课时作业27-平面向量的数量积与应用举例

课时作业27平面向量的数量积与应用举例[基础达标]一、选择题1．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|＝()A．1B.eq\r(2)C．2D．4解析：因为2a－b与b垂直，所以(2a－b)·b＝0，所以－3＋n2＝0，解得n2＝3，所以|a|＝2.答案：C2．[2019·云南省第一次统一检测]在▱ABCD中，|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝8，|eq\o(AD,\s\up15(→))|＝6，N为DC的中点，eq\o(BM,\s\up15(→))＝2eq\o(MC,\s\up15(→))，则eq\o(AM,\s\up15(→))·eq\o(NM,\s\up15(→))＝()A．48B．36C．24D．12解析：eq\o(AM,\s\up15(→))·eq\o(NM,\s\up15(→))＝(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BM,\s\up15(→)))·(eq\o(NC,\s\up15(→))＋eq\o(CM,\s\up15(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up15(→))＋\f(2,3)\o(AD,\s\up15(→))))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up15(→))－\f(1,3)\o(AD,\s\up15(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))2－eq\f(2,9)eq\o(AD,\s\up15(→))2＝eq\f(1,2)×82－eq\f(2,9)×62＝24，故选C.答案：C3．[2019·石家庄检测]若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)解析：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴a·b＝0.又|a＋b|＝2|b|，∴|a＋b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，∴|a|＝eq\r(3)|b|，cos〈a＋b，a〉＝eq\f(a＋b·a,|a＋b||a|)＝eq\f(a2＋a·b,|a＋b||a|)＝eq\f(|a|2,2|b||a|)＝eq\f(|a|,2|b|)＝eq\f(\r(3),2)，故a＋b与a的夹角为eq\f(π,6).答案：A4．[2019·陕西西安地区八校联考]已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量eq\o(CD,\s\up15(→))在eq\o(BA,\s\up15(→))方向上的投影是()A．－3eq\r(5)B．－eq\f(3\r(2),2)C．3eq\r(5)D.eq\f(3\r(2),2)解析：依题意得，eq\o(BA,\s\up15(→))＝(－2，－1)，eq\o(CD,\s\up15(→))＝(5,5)，eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(CD,\s\up15(→))＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|eq\o(BA,\s\up15(→))|＝eq\r(5)，因此向量eq\o(CD,\s\up15(→))在eq\o(BA,\s\up15(→))方向上的投影是eq\f(\o(BA,\s\up15(→))·\o(CD,\s\up15(→)),|\o(BA,\s\up15(→))|)＝eq\f(－15,\r(5))＝－3eq\r(5)，选A.答案：A5．[2019·惠州市调研考试]若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OC,\s\up15(→)))·(eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))－2eq\o(OA,\s\up15(→)))＝0，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形解析：(eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OC,\s\up15(→)))·(eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))－2eq\o(OA,\s\up15(→)))＝0，即eq\o(CB,\s\up15(→))·(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→)))＝0，∵eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(CB,\s\up15(→))，∴(eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→)))·(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→)))＝0，即|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝|eq\o(AC,\s\up15(→))|，∴△ABC是等腰三角形．答案：A6．[2019·云南省高三11校跨区调研考试]平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于()A．13＋6eq\r(2)B．2eq\r(5)C.eq\r(30)D.eq\r(34)解析：依题意得a2＝2，a·b＝eq\r(2)×2×cos45°＝2，|3a＋b|＝eq\r(3a＋b2)＝eq\r(9a2＋6a·b＋b2)＝eq\r(18＋12＋4)＝eq\r(34)，选D.答案：D7．[2019·石家庄高中模拟考试]已知B是以线段AC为直径的圆上的一点(异于点A，C)，其中|AB|＝2，则eq\o(AC,\s\up15(→))·eq\o(AB,\s\up15(→))＝()A．1B．2C．3D．