山东省济南市八年级(上)期中数学试卷

八年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）在实数227，−5，π2，38，3.14中，无理数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，则斜边是（）A.13 B.12 C.15 D.10下列函数中，是关于x的一次函数的是（）A.y=1x B.y=2x2+1 C.y=3−12x D.y=x如果P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点P的坐标是（）A.(−2,0) B.(0,−2) C.(1,0) D.(0,1)下面能满足方程3x+2=2y的一组解是（）A.x=4y=2 B.x=3y=5 C.x=2y=4 D.x=1y=3下列各式中，正确的是（）A.(−2)2=−2 B.(−3)2=9 C.3−9=−3 D.±9=±3在已知点M（3，-4），在x轴上有一点与M的距离为5，则该点的坐标为（）A.(6,0) B.(0,1) C.(0,−8) D.(6,0)或(0,0)若方程（2a+b）x2+2x+3ya-b=4是关于x、y的二元一次方程，则a、b的值是（）A.a=0b=0 B.a=1b=1 C.a=13b=−23 D.a=−13b=23正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=x-k的图象大致是（）A. B.

C. D.已知方程组ax+by=2ax−by=4的解为y=1x=2，则2a-3b的值为（）A.4 B.6 C.−6 D.−4如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC的高是（）

A.102 B.104 C.105 D.5如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（-2，4），B（4，2），直线y=kx-2与线段AB有交点，则k的值不可能是（）A.−5

B.−2

C.3

D.5

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）已知2x+y=5，请用含x的代数式表示y，则y=______．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是______．

如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帥”位于点（-1，-2），“馬”位于点（2，-2），则“兵”位于点______．有一个数值转换器，原理如下：当输入x为64时，输出的y的值是______．

如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是______．

对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=a2+b2，a≥bab，a＜b，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3=42+32=5．若x，y满足方程组4x−y=8x+2y=29，则x◆y=______．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）27−13+12．

解方程组：．

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且∠B=90°．求四边形ABCD的面积．

受气候等因素的影响，今年某些农产品的价格有所上涨．张大叔在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13800元．其中甲种蔬菜每亩获利1200元，乙种蔬菜每亩获利1500元．则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？

如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：

（1）在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；

（2）在图②中，画一个三边长分别为3，22，5的三角形，一共可画这样的三角形______个．

如图，在平面直角坐标系中，直线L是第一、三象限的角平分线．

（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（-2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′______、C′______；

（2）结合图形观察以上三组点的坐标，直接写出坐标面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为______；

（3）已知两点D（1，-3）、E（-1，-4），试在直线L上画出点Q，使△QDE的周长最小，并求△QDE周长的最小值．

甲、乙两年从A城出发匀速行驶至日城，在整个行选过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，解决下列问题：

（1）A，B两城相距多少千米？

（2）分别求甲、乙两车离开A城的距离y与x的关系式．

（3）求乙车出发后几小时追上甲车？

定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．

（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；

（2）如图②，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M、N为边AB上两点，满足∠MCN=45°，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．

请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程；

（3）在（2）的问题中，若∠ACM=15°，AM=1，CM=3+1．求BM的长．（提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．）

操作体验

（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC的中线AD，并判断△ABD与△ACD的面积大小关系．

（2）如图②，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，已知点A（2，4），B（-1，0），C（3，0），试确定过点A的一条直线l，平分△ABC的面积，请写出直线l的表达式．

综合运用

（3）如图③，在平面直角坐标系中，若A（1，4），B（3，2），那么在直线y=-4x+20上是否存在一点C，使直线OC恰好平分四边形OACB的面积？若存在，请计算点C的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：，是无理数，

故选：B．

根据无理数是无限不循环小数，可得答案．

本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，注意带根号的数不一定是无理数．2.【答案】A

【解析】解；由一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，

利用勾股定理得斜边长为=13．

故选：A．

此题利用勾股定理a2+b2=c2可直接得出答案．

此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，此题难度不大，是一道基础题．3.【答案】C

【解析】解：A、y=不符合一次函数的一般形式，不符合题意；

B、y=2x2+1自变量次数不为1，故不是一次函数，不符合题意；

C、符合一次函数的一般形式，符合题意；

D、y=不符合一次函数的一般形式，不符合题意．

故选：C．

一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．

本题主要考查一次函数的定义．一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．4.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查点的坐标的知识.根据点在y轴上，可知P的横坐标为0，即可得m的值，再确定点P的坐标即可.

【解答】解：∵P（m+3，2m+4）在y轴上，

∴m+3=0，

解得m=-3，2m+4=-2，

∴点P的坐标是（0，-2）．

故选B.

