数字信号处理王震宇张培珍编第二章课件

第二章离散时间信号与离散时间系统

Discrete-TimeSignalsandSystems课程名称：数字信号处理任课教师：张培珍授课班级：信计1081-1082

2.1离散时间信号124532.5综合实例2.4离散时间系统分析——差分方程

2.3离散时间系统2.2离散时间信号的运算引言有关离散时间信号和离散时间系统的基本理论和基本概念是全书的基础。时域连续信号——如果信号的自变量和函数值都是连续的，称为时域连续信号.离散时间信号——如果信号的函数值连续，自变量为离散值，称为离散时间信号，又称为序列。离散时间信号与离散时间系统22.1离散时间信号离散时间信号的数学表示离散时间信号往往来源于对时域连续信号的采样，假设采样周期为T，采样对象是时域连续信号x(t)，则可知采样信号为简化为序列来表示，即x(n)只在n为自然数时才有意义。x(n)代表第n个序列值，在数值上等于信号的采样值。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮器中。注意离散时间信号与离散时间系统2离散时间信号也可以用集合来表示，如离散时间信号还可以使用图形表示，如离散时间信号与离散时间系统22.1.2典型的离散时间信号——序列单位阶跃序列Unitstepsequence单位阶跃序列是单边序列，如图2.2所示，数学表达式为

图2.2单位阶跃序列的图形表示

与u(t)相比较离散时间信号与离散时间系统2单位脉冲序列

Unitsample(impulse)sequence单位脉冲序列δ(n)只有n=0时存在值，其他时刻均为0，离散时间信号与离散时间系统2u(n)和δ(n)关系由于δ(n)具有的采样性，因此其他离散时间信号也可以用δ(n)及其移位信号加权和表示，即离散时间信号与离散时间系统2斜变序列斜变序列与连续函数中的斜坡函数类似。但是却没有连续时间信号中斜坡函数同阶跃函数之间的微分关系。

图2.6斜变序列x(n)的图形表示离散时间信号与离散时间系统2实指数序列Real-valuedexponentialsequence实指数序列的数学表达式为其中a为实数。当时，序列是发散的。当时，序列是收敛的。当时，序列在一个象限。当时，序列在两个象限。x1(n)=1.25n

(b)x2(n)=0.75n

(c)x3(n)=(-1.25)n

(d)x4(n)=(-0.75)n离散时间信号与离散时间系统2复指数序列

Complex-valuedexponentialsequence复指数序列的数学表达式为

x(n)的实部 (b)x(n)的虚部(c)x(n)的模 (d)x(n)的相位离散时间信号与离散时间系统2离散时间信号与离散时间系统2思考判断、、是否为周期函数？离散时间信号与离散时间系统2离散时间信号与离散时间系统2离散时间信号与离散时间系统2相加Sumofsequence相乘Productofsequence离散时间信号与离散时间系统2翻褶Turnoverofsquence移位Shiftofsquence序列的相加和相乘：x1=[012343210];ns1=-2;x2=[22000-2-2];ns2=2;nf1=ns1+length(x1)-1;nf2=ns2+length(x2)-1;ny=min(ns1,ns2):max(nf1,nf2);xa1=zeros(1,length(ny));xa2=xa1;xa1(find((ny>=ns1)&(ny<=nf1)==1))=x1;xa2(find((ny>=ns2)&(ny<=nf2)==1))=x2;ya=xa1+xa2;yb=xa1.*xa2;subplot(2,2,1),stem(ny,xa1);ylabel('x1(n)')subplot(2,2,3),stem(ny,xa2);ylabel('x2(n)')subplot(2,2,2),stem(ny,ya);ylabel('x1(n)+x2(n)')subplot(2,2,4),stem(ny,yb);ylabel('x1(n)*x2(n)')离散时间信号与离散时间系统2解：(1)和序列z(n)=[3,1,6,1,1,5]，如图2.11(a)所示；(2)积序列R(n)=[2,-2,8,0,0,6]，如图2.11(b)所示；(3)当m为2时，x(n)的右移序列w(n)=[2,-1,2,0,1,3]，如图2.11(c)所示；(4)x(n)的翻转序列t(n)=[3,1,0,2,-1,2]，如图2.11(d)所示；(5)当a为2时，x(an)=[2,2,1]，x(n)的波形压缩x(an)如图2.11(e)所示。离散时间信号与离散时间系统2离散时间信号与离散时间系统2-1012345y(n)n1/23/47/83/81/8结论：长度分别为N1，N2两个序列的线形卷积结果序列长度为N1+N2-1离散时间信号与离散时间系统20123456798X(m)0123456798y(m)01-2-3-4--5-6-79-8y(-m)f(0)=101-2-3-4--5-6-79-8y(-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(1-m)f(1)=2f(2)=3f(3)=4f(4)=5f(5)=3f(6)=1f(7)=-1f(8)=-3f(9)=-5f(10)=-4f(11)=-3f(12)=-2f(13)=-101-2-3-4--5-6-79-8y(2-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(3-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(4-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(5-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(6-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(7-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(8-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(9-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(10-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(11-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(12-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(13-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(14-m)离散时间信号与离散时间系统22.3离散时间系统设离散时间系统的输入序列为x(n)，系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T[·]表示，输出与输入之间关系用下式表示y(n)=T[x(n)]，其框图如图2.12所示。

