浙江省安吉县上墅私立高级中学人教A版数学选修4-1 3.3平面与圆锥面的截线 教案

平面与锥面的线一考学简平面截圆锥面（过顶点）得的截，可以是、椭圆双曲线及物线，这些知识在教材中并涉及，只在章头图中惊鸿一.观浙江卷题及各模拟卷均时有以此为背景的试，简洁而动考生往往无所适从“小题大”，主原因是对节知识的缺失过本节课的习学生了此类问题本掌握解决类问题的方法教师在教学时可以参人教A版修4-3的相关.二教目1.通过态演示（或图示）观察平面圆锥面的境，让生感知截的四种形；2.利用Dandelin双球证截线为椭的情形；3.能利结论判断平面截圆锥面所得线形.三教重难教学重点：1.面截圆锥面所得截线状的三个论；2.平截圆锥面所得截线形状的判.教学难点：1.圆截线的证明；2.三结论的综合应用四教策1.直性原则通过动画或图示让学生直感知知识的形成过.2.探性原则应利用探究性、作学习等式，加深对知识的理.3.适性原则根据学情活把握教学难度学选教学内,必要面面俱,学生只要掌握相关结论即可,定理证明只是了帮助学更好地解相关结,强求定性明五教过【环一】

平面截圆锥面的种情形

1.观察列两幅图，感知平面（不过锥顶点）圆锥面得截线的种情况图2【设意图】过图示（有条件动画演示让学生直感知截线的四种情.于本知识在教材中有介绍，不宜做过度拓.【环2面截圆锥面定两个实验：利用何画板探平面截圆锥面定.【验1】图3是等三角形底上的高，，与直线l与AD相交于点P，与AD的角为【探1当满足么关系时有1）l（或其延长相交l与AB

2

).不相交）l交.

与AB的延长、AC都相

论】如图4，可得如下结：AB的长线都相时,设l与(或的长)交E与AC交于F因是的角所必然有反之,l与AB(或延长线)、AC都相交

//AB相交时,则l/,时有反之当交.

时,l//ABl与AB不相ACl

BAG因为的角,所那l与的延长线都相交【设意图】

实验1从面图形出，通过探让学生知三个结，而这三结论恰恰是定理的核心内.于是平面形学生能很容易解，教师直接让学回答，可不必用几何画板演.【实2将图3中等三角形拓为圆锥直线拓展为平面通过合推理则得到图2.（实只需演示，不必让学生探究【实结果】果一平面去截一个正圆，而且这平面不过圆锥的点，则到如下结论：1.如平面与一条母线平行（相当于中相交，这时交线是条抛物线2.如平面与母线不平行，则有两种形：

么平面只与圆锥的一半（）（）【设意图】以适当引申

时，平面只与圆的一半相，这时交线是椭圆；时，平面与圆锥两部分都交，这时交线是双曲通过演示，让学直观感知论，无需过多拓.然对条件较好的学校【定】空间中，取直线

l

为轴，直线

l

/

与

l

相交于O点，其夹角为

，

l

/

围绕

l

旋转得到以O为点，l为母线圆锥面，取平面，若它与轴l交角为

（与l

平行，记着β＝：（）（）（）

，平面π与锥交线为椭；，平面π与锥交线为抛线；，平面π与锥交线为双线

5

利用Dandelin双（这两球位于圆锥的内部，一个位平面π的方，一个位于平面的下方，并且面π及圆锥均相切）下面只证明

时，平面与锥的交线为圆证明如，设截面两球的切分别为FA为截线上任一点过点A的母线与两球的切点分别为B、，则易得

，所以AFAC

定值，由椭圆定，则点A的轨迹为椭.【设意图】

进一步强化结论.定理证明以椭为例，其他两种情况不做要.这只需要学生掌握结即可【环3定理用例：直接利用理解决下问.（）面

与圆锥的母线平，则它们交线为抛物;离心__1__;（）圆面的母线轴线成角当用一与轴线成30不过顶点的平面去截锥时，则所截得的截线（C）A.椭B.双曲C.物线D.两条相交直线（）知锥面S其母线与线所成角30，轴线上取点C，过点C作截面使它与轴线所成角为则截出的曲是（）A.圆B.椭C.双曲D.物线【设意图】1的个小题均可接利用定求解主要是为让学生熟定理结论及其简单应用例：求解下列题（）锥顶角为60

，平面

与母线所成的角

，则截面所截得截线是（）A.圆B.椭C.双曲D.物线提示：截面与轴直，所以线为圆，故选A.（浙江文7如图6斜线段所成的角为，为足，平面上的动点

满足

，则点

的轨迹是（C）A．直线B．抛线．椭圆D双曲线的支

提示：当P点运动时在空间，满足条的AP绕旋形图6成一锥，一个圆锥

的平截圆所得图形为椭.故选C.【式2016金衢十二校理8如图7AB是面α固定的斜线段B为足．若点C在面

内运动且CAB等直AB与平面

所成的角，则动点C的轨迹()A．圆．椭圆

C双曲线．抛物线

图7【设意图】

通过两个问题和个变式加对定理理解对于问题(及变式需要模型建构,才能利定理进行判,是对生数学建模素养的培.例：活用定理决下列问.（2008年浙江10）如图8AB是平面

的斜线段，为斜足，若点在面

内运动，使三角ABP的面积定值则动点P的轨迹是（B）A．圆．椭圆C一条直线D．两平行直线

图82015湖州月l

小120

AB

l

动点C满AC与成角则点C在平面和平面上轨分别是（）A．椭圆、B双曲线、椭圆C．双线、圆D．抛物、圆【设意图】

强化定理的灵活用，培养生的理性思【反练习】1.如图，直线PO平面M，足为O直线ＰＡ是平面Ｍ的条斜线，足为Ａ其中

，过点Ｐ的动直ＰＢ交平Ｍ于点，

APB

，则下列说法正的是＿（１）（２）

，则动点Ｂ的轨是一个圆，则动点Ｂ的轨是一条直；（３）

，则动点Ｂ的轨是抛物线图9（４）答案（２）

，则动点Ｂ的轨是双曲线

2.如图10平面

的斜线AB交于B点，且