浙江省宁波市鄞州区九年级上学期期末数学试卷解析版

九年级上学期期末数学试卷一、单选题1．如果，那么的值是（）A． B．2．下列事件是必然事件的是（C．D．）A．抛一枚骰子朝上数字是

6B．打开电视正在播放疫情相关新闻C．煮熟的鸡蛋稃出一只小鸡D．400

名学生中至少有两人生日同一天3．下列二次函数的图象中，顶点在第二象限的是（）A．B．C．4．如图， 中，，以点

P

为圆心D．于点

D，点

P

为上的点，为半径画圆，下列说法错误的是（）A．点

A

在C．点

C

在5．已知外外，则的度数所属范围是（B．点

B

在D．点

D

在）外内于

G，连结则这个三角形是（，要求四边形 面积，只需知道下列选项中某个三角形的面积，）A．B．C．D．直角三角形的外接圆半径为

3，内切圆半径为

1，则该直角三角形的周长是（ ）A．12 B．14 C．16 D．18一个球从地面竖直向上弹起时的速度为

8

米/秒，经过

t

秒时球的高度为

h

米，h

和

t

满足公式：表示球弹起时的速度，g

表示重力系数，取米/秒，则球不低于

3

米的持续时间是（）A． 秒B． 秒的角平分线，C．秒D．1

秒8．如图，是交于点

E，若的重心

G

在上，则的值是（）A．B．C．D．9．二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）与

y

轴交点的纵坐标小于

4对称轴在直线 左侧与

x

轴正半轴交点的横坐标小于

2D．拋物线一定经过两个定点10．如图， 是锐角的外接圆，直径平分交于于

F，A．二、填空题B．C．D．11．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是

60°，则该正多边形边数是

.12．某视听节目从

200

名打通热线电话的听众中抽取

10

名“幸运听众”，则打通一次热线电话的听众成为

“幸运听众”的概率是

.13．如图，矩形被分割为

5

个全等的长方形，若这

5

个矩形都与矩形相似，则的值是

.14．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离

BC

为

4

米，，则梯子的长是

米.15．如图，平面直角坐标系中有一点 ，在以 为圆心，2

为半径的圆上有一点

P，将点

P

绕点

A旋转 后恰好落在

x轴上，则点

P的坐标是

.16．如图，点

A

是抛物线上不与原点

O重合的动点. 轴于点

B，过点

B

作，则线段 的长是

，AC的最小值是

.的垂线并延长交

y

轴于点

C，连结三、解答题17．（1）计算：；（2）已知实数

x满足 ，求

x的值.18．一个不透明口袋里装有

4

个除颜色外其他完全相同的球，其中红球

2

个，黄球

1

个，白球

1

个.（1）从中任取一个球，求摸到红球的概率；（2）若第一次从口袋中任意摸出

1

个球，不放回，第二次再摸出

1

个球.用列表或画树状图写出所有可能性，并求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率.19．如图，由边长为

1的小正方形组成的 网格中，.顶点在网格上，点

D

在边上，且长等于

.请你仅用无刻度的直尺在边 上找点

E，使得 与相似.（要求画出两种情形）20．如图，某渔船向正东方向以

14海里/时的速度航行，在

A处测得小岛

C在北偏东 方向，2

小时后渔船到达

B处，测得小岛

C在北偏东 方向，已知该岛周围

20

海里范围内有暗礁.（参考数据：）（1）求

B

处距离小岛

C

的距离（精确到海里）；（2）为安全起见，渔船在

B

处向东偏南转了继续航行，通过计算说明船是否安全？21．如图， 是 的直径，的延长线于点

E.是圆上两点，且有 ，连结，作（1）求证：是的切线；（2）若，求阴影部分的面积.（结果保留 ）经过点 ，将该抛物线平移后，点22．如图，抛物线到达点的位置.求平移后抛物线的解析式，并在同一平面直角坐标系中画出平移后的抛物线；过点