图2.12输出与输入之间的关系

离散时间信号与离散时间系统2离散时间系统的线性

线性系统满足叠加性和齐次性。

叠加性y1(n)+y2(n)=T[x1(n)]+T[x2(n)]=T[x1(n)+x2(n)]齐次性ay1(n)=aT[x1(n)]=T[ax1(n)] ay2(n)=aT[x2(n)]=T[ax2(n)] 线性 y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=ay1(n)+by2(n) （其中a和ｂ均为常数）假设系统的输入序列为x1(n)和x2(n)，输出序列对应为y1(n)和y2(n)，则有y1(n)=T[x1(n)]和y2(n)=T[x2(n)]成立。离散时间信号与离散时间系统2例2.2x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出，判断系统y(n)=

2x(n)+3是否是线性的。

解令y1(n)=

2x1(n)+3和y2(n)=

2x2(n)+3。对于线性系统，根据叠加性，有y(n)=T[x1(n)+x2(n)]=2T[x1(n)+x2(n)]+3=2x1(n)+2x2(n)+3然而y1(n)+y2(n)=

[2x1(n)+3]+

[2x2(n)+3]=2x1(n)+2x2(n)+6因此，y(n)≠y1(n)+y2(n)，故该系统不是线性的。离散时间信号与离散时间系统2离散时间系统的时不变性

若输入为x(n)，输出为y(n)，则当输入为x(n-n0)时，输出为y(n-n0)。

即，若时不变系统有y(n)=T[x(n)]，则

y(n-n0)=T[x(n-n0)]， 其中n0为任意整数。例2.3x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出，系统y(n)=

2x(n)+3是否是时不变的。

解对于系统y(n)=

2x(n)+3来说，由于y(n-n0)=

2x(n-n0)+3=T[x(n-n0)]故该系统是时不变的。离散时间信号与离散时间系统2例2.4x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出，系统y(n)=x(n)cos(ωn+1)是不是时不变的。解对于系统y(n)=x(n)cos(ωn+1)来说，由于y(n-n0)=x(n-n0)cos[ω(n-n0)+1]然而T[x(n-n0)]=x(n-n0)cos[ωn+1]因此，y(n-n0)≠T[x(n-n0)]，故该系统不是时不变的。离散时间信号与离散时间系统2离散时间系统的因果性和稳定性

因果系统，是指某时刻的输出只取决于此刻以及该时刻以前时刻的输入的系统。即，n=n0的输出y(n0)取决于n≤n0的输入x(n)|n≤n0例如y(n)=x(-n)是非因果系统，因n<0的输出决定于n>0时的输入。线性时不变系统是因果系统的充要条件为h(n)=0，n<0。所谓稳定系统，是指有界的输入产生有界的输出的系统。即，若|x(n)|≤M<∞，则|y(n)|≤P<∞离散时间信号与离散时间系统2系统稳定性判断对分析系统具有十分重要意义。线性时不变系统是稳定系统的充要条件是

