2其次章 流体静力学

本文格式为Word版，下载可任意编辑——2其次章流体静力学其次章流体静力学

2－1设水管上安装一复式水银测压计，如下图。试问测压管中1－2－3－4水平液面上的压强p1、p2、p3、p4中哪个最大？哪个最小？哪些相等？

解：p1

2－2设有一盛（静）水的水平底面的密闭容器，如下图。已知容器内自由表面上的相对压强p0=9.8×103Pa，容器内水深h=2m，点A距自由表面深度h1=1m。假使以容器底为水平基准面，试求液体中点A的位置水头和压强水头以及测压管水头。

解：ZA?h?h1?(2?1)m?1mH2O

pAp0??gh19.8?103?9.8?103?1??m?2mH2O?g?g9.8?103pHpA?ZA?A?(1?2)m?3mHO2

?g2－3设有一盛水的密闭容器，如下图。已知容器内点A的相对压强为4.9×104Pa。如在该点左侧器壁上安装一玻璃测压管，已知水的密度?=1000kg/m3，试问需要多长的玻璃测压管？如在该点右侧器壁上安装一水银压差计，已知水银的密度?Hg=13.6×103kg/m3，h1=0.2m，试问水银柱高度差h2是多大值？

解：（1）?gh?pA

pA4.9?104h??m?5m3?g9.8?10（2）?Hggh2?pA??gh1

pA??gh14.9?104?9.8?103?0.2h2??m?0.38m3?Hgg13.6?10?9.8

5

2－4设有一盛水的密闭容器，连接一复式水银测压计，如下图。已知各液面的高程

3m，?2?1.2m，?3?2.5m，?4?1.4m，?5?3.0m，水的密度ρ==1000分别为?1?2.kg/m3，ρHg=13.6×103kg/m3。试求密闭容器内水面上压强p0的相对压强值。

解：p0??Hgg(?1??2)??g(?3??2)??Hgg(?3??4)??g(?5??4)

33??(13.6?10?9.8?(2.3?1.2)?9.8?10?(2.5?1.2)??313.6创1039.8?(2.51.4)-9.8创103(3.0-1.4)ùPa=264.8010Paú?

2－5设有一盛空气的密闭容器，在其两侧各接一测压装置，如下图。已知h1=0.3m。

试求容器内空气的绝对压强值和相对压强值，以及水银真空计左右两肢水银液面的高差h2。（空气重量略去不计）。

解：（1）p0abs?pa??gh1?(9.8?104?9.8?103?0.3)Pa?9.506?104Pap0???gh1??9.8?103?0.3Pa??2940Pa

（2）h2?

?p02940?3?m?22?10m?22mm3?Hgg13.6?10?9.8

2－6设有两盛水的密闭容器，其间连以空气压差计，如图a所示。已知点A、点B位于同一水平面，压差计左右两肢水面铅垂高差为h，空气重量可略去不计，试以式表示点A、点B两点的压强差值。

若为了提高精度，将上述压差计倾斜放置某一角度θ=30°，如图b所示。试以式表示压差计左右两肢水面距离l。

解：（1）pA??gh?pB，pA?pB??gh

（2）sin??hh?2h，l??lsin302－7设有一被水充满的容器，其中点A的压强由水银测压计读数h来确定，如下图。

若在工作中因不慎或换一一致的测压计，而使测压计向下移动一距离Δz，如图中虚线所示。试问测压计读数是否有变化？若有变化，Δh又为多大？

解：由压强关系得：?Hggh??g(h?h)1?pA(1)

?Hgg(h??h)??g?(z?h?h??h321?h)A

p(2)

由水银容积前后相等关系得：

h?2h2?h??h?2h3(3)联立解上述三式可得

2?g?z2?9.8?103??z?z，测压计读数有变化。?h???(2?Hgg??g)(2?13.6?103?9.8?9.8?103)13.16

2－8杯式微压计，上部盛油，下部盛水，圆杯直径D＝40mm，圆管直径d＝4mm，初始平衡位置读数h＝0。当p1－p2＝10mmH2O时，在圆管中读得的h（如下图）为多大？油的密度?0＝918kg/m3，水的密度?=1000kg/m3。