4解析：连接BC，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，eq\o(AC,\s\up15(→))在eq\o(AB,\s\up15(→))上的投影|eq\o(AC,\s\up15(→))|cos〈eq\o(AC,\s\up15(→))，eq\o(AB,\s\up15(→))〉＝|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝2，∴eq\o(AC,\s\up15(→))·eq\o(AB,\s\up15(→))＝|eq\o(AC,\s\up15(→))||eq\o(AB,\s\up15(→))|·cos〈eq\o(AC,\s\up15(→))，eq\o(AB,\s\up15(→))〉＝4.故选D.答案：D8．[2019·武汉市高中调研测试]已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，则a·b的最大值为()A．－1B．－2C．－eq\f(5,2)D．－eq\f(5,4)解析：不妨设e＝(1,0)，则a＝(1，m)，b＝(－2，n)(m，n∈R)，则a＋b＝(－1，m＋n)，所以|a＋b|＝eq\r(1＋m＋n2)＝2，所以(m＋n)2＝3，即3＝m2＋n2＋2mn≥2mn＋2mn＝4mn，当且仅当m＝n时等号成立，所以mn≤eq\f(3,4)，所以a·b＝－2＋mn≤－eq\f(5,4)，综上可得a·b的最大值为－eq\f(5,4).故选D.答案：D9．[2019·呼伦贝尔模拟]O是平面上一定点，A，B，C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足：eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→)))，λ∈(0，＋∞)，则直线AP一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：如图，取BC中点D.因为eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→)))，eq\o(OP,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→)))，即eq\o(AP,\s\up15(→))＝2λeq\o(AD,\s\up15(→))，所以A，P，D三点共线，所以AP一定通过△ABC的重心．答案：C10．[2018·天津卷]如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则eq\o(AE,\s\up15(→))·eq\o(BE,\s\up15(→))的最小值为()A.eq\f(21,16)B.eq\f(3,2)C.eq\f(25,16)D．3解析：本题主要考查数量积的综合应用．解法一如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，C(0，eq\r(3))，令E(0，t)，t∈[0，eq\r(3)]，∴eq\o(AE,\s\up15(→))·eq\o(BE,\s\up15(→))＝(－1，t)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，t－\f(\r(3),2)))＝t2－eq\f(\r(3),2)t＋eq\f(3,2)，∵t∈[0，eq\r(3)]，∴当t＝eq\f(－\f(\r(3),2),2×1)＝eq\f(\r(3),4)时，eq\o(AE,\s\up15(→))·eq\o(BE,\s\up15(→))取得最小值，(eq\o(AE,\s\up15(→))·eq\o(BE,\s\up15(→)))min＝eq\f(3,16)－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),4)＋eq\f(3,2)＝eq\f(21,16).故选A.解法二令eq\o(DE,\s\up15(→))＝λeq\o(DC,\s\up15(→))(0≤λ≤1)，由已知可得DC＝eq\r(3)，∵eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋λeq\o(DC,\s\up15(→))，∴eq\o(BE,\s\up15(→))＝eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＋λeq\o(DC,\s\up15(→))，∴eq\o(AE,\s\up15(→))·eq\o(BE,\s\up15(→))＝(eq\o(AD,\s\up15(→))＋λeq\o(DC,\s\up15(→)))·(eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＋λeq\o(DC,\s\up15(→)))＝eq\o(AD,\s\up15(→))·eq\o(BA,\s\up15(→))＋|eq\o(AD,\s\up15(→))|2＋λeq\o(DC,\s\up15(→))·eq\o(BA,\s\up15(→))＋λ2|eq\o(DC,\s\up15(→))|2＝3λ2－eq\f(3,2)λ＋eq\f(3,2).当λ＝eq\f(－\f(3,2),2×3)＝eq\f(1,4)时，eq\o(AE,\s\up15(→))·eq\o(BE,\s\up15(→))取得最小值eq\f(21,16).故选A.答案：A二、填空题11．[2019·广东五校高三第一次考试]已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(3，m)，且b在a上的投影为3，则向量a与b的夹角为________．解析：因为a·b＝3＋eq\r(3)m，|a|＝eq\r(1＋3)＝2，|b|＝eq\r(9＋m2)，由|b|cos〈a，b〉＝3可得|b|eq\f(a·b,|a||b|)＝3，故eq\f(3＋\r(3)m,2)＝3，解得m＝eq\r(3)，故|b|＝eq\r(9＋3)＝2eq\r(3)，故cos〈a，b〉＝eq\f(3,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，故〈a，b〉＝eq\f(π,6)，即向量a与b的夹角为eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)12．已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝eq\f(1,2).若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.解析：∵e1·e2＝eq\f(1,2)，∴|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝eq\f(1,2)，∴〈e1，e2〉＝60°.