B画平行于

y轴的直线交原抛物线于点

C，求线段 的长；若平行于

y轴的直线 与两条抛物线的交点是 ，当线段的长度超过

6

时，求m

的取值范围.23．如图

1，是等边三角形，D

是边上不与点

A

重合的一点，延长到点

E，使得，延长到

F使，连结 .（1）若，求 和的中点

M，连结的度数.（2）如图

2，取，求证：.（3）在（2）的条件下，连结 ，判断24．【问题提出】如图

1， 中，线段上方的两条线段 和 之积等于，则称 是和的端点下方的两条线段的位置关系和数量关系并说明理由.分别在边 和 上，若位于和 之积，即的“友好分割”线段.如图

1，若 是【发现证明】如图

2，于

E，连结 ，求证：【综合运用】如图

3，F，过点

A画 交①求

y

关于

x

的函数表达式；②连结 ，当的“友好分割”线段，中，点

F在 边上，是 的“友好分割”线段；，求的长；交于

D，交是的“友好分割”线段，连结并延长交的延长线于的外接圆于点

G，连结 ，设.时，求的值.答案解析部分1．【答案】A【知识点】比的性质【解析】【解答】解：∵x：y＝2：3，∴2y＝3x，∴y＝x，∴＝＝.故答案为：A.【分析】由已知条件可得

y＝x，然后代入中化简即可.2．【答案】D【知识点】事件发生的可能性【解析】【解答】解：A、抛一枚骰子朝上数字是

6，这是随机事件，故

A

不符合题意；B、打开电视正在播放疫情相关新闻，这是随机事件，故

B

不符合题意；C、煮熟的鸡蛋孵出一只小鸡，这是不可能事件，故

C

不符合题意；D、400

名学生中至少有两人生日同一天，这是必然事件，故

D

符合题意.故答案为：D.【分析】必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不可能发生的事件，叫做不可能事件；随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，据此一一判断得出答案.3．【答案】C【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数

y=a（x-h）^2+k

的图象【解析】【解答】解：A、二次函数的顶点为（1，3），在第一象限，不合题意；B、二次函数的顶点为（1，﹣3），在第四象限，不合题意；C、二次函数的顶点为（﹣1，3），在第二象限，符合题意；D、二次函数的顶点为（﹣1，﹣3），在第三象限，不合题意.故答案为：C.【分析】二次函数的顶点式为：y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k）；若

A（m，n），当

m>0，n>0

时，点A

在第一象限；当

m<0，n>0

时，点

A在第二象限；当

m<0，n<0

时，点

A在第三象限；当

m>0，n<0

时，点

A

在第四象限，据此判断即可得出答案.4．【答案】A【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；点与圆的位置关系【解析】【解答】解：∵ ，∴BD=CD=6cm，∠ADC=90°，∴ cm，∵DP=2cm，∴AP=6cm，∴点

A

在上，故

A

选项符合题意；连接

BP、CP，∵，∴AD

垂直平分

BC，∴BP=CP=，∴点

B、C

都在外，故

B、C

选项都不符合题意；∵DP=2<6，∴点

D

在内，故

D

选项不符合题意.故答案为：A.【分析】根据等腰三角形的性质可得

BD=CD=6cm，由勾股定理可得

AD，结合

DP

的值可得

AP，据此判断A；连接

BP、CP，则

AD

垂直平分

BC，BP=CP，利用勾股定理可得

CP，据此判断

B、C；根据

DP

的值结合点与圆的位置关系可判断

D.5．【答案】B【知识点】锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：∵ ，∴正切值随着角度的增大而增大，且 ，∴ .故答案为：B.【分析】根据特殊角的三角函数值可得

tan45°=1，tan60°=，且正切值随着角度的增大而增大，据此解答.6．【答案】B【知识点】正方形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；切线长定理【解析】【解答】解：如图，⊙I切