解：当圆管中水面高差为h时，圆杯中油面高差为2Δh，所以

ππ2?h?D2?h?d2

44hd2h?42?h???0.005h

2D22?402p1??0gh??gh?2?0g?h?p2

p1?p2??gh??0g(h?2?h)?(?g?0.99?0g)h

0.0?19.?8310m?0.11。mh?39.8?10?0.?99?9189.82－9设有一盛有油和水的圆形澄清桶，如下图。油和水之间的分界面借玻璃管A来

确定，油的上表面借玻璃管B来确定。若已知圆桶直径D＝0.4m，h1＝0.5m，h2＝1.6m，油的密度?0=840kg/m3，水的密度?=1000kg/m3。试求桶内的水和油各为多少？若已知h1＝0.2m，h2＝1.2m，h3＝1.4m，试求油的密度?0。

解：（1）

?g(h2?h1)??0g(h3?h1)??0gh

?g(h2?h1)9.8?103?(1.6?0.5)h??m?1.31m

?0g840?9.8π2πDh1=创0.420.5m3=0.063m344π2π0.421.31m3=0.165m3桶内油的体积V2=Dh=创44?g(h2?h1)（2）?0g?

(h3?h1)桶内水的体积V1=(h2?h1)?(1.2?0.2)?103?0??kg/m3?833kg/m3

(h3?h1)1.4?0.27

2－10设有两盛水的密闭容器，其间连以水银压差计，如下图。已知容器内点A、点B位于同一水平面，压差计左右两肢水银液面高差h＝0.2m，试求点A、B两点的压强值。若点A、点B不位于同一水平面，两点相差Δz＝0.5m，如图中虚线所示，试求点A、点B两点的压强差值。

解：（1）pA??gh?pB??Hggh

3pA?pB?(?Hgg??g)h?(13.6?103?9.8?9.8?103)?0.2Pa?24.696?10Pa（2）pA??gh?pB??g?z??Hggh

pA?pB??g?z?(?Hgg??g)h

3333???9.8?10?0.5?(13.6?10?9.8?9.8?10)?0.2Pa?29.596?10Pa??

2－11一直立煤气管，如下图。在底部测压管中测得水柱差h1＝100mm，在H＝20m高处的测压管中测得水柱差h2＝115mm，管外空气密度?a＝1.29kg/m3，水的密度ρ=1000kg/m3，求管中静止煤气的密度?c。（考虑大气和煤气中高差20m两点间的静压强差值，测压管中的则忽略不计。）

解：考虑煤气、空气中的压强，都沿高程的变化，即p1?p2??cgH，p4?p3??agH由测压管中读数可得

p1?p4??gh，1p2?p3??gh2所以可得

p4??gh1?p3??gh2??c

gHgH??(g1h?)2hgHp?p3??g(h)?1?h2?c?4?agH?9.8?103?(0.10?0.115)?33??1.29?kg/m?0.54kg/m?9.8?20??

8

2－12设有一盛水密闭容器的表面压强为p0。试求该容器以等速铅垂向上运动时，液体内的压强分布规律。

解：容器以等速铅垂向上运动时，液体内的压强分布规律仍符合水静力学基本方程，即：p?p0??gh

2－13为了测定运动物体的加速度，在运动物体上装一直径为d的U形管，如下图。现测得管中液面差h＝0.05m，两管的水平距离L＝0.3m，求加速度a。

解：fxdx?fydy?fzdz?0由于fx??a，fy?0，fz??g，所以

dz=0-adx-g，

a?dzhdza=-，??

dxLdxg2－14一洒水车（如下图）以0.98m/s2的等加速度向前行驶。设以水面中心点为原点，

建立Oxz坐标系，试求自由表面与水平面的夹角?。又自由表面压强p0＝98kPa，车壁某点A的坐标为x＝－1.5m，z＝－1.0m，试求A点的绝对压强。

解：dp=?（fxdx?fydy?fzdz）由于fx??a，fy?0，fz??g，所以dp=?(?adx?gdz)积分上式并根据边界条件可得

h0.05g??9.8m/s2?1.63m/s2L0.3p?p0??(?ax?gz)

自由表面方程为

ax?gz?0??arctana0.98?arctan?5.71?g9.8（2）pA??98?1.0?(?0.98)?(?1.5)?1.0?9.8?(?1.0)]kPa?109.27kPa

9

2－15设有一敞口容器（如下图）以3.0m/s2的等加速度沿α=30o的倾斜轨道向上运动，试求容器内自由表面方程及其与水平面所成的角度θ。

解：（1）fxdx?fydy?fzdz?0由于fx?－acos?，fy?0，fz?－（g+asin?）,所以(?aco?s)xd?g?(a?sin?z)d积分上式可得

