高中数学导数练习试题

高中数学导数练习试题一、解答题1．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设有两个不同的零点，求证：．2．已知函数，．(1)讨论函数在区间的极值；(2)若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围．3．已知，．(1)存在满足：，，求的值；(2)当时，讨论的零点个数．4．已知函数，其中(1)讨论函数的单调性；(2)若函数的导函数在区间上存在零点，证明：当时。5．已知．(1)若在处取得极值，求的最小值；(2)若对恒成立，求的取值范围．6．已知函数．(1)分别求n=1和n=2的函数的单调性；(2)求函数的零点个数．7．设函数，其中(1)当时，讨论单调性；(2)证明：有唯一极值点，且.8．已知函数(1)若，求函数的单调区间;(2)证明：函数至多有一个零点.9．已知函数，.(1)求函数的单调区间；(2)若函数与有相同的极值点，求函数在区间上的最值.10．设函数.(1)求函数的单调区间；(2)若关于的方程有三个不等实根，求实数的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)；(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求导，计算和，再由点斜式代入写出切线方程；（2）设，由题意得，，将证明转化为证明，令，即证，令，求导判断单调性即可证明.由题意，，则，。所以函数在点处的切线方程为。即.设，由题意，。所以。可得，。要证明，只需证，即。因为，所以可转化为证明。即，令，则，即证。令，则。所以函数在上是增函数，所以。即得证，所以.【点睛】2．(1)答案见解析【解析】【分析】（1）先讨论的单调性再确定在上的极值（2）利用极值点处的导数为求出，代入恒成立的不等式中，用分离参数法求的取值范围在区间上，。当时，恒成立，在区间上单调递减。则在区间上无极值；当时，令得。在区间上，，函数单调递减。在区间上，，函数单调递增.若，即，则在区间上极小值若或，即或，则在区间上无极值因为函数在处取得极值。所以，解得，经检验可知满足题意由已知，即。即对恒成立。令，则。当时，；当时。所以在上单调递减，在上单调递增。所以。即.3．(1)或4；(2)答案见解析.【解析】【分析】（1）在有，构造中间函数并利用导数研究单调性和零点情况，求参数a，在上根据已知列方程组求参数a，即可得结果.（2）讨论a的范围，利用导数研究的单调性，结合零点存在性定理判断各情况下零点的个数.时，原条件等价于。∴。令，则。∴为增函数，由，则有唯一解，所以。时，，解得：．综上，或4．ⅰ.时，则，。而，，即为增函数，又。当时；当时，故。∴恒成立，故时零点个数为0；ⅱ.时，，由①知：仅当时，此时零点个数为1．ⅲ.时，，则，。∴为增函数，，。∴仅有一解，设为，则在上，在上。所以最小值为，故．又，，故、上各有一零点，即有2个零点．ⅳ.时，上。∴无零点，则上，，。∴为增函数，，。∴有唯一解，设为，则。又，，故、上，各有一个零点，即有2个零点．ⅴ.时，由（1）知：上有唯一零点：；在上，则，。所以为增函数，，，故使。则上，递减；上，递增；故，而。又，，故在、上各有一个零点。所以共有3个零点．综上：时零点个数为0；时零点个数为1；时零点个数为2；时零点个数为3．【点睛】关键点点睛：（1）根据分段函数的定义域讨论x，结合函数、方程思想求参数.（2）讨论参数a，利用二阶导数研究的单调性，进而判断其符号研究单调性，并结合零点存在性定理判断区间零点的个数.4．(1)答案不唯一，具体见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据导函数在上存在零点，则在上有解，则有，即，得到函数的最小值，构造函数，，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证．函数的定义域是，。①时，，令，解得：，令。解得：，故在递减，在递增；②时，令，解得：或。令，解得：。故在递增，在递减，在递增；③时，，在递增；④时，令，解得：或。令，解得：。故在递增，在递减，在递增；综上：时，在递减，在递增。时，在递增，在递减，在递增；时，在递增；时，在递增，在递减，在递增；因为。又因为导函数在上存在零点，所以在上有解。则有，即。且当时，，单调递减。当时，，单调递增，所以。设，，则，则。所以在上单调递减，所以在上单调递减。则。所以，则根据不等式的传递性可得。当时。【点睛】本题考查利用导数表示曲线上某点处的斜率，考查函数的单调性，考查导数的综合应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．5．(1)【解析】【分析】（1）先求得函数的导函数，然后利用极值的必要条件求得的值，进而判定导数的正负区间，得到函数的单调性，然后结合左右两端的极限值与极小值，求得函数的最小值；（2）分离参数得到对于任意恒成立.构造函数，利用导数求得不等号右侧的最大值，进而根据不等式恒成立的意义得到实数的取值范围.∵，∴。∵在处取得极值，，∴。∴，。当时，；当时，；当时，.∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.又∵当时，，。∴的最小值为.由已知得对于任意恒成立.令，则。在时，，所以函数