AB

于

E，切

BC

于

F，切

AC

于

D，连接

IE，IF，ID，则∠CDI=∠C=∠CFI=90°，ID=IF=1，∴四边形

CDIF

是正方形，∴CD=CF=1，由切线长定理得：AD=AE，BE=BF，CF=CD，∵直角三角形的外接圆半径为

3，内切圆半径为

1，∴AB=6=AE+BE=BF+AD，即△ABC

的周长是

AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=6+1+1+6=14.故答案为：B.【分析】⊙I切

AB于

E，切

BC

于

F，切

AC

于

D，连接

IE，IF，ID，易得四边形

CDIF是正方形，根据正方形的性质得

CD=CF=1，由切线长定理得：AD=AE，BE=BF，CF=CD，根据外接圆与内切圆的半径可得AB=6=AE+BE=BF+AD，据此不难求出△ABC

的周长.7．【答案】A【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题【解析】【解答】解：由题意得当

h=3时， ，解得 ，∴球不低于

3

米的持续时间是

1-0.6=0.4（秒）.，故答案为：A.【分析】根据

h

与

t

满足的公式可得

h=8t-5t2，令

h=3，求出

t

的值，据此解答.8．【答案】C【知识点】平行线的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用；角平分线的定义【解析】【解答】解：连接

AG，并延长

AG

交

BC

于点

H，∵G

是△ABC

的重心，∴AH

是△ABC

中线，且＝2，∵ED∥BC，∴ ＝ ＝2，∵BD

是△ABC

的角平分线，∴∠EBD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴EB＝ED，设

EB＝ED＝a，则

AE＝2a，∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∵ ＝ ，∴ ＝ ，解得：BC＝ a，∴＝＝2.故答案为：C.【分析】连接