即单位脉冲响应是绝对可和的。离散时间信号与离散时间系统2例2.5某线性时不变系统，其单位脉冲响应为，试讨论其是否是因果的、稳定的系统。 解(1)因为时，，所以该系统是非因果系统。(2)因为，所以当时系统稳定，当时系统不稳定。离散时间信号与离散时间系统2离散时间系统一个系统的输入与输出信号都是离散的时间信号。

离散时间系统的描述离散时间系统通常采用差分方程来描述。

一个线性的连续时间系统总可以用线性微分方程来表达。其N阶线性常系数差分方程的一般形式：离散时间信号与离散时间系统2常系数线性差分方程求解方法

迭代法、时域经典法(齐次解+特解)、离散卷积法、z变换法 例2.6设差分方程，其中，。利用迭代法求输出序列。解当n<0时，y(n)=0当n=0时，当n=1时，当n=2时，以此类推，因此得到离散时间信号与离散时间系统2例2.7系统的差分方程，且，，设激励。求响应序列

方法一：时域经典解法求齐次解。由于特征方程为，故特征根为，则齐次解为求特解。由题知激励是指数序列形式，可设特解为将其代入差分方程得离散时间信号与离散时间系统2(3)求全解。根据齐次解和特解，其全解为由于给定的条件是激励之前的系统初始状态和，对以后有影响，由此递推出初值y(0)和y(1)，并求出系数C1和C2。由原差分方程得，当n=0时，；当n=1时，。即初始值，。代入全解有离散时间信号与离散时间系统2解得

所以系统的全解为

离散时间信号与离散时间系统2方法二：离散卷积法求解零输入响应。在零输入情况下，响应满足齐次方程，解的形式为

而齐次方程的特征根和，则有解得离散时间信号与离散时间系统2（2）求解零状态响应。零状态响应是满足非齐次方程，且初始状态全部为零的解，即解得所以离散时间信号与离散时间系统2一个离散时间系统的差分方程为y(n)+0.5y(n-1)-0.3y(n-2)+0.2y(n-3)=0.75x(n)+x(n-1)-0.6x(n-2)-0.4x(n-3)，(1)判断该系统是否是线性系统；(2)判断该系统是否是时不变系统；(3)求出该系统的单位脉冲响应并判断系统是否是稳定系统。

综合实例2解：(1)设对于两个不同的输入信号x1(n)和x2(n)，系统的输出分别为y1(n)和y2(n)。对于x1(n)和x2(n)的线性叠加信号x(n)=4x1(n)-3x2(n)，系统的输出为y(n)。用Matlab仿真该系统，并计算输入x1(n)、x2(n)和x(n)的输出y1(n)、y2(n)和y(n)，判断y(n)和4y1(n)-3y2(n)是否相等。综合实例2n=0:50;a=4;b=-3;x1=cos(2*pi*0.1*n);%设置x1(n)x2=cos(2*pi*0.4*n);%设置x2(n)x=a*x1+b*x2;%x(n)num=[0.751-0.6-0.4];den=[10.5-0.30.2];y1=filter(num,den,x1);%计算输出y1(n)y2=filter(num,den,x2);%计算输出y2(n)y=filter(num,den,x);%计算输出y(n)yt=a*y1+b*y2;subplot(2,1,1)stem(n,y);ylabel('振幅');title('y=T[ax1(n)+bx2(n)]');subplot(2,1,2)stem(n,yt);ylabel('振幅')title('y’=ay1(n)+by2(n)')xlabel('时间序号n');综合实例2由图可以看出T[ax1(n)+bx2(n)]=ay1(n)+by2(n)，故该系统是线性系统。

综合实例2解：(2)设对于两个输入信号x1(n)和x2(n)=x1(n-10)，系统的输出分别为y1(n)和y2(n)。用Matlab仿真该系统，并计算输入x1(n)、x2(n)的输出y1(n)和y2(n)，判断y1(n-10)和y2(n)是否相等。

综合实例2n=0:50;D=10;x=4*cos(2*pi*0.1*n)-3*cos(2*pi*0.4*n);%设置x1(n)xd=[zeros(1,D)x];%设置x2(n)=x1(n-10)num=[0.751-0.6-0.4];den=[10.5-0.30.2];y1=filter(num,den,x);%计算输出y1(n)y2=filter(num,den,xd);%计算输出y2(n)d=[zeros(1,D)y1]-y2;%计算y1(n-10)和y2(n