5.【答案】C

【解析】解：当x=4，y=2时，方程的左边=14，方程的右边=4，

因为方程的左边≠方程的右边，所以A不满足方程；

当x=3，y=5时，方程的左边=11，方程的右边=10，

因为方程的左边≠方程的右边，所以B不满足方程；

当x=2，y=4时，方程的左边=8，方程的右边=8，

因为方程的左边=方程的右边，所以C满足方程；

当x=1，y=3时，方程的左边=5，方程的右边=6，

因为方程的左边≠方程的右边，所以D不满足方程；

故选：C．

把各选择支代入二元一次方程，验证即可．

本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解，它的解满足方程左右两边相等．6.【答案】D

【解析】解：A、应=2，故此项错误；

B、应=3，故此项错误；

C、应=-，故此项错误；

D、，故正确；

故选：D．

由平方根和立方根的定义即可得到．

本题考查了平方根和立方根的定义，熟记定义是解题的关键．7.【答案】D

【解析】解：该点与M点的距离是5，则这点就是以M点为圆心，以5为半径的圆与x轴的交点，如图：过M作x轴的垂线，垂足是N，则ON=3，MN=4．根据勾股定理就可以求得OM=5，则O就是圆与x轴的一个交点，则O坐标是（0，0）；设另一个交点是A，MN⊥OA，则本题满足垂径定理，AN=ON=3．

∴点A的坐标是（6，0）．故选D．

到点M的距离为定值的点在以M为圆心，以5为半径的圆上，圆与x轴的交点即为所求点．

本题运用了垂径定理，把求点的坐标的问题转化为求线段的长的问题，利用数形结合可以更直观地解题．8.【答案】C

【解析】解：由题意得：，

解得．

故选：C．

根据二元一次方程的定义可得，再解方程组即可．

此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．9.【答案】A

【解析】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，

∴k＜0，

∵一次函数y=x-k的一次项系数大于0，常数项大于0，

∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的正半轴相交．

故选：A．

根据自正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x-k的图象经过第一、三象限，且与y轴的正半轴相交．

本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．10.【答案】B

【解析】解：把代入原方程组，

得，

解得．

2a-3b=2×-3×（-1）=6．

故选：B．

把原方程组的解代入方程组，求出a，b的值，再代入所求代数式即可．

此题很简单，考查了二元一次方程组的解的定义，所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．11.【答案】A

【解析】解：根据图形可得：

AB=AC==，

BC==，

∠BAC=90°，

设△ABC中BC的高是x，

则AC•AB=BC•x，

×=•x，

x=．

故选：A．

根据所给出的图形求出AB、AC、BC的长以及∠BAC的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可．

此题考查了勾股定理，用到的知识点是勾股定理、三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积公式列出关于x的方程．12.【答案】B

【解析】解：把A（-2，4）代入y=kx-2得，4=-2k-2，解得k=-3，

∴当直线y=kx-2与线段AB有交点，且过第二、四象限时，k满足的条件为k≤-3；

把B（4，2）代入y=kx-2得，4k-2=2，解得k=1，

∴当直线y=kx-2与线段AB有交点，且过第一、三象限时，k满足的条件为k≥1．

即k≤-3或k≥1．

所以直线y=kx-2与线段AB有交点，则k的值不可能是-2．

故选：B．

当直线y=kx-2与线段AB的交点为A点时，把A（-2，4）代入y=kx-2，求出k=-3，根据一次函数的有关性质得到当k≤-3时直线y=kx-2与线段AB有交点；当直线y=kx-2与线段AB的交点为B点时，把B（4，2）代入y=kx-2，求出k=1，根据一次函数的有关性质得到当k≥1时直线y=kx-2与线段AB有交点，从而能得到正确选项．

本题考查了一次函数y=kx+b（k≠0）的性质：当k＞0时，图象必过第一、三象限，k越大直线越靠近y轴；当k＜0时，图象必过第二、四象限，k越小直线越靠近y轴．13.【答案】-2x+5

【解析】解：由二元一次方程2x+y=5，移项可得y=-2x+5．

本题由二元一次方程2x+y=5，直接移项可得y=-2x+5．

本题主要考查二元一次方程的变形，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的基本步骤．14.【答案】10