AG，并延长

AG交

BC于点

H，根据重心的概念可得

AH是△ABC

中线，且 ＝2，根据平行线分线段成比例的性质可得 ＝ ＝2，根据角平分线的概念可得∠EBD＝∠DBC，根据平行线的性质可得∠EDB＝∠DBC，则

EB＝ED，设

EB＝ED＝a，则

AE＝2a，证明△AED∽△ABC，根据相似三角形的性质可得

BC，据此求解.9．【答案】D【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数

y=a（x-h）^2+k

的图象【解析】【解答】解：由图象知，抛物线开口向下，∴a＜0，令

x＝0，则

y＝4﹣2a＞4，∴抛物线与

y

轴的交点的纵坐标大于

4，故

A

选项错误；二次函数的对称轴为

x＝ ，∵a＜0，∴ ＞ ，∴对称轴在

x＝0.5

右侧，故

B

选项错误；取

a＝﹣1，抛物线为

y＝﹣x2+2x+6，其与

x

轴正半轴的交点为：x＝＝1+＞2，故

C

选项错误；y＝ax2+（1﹣a）x+4﹣2a＝a（x2﹣x﹣2）+x+4，当

x2﹣x﹣2＝0，解得：x＝2

或

x＝﹣1，当

x＝2

时，y＝6，当

x＝﹣1

时，y＝3，∴抛物线经过点（2，6）和（﹣1，3）两个定点，故

D

选项正确.故答案为：D.【分析】由图象知：抛物线开口向下，则

a＜0，令

x＝0，则

y＝4-2a＞4，据此判断

A；根据二次函数解析式可得对称轴为

x＝ ，结合

a

的范围可判断

B；取

a＝-1，抛物线为

y＝-x2+2x+6，结合公式法求出与

x轴正半轴的交点，据此判断

C；抛物线解析式可变形为

y＝a(x2-x-2)+x+4，令

x2-x-2＝0，求出

x的值，进而求出

y

的值，据此判断

D.10．【答案】C【知识点】三角形的面积；圆周角定理；轴对称的性质【解析】【解答】解：已知△ABC

的面积.连接

CD，∵AD

是的直径，∴∠ACD=90°，∵EG⊥AC，∴∠AGE=∠ACD=90°，∴ ，∴△DEG与△CEG

是同底等高的三角形，∴ ，∴ ，∴ ，∵直径

AD

平分 ，∴四边形

AFDG关于

AD对称，△ABC

关于

AD对称，∴四边形

AFDG的面积= ， ，∴四边形

AFDG的面积= ，故答案为：C.【分析】连接

CD，根据圆周角定理得∠ACD=90°，根据垂直的概念得∠AGE=∠ACD=90°，根据同底等高的三角形的面积相等得

S△DEG=S△CEG，故

S△ADG=S△ACE，易得四边形

AFDG、△ABC都关于

AD

对称，则

S四边形AFDG=2S△ADG，S△ABC=2S△ACE，据此解答.11．【答案】六【知识点】圆内接正多边形【解析】【解答】解：设正多边形的边数为

n.由题意得，＝60°，∴n＝6.故答案为：六.【分析】利用周角

360°除以多边形的边数=圆心角的度数即可求出多边形的边数.12．【答案】【知识点】概率公式【解析】【解答】解：∵某视听节目从

200

名打通热线电话的听众中抽取

10

名“幸运听众”，∴打通一次热线电话的听众成为“幸运听众”的概率是： ＝ .故答案为： .【分析】利用“幸运听众”的人数除以总人数可得打通一次热线电话的听众成为“幸运听众”的概率.13．【答案】【知识点】全等图形；相似多边形的性质【解析】【解答】解：设

AE＝a，∵五个小矩形全等，∴AD＝5AE＝5a，∵每个小矩形都与矩形

ABCD

相似∴ ＝ ，∴AB2＝AD•AE＝5AE2＝5a2，AB＝ a，∴AD：AB＝5a： a＝故答案为： ..【分析】对图形进行点标注，设

AE＝a，则

AD＝5AE＝5a，根据相似图形的性质可得＝，表示出

AB，据此解答.14．【答案】【知识点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解：在

Rt△ABC

中，BC＝4

米，，∴AB＝＝＝（米）.故答案为： .【分析】根据三角函数的概念可得

cos∠ABC=15．【答案】（ ，4）或（﹣ ，4），据此计算.【知识点】勾股定理；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转【解析】【解答】解：如图，∵将点

P

绕点

A

旋转

180°后恰好落在

x

轴上，点，∴点

P

的纵坐标为

4，当点

P

在第一象限时，过点

P

作

PT⊥y

轴于

T，连接

PM.∵T（0，4），M（0，3），∴OM＝3.OT＝4，∴MT＝1，∴PT＝∴P（ ，4），＝＝，根据对称性可知，点

P

关于

y

轴的对称点

P′（﹣，4）也满足条件.综上所述，满足条件的点

P的坐标为（ ，4）或（﹣ ，4）.故答案为：（ ，4）或（﹣ ，4）.【分析】画出示意图，由题意可得点

P

的纵坐标为

4，当点

P

在第一象限时，过点

P

作

PT⊥y

轴于

T，连接PM，根据点

T、M

的坐标可得

OM＝3，OT＝4，则

MT＝1，利用勾股定理求出

PT，可得点

P

的坐标，根据对称性可知：点

P

关于

y

轴的对称点

P′也满足条件，据此解答.16．【答案】8；4【知识点】相似三角形的判定与性质；偶次幂的非负性；二次函数图象上点的坐标特征；直角坐标系内两点的距离公式【解析】【解答】解：设点