又∵b·e1＝b·e2＝1>0，∴〈b，e1〉＝〈b，e2〉＝30°.由b·e1＝1，得|b||e1|cos30°＝1，∴|b|＝eq\f(1,\f(\r(3),2))＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)13．已知平面向量a，b，c不共线，且两两所成的角相等，若|a|＝|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________.解析：∵平面向量a，b，c不共线，且两两所成的角相等，∴它们两两所成的角为120°.∵|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝a＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a||b|·cos120°＋2|b||c|cos120°＋2|a||c|cos120°＝22＋22＋12＋2×2×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋2×2×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋2×2×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝1，∴|a＋b＋c|＝1.答案：114．[2018·上海卷]在平面直角坐标系中，已知点A(－1,0)、B(2,0)，E、F是y轴上的两个动点，且|eq\o(EF,\s\up15(→))|＝2，则eq\o(AE,\s\up15(→))·eq\o(BF,\s\up15(→))的最小值为________．解析：本题主要考查数量积的运算以及二次函数的最值问题．设E(0，m)，F(0，n)，又A(－1,0)，B(2,0)，∴eq\o(AE,\s\up15(→))＝(1，m)，eq\o(BF,\s\up15(→))＝(－2，n)．∴eq\o(AE,\s\up15(→))·eq\o(BF,\s\up15(→))＝－2＋mn，又知|eq\o(EF,\s\up15(→))|＝2，∴|m－n|＝2.①当m＝n＋2时，eq\o(AE,\s\up15(→))·eq\o(BF,\s\up15(→))＝mn－2＝(n＋2)n－2＝n2＋2n－2＝(n＋1)2－3.∴当n＝－1，即E的坐标为(0,1)，F的坐标为(0，－1)时，eq\o(AE,\s\up15(→))·eq\o(BF,\s\up15(→))取得最小值－3.②当m＝n－2时，eq\o(AE,\s\up15(→))·eq\o(BF,\s\up15(→))＝mn－2＝(n－2)n－2＝n2－2n－2＝(n－1)2－3.∴当n＝1，即E的坐标为(0，－1)，F为坐标为(0,1)时，eq\o(AE,\s\up15(→))·eq\o(BF,\s\up15(→))取得最小值－3.综上可知，eq\o(AE,\s\up15(→))·eq\o(BF,\s\up15(→))的最小值为－3.答案：－3[能力挑战]15．[2018·浙江卷]已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为eq\f(π,3)，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是()A.eq\r(3)－1B.eq\r(3)＋1C．2D．2－eq\r(3)解析：本小题考查平面向量的数量积、坐标运算、向量模的最值和点到直线的距离．设eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，eq\o(OE,\s\up15(→))＝e，以O为原点，eq\o(OE,\s\up15(→))的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则E(1,0)．不妨设A点在第一象限，∵a与e的夹角为eq\f(π,3)，∴点A在从原点出发，倾斜角为eq\f(π,3)，且在第一象限内的射线上．设B(x，y)，由b2－4e·b＋3＝0，得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，即点B在圆(x－2)2＋y2＝1上运动．而eq\o(BA,\s\up15(→))＝a－b，∴|a－b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值，即为圆心(2,0)到射线y＝eq\r(3)x(x≥0)的距离减去圆的半径，所以|a－b|min＝eq\r(3)－1.选A.一题多解将b2－4e·b＋3＝0转化为b2－4e·b＋3e2＝0，即(b－e)·(b－3e)＝0，∴(b－e)⊥(b－3e)．设eq\o(OE,\s\up15(→))＝e，eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，eq\o(ON,\s\up15(→))＝3e，eq\o(OM,\s\up15(→))＝2e，则eq\o(EB,\s\up15(→))⊥eq\o(NB,\s\up15(→))，∴点B在以M为圆心，1为半径的圆上运动，如图．∵|a－b|＝|eq\o(BA,\s\up15(→))|，∴|a－b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值，即为圆心M到射线OA的距离减去圆的半径．∵|eq\o(OM,\s\up15(→))|＝2，∠AOM＝eq\f(π,3)，∴|a－b|min＝2sineq\f(π,3)－1＝eq\r(3)－1.答案：A16．定义平面向量的一种运算a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin〈a，b〉，其中〈a，b〉是a与b的夹角，给出下列命题：①若〈a，b〉＝90°，则a⊙b＝a2＋b2；②若|a|＝|b|，则(a＋b)⊙(a－b)＝4a·b；③若|a|＝|b|，则a⊙b≤2|a|2；④若a＝(1,2)，b＝(－2,2)，则(a＋b)⊙b＝eq\r(10).其中真命题的序号是________．解析：①中，因为〈a，b〉＝90°，则a⊙b＝|a＋b|×|a－b|＝a2＋b2，所以①成立；②中，因为|a|＝|b|，所以〈(a＋b)，(a－b)〉＝90°，所以(a＋b)⊙(a－b)＝|2a|×|2b|＝4|a||b|，所以②不成立；③中，因为|a|＝|b|，所以a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin〈a，b〉≤|a＋