【解析】解：如图（1）所示：

AB=

=；

如图（2）所示：

AB=

=10．

由于＞10，

所以最短路径为10．

根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB．

本题的关键是将点A和点B所在的面展开，运用勾股定理求出矩形的对角线．15.【答案】（-3，1）

【解析】解：根据条件建立平面直角坐标系：

由图得“兵”的坐标为：（-3，1）．

故答案为：（-3，1）．

先根据“帥”的位置确定原点的坐标，建立平面直角坐标系，从而可以确定“兵”的位置．

本题考查了平面坐标系的建立，在平面直角坐标系中确定点的位置，本题难度较小．16.【答案】22

【解析】解：由题意，得：x=64时，=8，

8是有理数，将8的值代入x中；

当x=8时，=2，2是无理数，

故y的值是2．

故答案为：2．

由图中的程序知：输入x的值后，当是无理数时，y=；若的值是有理数，将的值再取算术平方根，直至输出的结果为无理数，也就求出了y的值．

本题考查了实数的运算，弄清程序的计算方法是解答此类题的关键．17.【答案】x=2

【解析】解：∵一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），

∴关于x的方程ax+b=0的解是x=2．

故答案为x=2．

一次函数y=ax+b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程ax+b=0的解．

本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．18.【答案】60

【解析】解：由题意可知：，

解得：

∵x＜y，

∴原式=5×12=60

故答案为：60

根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．

本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．19.【答案】解：原式=33-33+23

=1433．

【解析】

本题比较简单，解答本题只需将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出的答案．

本题考查二次根式的加减运算，属于基础题，比较简单，解答本题时注意先化简再合并，要细心运算，避免出错．20.【答案】解法一：①×2+②得5x=10（3分）

解得：x=2（4分）

将x=2代入①得y=-2（5分）∴方程组的解为y=−2x=2（6分）

解法二：由①得y=2x-6③（3分）

将③代入②得x+2（2x-6）=-2

解得：x=2（4分）

将x=2代入③得y=-2（5分）∴方程组的解为y=−2x=2（6分）

【解析】

可以先消x，也可以先消y，分别是xy的系数相等或互为相反数即可．

本题考查了二元一次方程组的解法根据方程的特点，选加减消元法或代入消元法．21.【答案】解：连接AC，如下图所示：

∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，

∴AC=AB2+BC2=5，

在△ACD中，AC2+CD2=25+144=169=AD2，

∴△ACD是直角三角形，

∴S四边形ABCD=12AB•BC+12AC•CD=12×3×4+12×5×12=36．

【解析】

连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．

本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键，难度适中．22.【答案】解：设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x、y亩．

依题意可得：x+y=101200x+1500y=13800，

解这个方程组得：x=4y=6．

故甲、乙两种蔬菜各种植了4、6亩．

【解析】

等量关系为：甲种蔬菜亩数+乙种蔬菜亩数=10；甲种蔬菜总获利+乙种蔬菜总获利=13800．

解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系．23.【答案】16

【解析】解：（1）∵=5，

∴△ABC即为所求，

如图1所示：

（2）如图2所示：

∵=2，=，

∴△ABC，△DBC，…，

都是符合条件的三角形，一共可画这样的三角形16个；

故答案为：16．

（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；

（2）由勾股定理容易得出结果．

本题考查了正方形的性质、勾股定理、作图--应用与设计作图；熟记勾股定理是解决问题的关键．24.【答案】（3，5）

（5，-2）

（b，a）

【解析】解：（1）如图，由点关于直线y=x轴对称可知：B'（3，5），C'（5，-2），

故答案为：（3，5）、（5，-2）

（2）由（1）的结果可知，坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为

（b，a），

故答案为：（b，a）；

（3）由（2）得，D（1，-3）关于直线l的对称点D'的坐标为（-3，1），连接D'E交直线l于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小，

D'E==，DE==，

∴△QDE周长的最小值+．

（1）借助网格，根据轴对称的定义画出各点关于直线的对称点，即可解答．

（2）由（1）中坐标得出规律，即可求出P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标．

（3）作出D点的对称点D′，连接D′E，与直线L的交点即为所求点Q，利用勾股定理可得周长．

本题主要考查作图-轴对称变换和轴对称-最短路线问题，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质．25.【答案】解：（1）由图可知，

A、B两城相距300千米；

（2）设甲对应的函数解析式为：y=kx，

300=5k，

解得，k=60，

即甲对应的函数解析式为：y=60x，

设乙对应的函数解析式为y=mx+n，

m+n=04m+n=300

解得：m=100，n=-100，

即乙对应的函数解析式为y=100x-100；

（3）解方程组y=60xy=100x−100得：x=2.5y=150，

2.5-1=1.5，

即乙车出发后1.5小时追上甲车．

【解析】

（1）根据函数图象可以解答本题；

（2）根据图象中的信息分别求出甲乙两车对应的函数解析式，

（3）根据（2）甲乙两车对应的函数解析式，然后令它们相等即可解答本题．

本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．26.【答案】（1）解：①当MN为最大线段时，

∵点

M、N是线段AB的勾股分割点，

∴BN=MN2−AM2=32−22=5；

②当BN为最大线段时，

∵点M、N是线段AB的勾股分割点，

∴BN=MN2+AM2=32+22=13，

综上所述：BN=5或13；

（2）①证明：连接MN′，

∵∠ACB=90°，∠MCN=45°，

∴∠BCN+∠ACM=45°，

∵∠ACN'=∠BCN，

∴∠MCN'=∠ACN′+∠ACM=∠BCN+∠ACM=45°=∠MCN，

在△MCN和△MCN′中，

CM=CM∠MCN′=∠MCNCN=CN′，

∴△MCN≌△MCN'（SAS），

∴MN'=MN，

∵∠CAN′=∠CAB=45°，

∴∠MAN′=90，AN′2+AM2=MN′2，即BN2+AM2=MN2，

∴点M、N是线段AB的勾股分割点；

（3）如图，过N作于NH⊥CM于H．

则∠NHM=90°，∠NMH=60°，

设HM=x，则MN=2x，HN=3x．得

3x+x=3+1，

∴x=1，

∴MN=2．由（2）得结论BN2+AM2=MN2，BN=3．

∴BM=BN+MN=2+3．

【解析】

（1）①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②