212

7

16Rr5r2s

RR

ab

R s 2 27s

2rr s1

(s16Rr5r) s21 R RR65r

12

2r(s216Rr5r2)

(bc)2s

R522r

27

2

s

s

(s216Rr5r2128

R

2

2rr

12 2r7 s

(bc)2

s1

(s16Rr5r

RR

ab

R 2 2r

27

2

2rr s

s

RR128

RR135r⋯

)

2rr RR5 16 2r5r s2

(bc)2(s216Rr R16R ab 2 n5r 5

16 i1

(当n为奇数 25

2r5r 5r

(bc)28

2 2rn5r

5r 5

Ri116R

(当n为偶数 5r 5r令n,注意到lim n16R

0,则不论由(a)还是由(b) 2R

5ri

5

lim

2R 2r n5r s21 R n由 5rn

516

ni116R 15 16R 716

2R

2r 2 (s