?(acos?)x?(g?asin?)z?C（常数）z=

?(acos?)x＋C

g?asin?上式为平行于y轴的平面方程，它与水平面的夹角为θ。（2）

dz?acos?acos?，tan???tan???dxg?asin?g?asin?2－16设有一弯曲河段，如下图。已知凸岸曲率半径r＝135m，凹岸曲率半径R＝

150m，断面平均流速v＝2.3m/s。试求在Oxz平面内的水面曲线方程和两岸水位差z。（注：河弯水流的水力现象比较繁杂，为了粗略估算，假定横断面上各点流速皆为断面平均流速，同一横断面上的水流质点之间没有相对运动，即处于相对平衡状态。）

解：（1）fxdx?fydy?fzdz?0

v2由于fx?，fy?0，fz?－g

xv2dx?gdz?0所以，积分上式可得xv2lnx－gz＝C

积分常数C，可根据边界条件确定。当x=r，z=0，则C=vlnr。代入上式得水面曲线方程为

2v2xz?2.3lg

gr2.32150lgm?0.057m。（2）z0?2.3?9.8135

2－17设有一圆柱形敞口容器，绕其铅垂中心轴作等角转速旋转，如下图。已知直径D=30cm，高度H=50cm，水深h=30cm。试求当水面恰好达到容器的上边缘时的转速n。

解：设容器旋转后，铅垂中心处（坐标原点）水深为h1。根据旋转前后液体总体积保持不变这一条件，可得

10

πD21πD2(h?h1)???(H?h1)，所以

424h1?2h?H??2?0.3?0.5?m?0.1m

自由表面方程为

z??2R22g?H?h1?(0.5?0.1)m?0.4m，所以

??0.4?2?9.8rad/s?18.67rad/s

0.15260?60?18.67??2πn，n??r/min?178.2r/min

2π2?π2－18一旋转圆柱形容器，直径D=1.2m，完全充满水，顶盖上在r0=0.43m处开一小

孔，旋转稳定后敞口测压管中的水位h=0.5m，如下图。试求此容器顶盖所受静水总压力为零时，容器绕其铅垂中心轴的旋转转速n。

解：设顶盖中心点所受的压强为p0，根据相对平衡液体中压强的分布规律，可得

p0??g?2r022g??gh

)

p0??g(h??2r022g设顶盖上任一点所受的压强为p，则

p?p0??gD/2?2r22g??g(?2r22gD/2?h??2r022g?h?)

当顶盖所受静水总压力P为零时，即

P??0p2πrdr?2π?g?0(?2r22g?2r022g)rdr

?2π?g[(h?所以h??2r021D?0

)()?()4]?02g222g422?21D?2r022g??2D216g??16hg16?0.5?9.8?rad/s?44.72rad/s

8r02?D28?0.432?1.2260?60?44.72n??r/min?427r/min

2π2π

2－19设有一圆柱形容器，如下图。已知直径D=600mm，高度H=500mm，盛水至

11

h=400mm，剩余部分盛满密度?0=800kg/m3的油。容器顶盖中心有一小孔与大气相通。试求当油面开始接触到容器底板时，此容器绕其铅垂中心轴旋转的转速n，和此时顶板、底板上的最大、最小压强值。

解：（1）油水分界面为等压面。设容器旋转后，容器底板中心处压强为ρ0gH，r=r1处的压强为?0g?2r122g。因此可得

H??2r122g，??2gHr1因旋转后，油所占据的旋转抛物体体积与旋转前所占据的圆柱体体积相等，所以

HD?π()2(H?h)22H?h0.5?0.4r1?D?0.6m?0.19m

2H2?0.52gH2?9.8?0.5???rad/s?16.48rad/s

r10.19?16.48n?60?60?r/min?157.37r/min

2π2ππr12（2）顶板中心点压强p1=0

底板中心点压强p2?p1??0gH?800?9.8?0.5P?a底板边缘点压强

20Pa3916.482?0.32p3?p2??g?(3920?9.8?10?)Pa?16142Pa

2g2?9.8顶板边缘点压强p4?p3??gH?(16142?9.8?103?0.5)Pa?11242Pa

3?2(D/2)22－20设在水渠中装置一水平底边的矩形铅垂闸门，如下图。已知闸门宽度b=5m，闸门高度H=2m。试求闸门前水深H1=3m，闸门后水深H2=2.5m时，作用在闸门上的静水总压力Fp（大小、方向、作用点）。

