ARIMA预测原理以及SAS实现代码

ARIMA定义ARIMA的完整写法为ARIMA(p,d,q)►其中p为自回归系数，代表数据呈现周期性波动►d为差分次数，代表数据差分几次才能达到平稳序列►q为移动平均阶数，代表数据为平稳序列，可以用移动平均来处理。获得观察值序列分析结束获得观察值序列分析结束■平稳性检测方法►方法一：时序图序列始终在一个常数值附近随机波动，且波动范围有界，且没有明显的趋势性或周期性，所以可认为是平稳序列。下图明显不是一个平稳序列procgplotdata=gdp;plotgdp*year=1;symbolc=redi=joinv=star;run;9tipTOC\o"1-5"\h\z190DOj r30DO60DO 广J JiIODO■ 产/20DO- JnJ r|…RI|IIII| I|IIII|I1 1 ■ |IIII|1975 I960 1905 1990 1395 2Q0D 2005产回• ►方法二：自相关图自相关系数会很快衰减向0,所以可认为是平稳序列。procarimadata=gdp;identifyvar=gdpstationarity=(adf=3)nlag=12;run;►adf单位根检验（精确判断）

三个检验中只要有一个Pr＜Rho小于0.05即可认定为平稳序列，主要是stationarity=(adf=3)起作用procarimadata=gdp;identifyvar=gdpstationarity=(adf=3)nlag=12;run;firDick&y-Fuller单位根检蕤类型滞后RhoPr<RhoTauPr<TauFPr>FZ&roMean03.0645o.g期9.71。一的9g112,27650.99991.S20.964423.74340.99912.&5o.^ao33.5765D.99002.ZB。一的24SingleMean03.69520.99976.45。•的9946.650.0010117,86320.99991.540.9&&91.190.776423.93620.99972.77。一的9g3.000.156333.63570.叼兆2.220.9^02.460.4S23Trend03.02090.99931.&&0.999920.230.0010137.0.99991.1&。一的991.190.9?7424.11990.99991.71。一妁993.650.4孰63415090.99991.5-1口一驳992.340.7237■白噪声检验Pr＞卡方＜0.05即可认定为通过白噪声检验。procarimadata=gdp;identifyvar=gdpstationarity=(adf=3)nlag=12;run;白噪声咽自相关检查至滞后卡方自由度Pr，卡方自相关&57.425<.00010.0370.7160.5100.50&0.4CM0.3121273.2312<.00010.214-0.1120.010-o.oao--0.14&-0.201■非平稳序列转换为平稳序列方法一：将数据取对数。方法二：对数据取差分dif函数datagdp_log;setgdp;loggdp=log(gdp);cfloggdp=dif(loggdp);run;/**对数数据散点图**/procgplot;plotloggdp*year=1;symbolc=blacki=joinv=star;run;/*一阶差分对数数据散点图*/procgplot;plotcfloggdp*year=1;symbolc=greenv=doti=join;run;

从上图中可以看出，一阶差分后序列已经变成平稳的了，因此，数列需要做一阶差分■转换完毕后再验证下面代码中的(1)就代表1阶差分，adf=3则代表平稳性检验0-3，/*一阶差分对数数据的自相关图、偏自相关图、纯随机性检验、单位根检验*/procarimadata=gdp_log;identifyvar=loggdp(1)stationarity=(adf=3)nlag=12;run;日堞声的目相关检查至期后卡万目由度目相关618.81G}0,4790.1G1-0.1G1-0.293-0.309-0.3471220.4512CLOSSff-0.1390.0440.1070.068-0.017-0.046真「Dickey-Fuller单位根检甄类型 」漏后RhoPr<RhoTauPr<TauFPr>FZeroMean0-1.83960.3437-0.850.33791-1.54520.3B15-0790.36492-1.06100.4567-0.520.47933-0.44950.5685-0.280.5744SingleMean0-12.53320.0434-2.700.08773.670.20461-15.19870.0166-2.533.200.31122-39.7723^,0001-2.93/0.057^U.370.0S813-15B,V50.0001-2.904.340.0097Trend0-12.48910.1999-2.610.27303.490.52281-14.971B0.1004-2.420.35983.030.59442-40.3B09<.0001-2.860.19204.090.41713■166,0470.0001-2.910.17864.300.3817用QLB统计量作的2检验结果表明：对数差分后的GDP序列的QLB统计量的P值为0.0045(<0.05),故序列为非白噪声序列。单位根检验结果表明：对数差分后的GDP序列有常数均值、无趋势的二阶自回归模型的Tau统计量的P值小于0.0573,故序列基本可以确定为平稳序列，并可初步考虑用ARMA(2,q)模型对它们进行拟合。峨型定阶/**定阶**/procarimadata=gdp_log;identifyvar=loggdp⑴nlag=6minicp=(0:2)q=(0:4);run;/*minic为一定范围模型定阶—一相对最优模型识别*/日曝声的目相关演至部后卡方目由度Pr>卡力目相关618.8160.00450.4790.161-0.161-0.293-0.309-0.347MinimumInformationCriterionLagsMAOMA1MA2MA3MA4AR0-5.50235-5.92E5B-5.91546-6.03307-6.03373AR1-5.9469-5.07077-6.01308-6.36963-6.376AR2-6.20883-6.09519-5.97303-6.3134-6.26134误差舷蜘：AR(EJBIC(1,4)=6376