A（a，∴OB＝|a|，AB＝ a2，∵∠ABO＝∠BOC＝90°，a2），则点

B

坐标为（a，0），∴∠AOB+∠OBC＝90°，∠OBC+∠BCO＝90°，∴∠AOB＝∠BCO，∴△AOB∽△BCO，∴ ，∴OB2＝CO•AB，即

a2＝a2•CO，解得

CO＝8，∴C（0，8），∵AC2＝（xc﹣xA）2+（yC﹣yA）2＝a2+a4﹣2a2+64＝（a4﹣64a2）+64＝（a2﹣32）2+48，∴当

a2＝32

时，AC2＝48

为最小值，即

AC＝4故答案为：8，4 ..【分析】设

A（a， a2），则

B（a，0），根据同角的余角相等可得∠AOB＝∠BCO，证明△AOB∽△BCO，根据相似三角形的性质可得

CO，据此可得点

C

的坐标，然后根据两点间距离公式表示出

AC2，结合二偶数次幂的非负性就可得到

AC

的最小值.17．【答案】（1）解：===1；（2）解：把方程变形为：去括号得，移项得，合并得，系数化为

1

得，【知识点】特殊角的三角函数值；解含括号的一元一次方程；比的性质【解析】【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，然后计算二次根式的乘法以及乘方，再计算减法即可；（2）根据两内项之积等于两外项可将方程变形，然后根据去括号、移项、合并同类项、系数化为

1

的步骤进行求解.18．【答案】（1）解：∵不透明口袋里装有

4

个除颜色外其他完全相同的球，其中红球

2

个，黄球

1

个，白球1

个，∴从中任取一个球，求摸到红球的概率是；（2）解：根据题意画图如下：共有

12

种等可能的情况数，其中刚好摸到一个红球和一个白球的情况数有

4

种，、则刚好摸到一个红球和一个白球的概率是 .【知识点】列表法与树状图法；概率公式【解析】【分析】（1）利用红球的个数除以球的总数即可求出对应的概率；（2）此题是抽取不放回类型，画出树状图，找出总情况数以及刚好摸到一个红球和一个白球的情况数，然后利用概率公式进行计算.19．【答案】（1）2（2）解：如左图，画

DE∥CA，△BDE

即为所求；如右图，画，△BDE

即为所求.【知识点】勾股定理；作图﹣相似变换【解析】【解答】解：（1）BD＝故答案为：2 ；＝2.【分析】（1）直接根据勾股定理就可求出

BD

的值；（2）画

DE∥CA，△BDE

即为所求；画，△BDE

即为所求.20．【答案】（1）解：如图，过点

C

作

CM⊥AD

于

M，CN⊥BE

于

N，由题意得，∠CAD＝90°﹣70°＝20°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝14×2＝28

海里，∵∠CBD＝45°，∴CM＝BM，在

Rt△CAM

中，∵tan∠ACM＝，∴tan70°＝，解得

CM≈16，在

Rt△BCM

中，BC＝ CM＝16 ≈22.6（海里），答：B

处距离小岛

C

的距离约为

22.6

海里；（2）解：在

Rt△BCN

中，∠CBN＝45°+25°＝70°，BC＝16海里，∴CN＝BC•sin∠CBN≈16 ×0.94≈21.2（海里），∵21.2＞20，∴能安全通过，答：能安全通过.【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题【解析】【分析】（1）过点

C

作

CM⊥AD

于

M，CN⊥BE

于

N，由题意得：∠CAD＝20°，∠CBD＝45°，AB＝28海里，则

CM＝BM，在

Rt△CAM

中，根据∠ACM

的正切函数可得

CM，则

BC＝ CM，据此计算；（2）在

Rt△BCN

中，∠CBN＝70°，BC＝16 海里，根据∠CBN的正弦函数可得

CN，据此判断.21．【答案】（1）证明：连接

OD，∵ ，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴AE∥OD，∴∠E+∠ODE＝180°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∵OD

是圆

O

的半径，∴DE

是⊙O

的切线；（2）解：连接

BD，∵AB

是⊙O

的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ADE＝60°，∠E＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠ADE＝30°，∴∠DAB＝∠CAD＝30°，∴AB＝2BD，∵，∴∴BD＝2，BA＝4，∴OD＝OB＝2，∴△ODB