解：Fp?Ab??g(H1?H2)Hb?9.8?10?(3?2.5)?2?5N?49?10N

33Fp的方向：垂直于闸门，并指向右。

11Fp的作用点：H??2m?1m，即离渠底1m，且在闸门对称轴线上。

22

2－21设在某一小桥上，装置一水平底边的矩形铅垂闸门，如下图。已知闸门宽度b＝3m，闸门与其导轨的摩擦系数f=0.30，闸门自重G=2.45×103N（不考虑浮力），闸门前水深H=1.5m。试求当闸门后水深h≈0时，开启闸门所需的提升力FL；假使考虑到闸门下缘（压紧梁）与门槛的紧凑接触状况，若其接触面积为70%，压紧梁厚度δ＝0.1m，试求开启

12

闸门所需增加的提升力ΔFL。

解：（1）FL=fFP+G

Fp?113?gH2b??9.8?103?1.52?3N?33.08?10N22FL=（0.3×33.08×103＋2.45×103）N＝12.37×103N

（2）?FL?pa?b?0.7?9.8?104?0.1?3?0.7N?20.6?103N>FL

2－22设一铅垂平板安全闸门，如下图。已知闸门宽b=0.6m，高h1=1m，支撑铰链

C装置在距底h2=0.4m处，闸门可绕C点转动。试求闸门自动开启所需水深h。

解：将闸门对称轴线上的梯形静水压强分布图，分为矩形和三角形两部分。对支点C写力矩平衡式，可得

?g(h?h1)?h1?b?(h1h1?h2)??g?h1?h1?b?(h2?1)223111?g(h?1)?1?0.6?(?0.4)??g?1?1?0.6?(0.4?)

223h=1.333m

当水深h>1.333m时，闸门将自动开启。

2－23设有一可转动的闸门用以调理水槽中的水位，如下图。当槽中水位为H时，此闸门应使壁上一尺寸为a×b的矩形孔开启。试求铰链轴O的位置y（铰链摩擦力等不计）。c

解：将闸门对称轴线上的梯形静水压强分布图，分为矩形和三角形两部分。梯形面积的形心位置根据分力力矩的总和等于合力力矩的力矩平衡方程式求出。对闸门上缘而言，可得

?gH?a?b???ga?a?b?a?(?gH?a?b??ga?a?b)?yc

a122a(3H?2a)yc?

3(2H?a)2312铰链轴O的位置设在闸门上缘下yc处，为极限平衡状态；若再稍深一些，当槽中水位为H时，闸门将自动开启。

2－24设有一水平底边矩形铅垂金属闸门，它由三根水平横梁和平板所组成，如下图。已知闸门宽度b=3m，闸门前水深H=2m。试根据横梁负荷相等的条件布置闸门三根横梁的位置（y1、y2、y3）。

解：用图解法求解，设三根横梁的位置离自由水面的距离分别为y1、y2、y3。

111?gh12???gH223222H2h1??m?1.15m，y1?h1??1.15m?0.77m

333313

12122?gh22???gH2，h2?H??2m?1.63m23233(h?2h2)1y2?h1?(h2?h1)?13(h1?h2)??1.15?(1.63?1.15)?(1.15?2?1.63)?m?1.40m?(1.15?1.63)??(h?2H)1y3?h2?(H?h2)?23(h2?H)13??13(1.63?2?2)?m?1.82m?(1.63?2)????1.63?(2?1.63)?

2－25设有一水压机，如下图。已知杠杆的长臂a=1m，短臂b=0.1m，大圆活塞的直径D=0.25m，小圆活塞的直径d=0.025m，效率系数η=0.85。如一人加于杠杆一端上的力F=196N，试求此水压机所能产生的压力FP2值（不计活塞的高差及其重量）。

解：根据力矩方程式，可得

FP1?F?ab根据帕斯卡定律，可得FP2?FP14?F?aπ2?A2??D2A1πdb4考虑效率系数η，则

aD210.252FP2=?F?0.85?196??N?166600N?166.6kN

bd20.10.02522－26设有一容器盛有两种液体（油和水），如下图。已知h1=0.6m，h2=1.0m，α＝

60°，油的密度?0＝800kg/m3，试绘出容器壁面侧影AB上的静压强分布图，并求出作用在侧壁AB单位宽度（b＝1m）上的静止液体的总压力。

解：容器壁面侧影AB上的静水压强分布图，如图中虚线所示。

h110.6?0gh1?1?b??800?9.8?0.6??1N?1.63?103N2sin?2sin60h1FP2???0gh1?(?0gh1??gh2)??2?b

