人教版数学九年级上册同步讲义第24课弧、弦、圆心角、圆周角（原卷版）

第24课弧、弦、圆心角、圆周角目标导航目标导航课程标准1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．知识精讲知识精讲知识点01弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义

如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样叫做圆心角．

2.定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等．

3.推论：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，所对的也相等．

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的相等，所对的也相等．

要点诠释：

(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.

(2)注意定理中不能忽视“”这一前提.知识点02圆周角1.圆周角定义：

像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在，并且两边都与圆的角叫做圆周角．

2.圆周角定理：

在同圆或等圆中，所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的．

3.圆周角定理的推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是．

要点诠释：

(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.

(2)圆周角定理成立的前提条件是在中.

4.圆内接四边形：（1）定义:圆内接四边形：，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形，外角等于（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.能力拓展能力拓展考法01圆心角、弧、弦之间的关系及应用【典例1】已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC．【即学即练1】如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．求证：．考法02圆周角定理及应用【典例2】如图，OA、OB是⊙O的半径且OA⊥OB，作OA的垂直平分线交⊙O于点C、D，连接CB、AB．求证：∠ABC=2∠CBO．【即学即练2】如图，AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是.【典例3】如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=___________.

【即学即练3】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°，则∠D=．【典例4】已知，如图，⊙O上三点A、B、C，∠ACB=60°，AB=m，试求⊙O的直径长.

【即学即练4】如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为（）．A． B．4C．D．5分层提分分层提分题组A基础过关练1．如图，AC是⊙O的直径，弦AB//CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于（）A．64° B．48° C．32° D．76°2．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于（）A．37° B．74° C．54° D．64°3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于（）A．69° B．42° C．48° D．38°4．如图，△ABC内接于圆O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是圆O的直径，BD交AC于点E，连接DC，则∠AEB等于（）A．70°B．110°C．90°D．120°5．如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）A．∠1＞∠2＞∠3 B．∠3＞∠1＞∠2

C．∠2＞∠1＞∠3 D．∠3＞∠2＞∠16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、BD，若∠AOC=110°，则∠BCD的度数是（）A．35° B．46° C．55° D．70°7．在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6，则∠D=度．题组B能力提升练1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为_____．2．如图所示，在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在PM以及⊙O的半径OM，OP上，并且∠POM＝45°，则AB的长为_______．3．如图,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=________度.4．如图所示，C，D是半圆O上的两点，AB是圆O的直径，且OD∥BC，OD与AC交于点E．AB=SKIPIF1<0，BC=SKIPIF1<0，求AD的长．5．如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为SKIPIF1<0的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为_________．6．如图，半圆O的直径AB＝10，有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动（点C、点D分别不与点A、点B重合），点E、F在AB上，EC⊥CD，FD⊥CD．（1）求证：EO＝OF；（2）联结OC，如果△ECO中有一个内角等于45°，求线段EF的长；（3）当动弦CD在弧AB上滑动时，设变量CE＝x，四边形CDFE面积为S，周长为l，问：S与l是否分别随着x的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论．题组C培优拔尖练1．如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为SKIPIF1<0上一点，CE⊥AD于E，求证：AE=BD+DE．2．如图所示，AB是⊙O的直径，C为SKIPIF1<0的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F，连接AC，求证：AF＝CF．3．如图，AB是⊙O的直径，弦BC长为SKIPIF1<0，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和AD的长．4．在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连结FG．①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，则线段DG的长为；②如图2，点E不与点A，B重合，GF延长线交BC边于点H，连接EH，则SKIPIF1<0＝．5．问题背景：如图①在四边形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0探究线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之间的数量关系．小杨同学探究此问题的思路是：将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转SKIPIF1<0到SKIPIF1<0处点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别落在点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0处（如图②），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0易证点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在同一条直线上，并且SKIPIF1<0是等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0，从而得出结论SKIPIF1<0简单应用：（1）在图①中，直接利用小杨得出的结论，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．（2）利用小杨同学探究图②问题提供的思路，解决③图中的问题．如图③，已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0求证：SKIPIF1<0．拓展延伸：（3）如图④，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0