是等边三角形，∴∠DOB＝60°，∴△ADB的面积＝ AD•DB＝ ×2 ×2＝2 ，∵OA＝OB，∴△DOB的面积＝ △ADB

的面积＝，∴阴影部分的面积为：（2）解：把

x＝4代入

y＝ x2+2x+3

得，y＝ ×16+2×4+3＝19，△ADB

的面积+扇形

DOB

的面积﹣△DOB

的面积＝2﹣＝，∴阴影部分的面积为： .【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算【解析】【分析】（1）连接

OD，根据等弧所对的圆周角相等可得∠CAD＝∠BAD，由等腰三角形的性质可得∠OAD＝∠ODA，推出

AE∥OD，由平行线的性质可得∠E+∠ODE＝180°，结合∠E＝90°可得∠ODE=90°，据此证明；（2）连接

BD，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，则∠CAD＝30°，∠DAB＝∠CAD＝30°，AB＝2BD，利用勾股定理可得

BD、BA

的值，推出△ODB

是等边三角形，然后根据

S

阴影=S△ADB+S

扇形

DOB-S△DOB

进行计算即可.22．【答案】（1）解：∵抛物线

y＝ x2+2x+c经过点

A（0，3），∴c＝3，∴y＝ x2+2x+3＝ （x+2）2+1，由题意可知，抛物线向右平移

4个单位，向下平移

2个单位，∴平移后抛物线的解析式为

y＝ （x+2﹣4）2+1﹣2，即

y＝ （x﹣2）2﹣1，如图∴C（4，19），∴BC＝19﹣1＝18；（3）解：当时，m=1；当 时，m=-2；，由图象可知，当

m＞1或

m＜﹣2时，线段 的长度超过

6.【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；描点法画函数图象【解析】【分析】（1）将

A（0，3）代入可得

c

的值，据此可得抛物线的解析式，然后根据二次函数图象的几何变换可得平移后对应的解析式，据此画图；将

x=4代入原函数解析式中求出

y的值，可得点

C的坐标，进而可求出

BC的值；联立两函数解析式可得

m的值，据此可得

m的范围.23．【答案】（1）解：∵ 是等边三角形，∴AB=AC，∠A=∠ACB=60°，∴∠ECF=60°，∴∠A=∠ECF，∵ ，∴AB=CF，∵ ，∴△ABD➴△CFE，∴∠CFE=∠ABD=20°，∴∠CEF=180°-∠CFE-∠ECF=100°；（2）证明：如图，取

EF

的中点

N，连接

CN，∵AM，CN

分别是△ABD，△ECF

的中线，△ABD➴△CFE，∴AM=CN，∵AC=CF，FN=EN，∴AE=2CN，∴AE=2AM；（3）解：结论：AM⊥EM，，理由如下：如图，取

AE

的中点

J，连接

MJ，ME，∵△ABD➴△CFE，∴∠ABM=∠F，BD=EF，∵BM=DM，FN=NE，∴BM=FN，∵BA=AC=FC，∴△ABM➴△CFN，∴∠BAM=∠FCN，∵AC=CF，FN=EN，∴CN∥AE，∴∠FCN=∠FAE，∴∠BAM=∠FAE，∴∠MAE=∠BAC=60°，∵AE=2AM，AJ=JE，∴AM=AJ，∴△MAJ

是等边三角形，∴MJ=AJ=JE，∴∠MAE=∠AMJ，∠JEM=∠JME，∴∠MAE+∠JEM=∠AMJ+∠JME，∴∠AME=90°，∴AM⊥ME，∴∴ .，【知识点】锐角三角函数的定义；三角形的综合【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得

AB=AC，∠A=∠ACB=60°，结合对顶角的性质可得∠A=∠ECF，由已知条件可知

CF=AC，CE=AD，则

AB=CF，证明△ABD➴△CFE，得到∠CFE=∠ABD=20°，接下来利用内角和定理