2sin?113?800?9.?80.?6?(80?09.?8?0.6?9.8?10?11)N???sin2?60?11.09?103N

FP1?作用在侧壁AB单位宽度上的静水总压P为

14

FP=FP1+FP2=(1.63×103＋11.09×103)N=12.72×103N

2－27设涵洞入口处装置一圆形盖门（上缘A点有一铰链，下缘D点有一铁索），如下图。已知盖门直径d=1m，与水平面有一夹角α＝45°，盖门中心位置到水面的铅垂距离hc=2m，试求开启盖门所需施于铁索上的拉力FL（铰链处摩擦力和盖门、铁索等自重略去不计）。

解：作用在盖门上的静水总压力Fp为

πFP??ghcA?9.8?103?2??12N?15.39?103N

4由式（2－27）及查表2－1得知

IChCπd4π2d2sin?1?sin45CD?yD?yC??/(?d)??m?0.022myCA64sin?416hc16?2

所以AD?AC?CD?根据力矩方程式可得

11d?CD?(?1?0.022)m?0.522m22所以，当拉力FL大于11.36×103N，盖门即可开启。

2－28试绘出如下图的各种曲面上的压力体图的侧影，并标出铅垂总分力是向上还是向下？

解：各种曲面上的压力体图的侧影，如图中虚线部分所示；铅垂总分力的方向，如图中箭头所示。

15

FP?AD15.39?103?0.522FL??N?11.36?103N

1?cos45AB?cos?2－29设有一弧形闸门，如下图。已知闸门宽度b=4m，半径r=2m，圆心角?=45°，试求闸前水面与弧形闸门转轴O－O齐平日，弧形闸门所受的静水总压力。

解：FPx?11?gh2b??g(rsin45)2?b221??9.8?130?(2sin245?)?4N?339.210N2FPz??gV??g???扇形面积（OAB）-三角形面积（OBC）??b

1hrcos45)b21451?9.8?103?(?22???2?sin45?2?cos45)?4N?22.34?103N257.322??g(r??12闸门所受的静水总压力Fp为

FP?FP2x?FP2z?(39.2?103)2?(22.34?103)2N?45.12?103N

静水总压力FP的方向指向闸门，并通过闸门转轴；作用线与水平方向的夹角α为

??arctanFPzFPx?arctan22.34?29.6839.2作用点位置：xD?rcos??2?cos29.68m?1.74m

zD?rsin??2?sin29.68m?0.99m

2－30设有一充满液体（水）的铅垂圆管段，直径为d，长度为?L，如图b所示。若已知压强水头

p远较?L为大（如几百倍），则这管段所受的静水压强可认为是均匀分布；?g管壁材料的允许拉应力为σ，试求管壁所需之厚度δ。

解：设想沿管径将管壁切开，分为两半，如图b所示，作用在半圆管段内曲面上的水平压力FPx为

FPx?pAx?p?d??L?2F

F?pd?L2式中F为?L管段上的管壁拉力，如下图。

设F在管壁厚度δ内是均匀分布的，则

??Fpd?Lpd????L2??L2?2－31一球形容器盛水，容器由两个半球面用螺栓连接而成，如下图。已知球径D=4m，水深H=2m，试求作用于螺栓上的拉力FL。

解：作用于螺栓上的拉力FL等于液体作用于容器上半球的铅垂总压力FPz。

16

?πD2D14D?FL??g??(?H)??π()3?

2232??44144??π23?9.8?130??4?(?2)?π?()N???2232??4328.?401310N2－32设有一盛水的容器底部有一圆孔口，用一空心金属球体封闭，如下图。已知球

体重量G=2.45N，半径r=4cm，圆孔直径d=5cm，水深H=20cm。试求提升该球体所需的力FL。注：球缺或球冠，即球被一个平面所截而得的部分，其体积V?1?d2?πh?3()?h2?。

6?2?解：球体所受从上向下作用的液体压力FP1=ρgV1。实在压力体体积V1为V1?πr?[H?(r?h)]?2143?πr23球体所受从下向上作用的液体压力FP2=ρgV2。虚构压力体体积V2为

???1431??d2d2?2V2?πrH?πH??πr(r?h)???πr?πh(3??h2)??

464??23????2d2431d2V?V1?V2?πH?πr?πh