采用相对最优模型识别，根据上述分析及序列的自相关和偏自相关图，适当选择m=4,n=2,使用indentify命令中的minicp=(0:n)q=(0:m)短语进行相对最优模型定阶。结果显示(图6.10)，在p=1,q=4时，BIC函数值最小。执行ARIMA过程的Estimatep=1q=4命令做参数检验，结果未能通过参数检验。让q在0〜3之间取值，通过反复测试，只有ARMA(1,3)模型与ARMA(1,0)模型通过参数检验及模型检验，其检验结果及参数估计如图6.11所示。■参数估计/**参数估计**/procarimadata=gdp_log;identifyvar=loggdp(1);estimatep=1q=4;run;/*SAS支持三种估计，默认为条件最小二乘估计，要制定可增加选项:METHOD二ML极大似然估计METHOD二ULS最小二乘估计METHOD二CLS条件最小二乘估计输出项的含义见王燕P104*/;条件最小二乘估讦参数估计标准误差t值近似Pr>|t|滞后MU0.157770.043643.610.00170MA1J0.423525.231530.000.93631MA1,20.030B42.941690.010.99172MA1730.4352727S7040.160.87753MAI,40.1102G0.551330.200.84354AR1,10.965595.117540.190.84921从上面可以看出，在p=1q=4时，通不过检验条件最小二素估计爹数估计标准误差t值近似Pr>|t|滞后MU0.163580.026796.11<.00010MA1J-1.481360.36408-4.070.00061MA1,2-1.084490.34753-3.120.00522MA1.3-0.637390.21520-2.600.02093AR1,1830000.3S787-2.140.044310.299354方差估计标准误差估计0.0041530.064441AIC-64.3524SBC-5e.0G19城差数26AIC和SBC不包括对数行列式。

p=1q=3和条件最小二来估计蓼数估计标准误差t值近似Pr>|t|滞后MU0.165960.023596.61<.00010AR1,10.49B530.131732.740.01131常数估计0.078207月差估计标准误差估计0.00403G0.06353AIC-67.6200SBC-65.1046蔓" 26'AIC和SBC不包括对数行列式口p=1q=0时能通过检验从上面2个模型的检验结果可以看到，它们均为有效模型，但ARMA(1,0)模型的AIC为-67,SBC为-65均比ARMA(1,3)的AIC与SBC小，根据AIC准则和SBC准则，ARMA(1,0)应该更有效，所以应选择前者作为预测模型。■■aiu蛆〃、臼1口用son」？1)工、。孝教MUAR1JMU1.0000.069AR1J0.0691.000残差的目相关检查至滞后卡万目由度PC卡万era目关66.0750.29970.0540.062-0.109-0.191-0.001■0.301127.22110.7806-0.0640.0660.0880.080-0.0140.0681811.99170.8006-0.087-0.1890.0390.0460.144-0.0622415.94230.85770.0000.0260.103-0.075-0.0660.026；变量切的M0)覆的模型；估计均值0.1659661差分期间 1白回归因子固于1：1-0,49053日"⑴GDP对数序列模型的口径为:一一一一 £Vlogx=0.155955+ 1 t 1-0.49853B其中，xt表示GDP序列，模型可写为：logx=1.4985310gx1-0.4985310gx2+0.078207+£■预测u/**参数估计及预测**/procarimadata=gdp_log;identifyvar=loggdp⑴nlag=16;estimatep=1q=0;forecastlead=4id=yearout=results;run;国year⑸leccO惨TDUCA5T恒5T>过L35区U95包)KE5I1TALI1I'SfTB5.D9325926E0■21J7：|5.£4740764425.融3214To750.06353D235T 5.12^&37733&5.373T316814-0.DDL717Q6331330543442叫的55.4025^706^60.0&3530E35T； 5.2高皿用口T55ZT]]^CG550.D3L0Z33054侬15.5E022014B4E.G0SBL996^G0.0635302357 5T日129701D75.7903305^5-0.DB5593036510825.57329^6655.641200QTD30.0B3530235I 5516BE3KE357651179442-0.0BT90E9M1®35.T9£06115775.0779601660.0635302357 5.553443192L5.00247713990.1149009916T5.D1361110TOE.CTOE28TS770.06353D235T， 5.8560113137良L050*7816-0.D6&9176819555.113L0679316.O5Z0155132CL0&3530E35T 55274E653956.ir&5325OTl0.05105117999198B6.220411227166.2907602&250.0635302357 6.1GG25129B6以4L52：3523S4-0.D70357Q35ID1138f6.4t2S03flM4B.32211276520.0B3530235I B227Effi7Qt2B4T-虫73gl0.a60B9023ffiLLG.削印巧913€5B.就9空9T550.0635302357G.462收⑪166.71143^94940.D3L93Q1B112磔口B.74607129406.70079L1T320.06353D235TB.67527410931.9243091471-0.05371^37813IHH16.B10LT21Z776.35访9丁羽2d0.0&3530E35T； 6T631期1明7CU22H湖T-0.0QT5Z5255141991S.952410^6516.9S529L29020.0635302357 6.8^077432437.0896062721-0.D1262O013151M2T.1544如口2S3工院EEL以3T0.0B3530235I B962144弗的T2[]]70607&0.0677583917LB1993T.41623^15137.33330401050.0635302357 7.20076733&67.45TMi76440.0至9E9MC6IT19347.707255^27.B249&3116^0.QG353D235T 7.50044614257.T4Q钝口0TO30.0B22929GE8IBIHHHS.DDTZ0O^S417.3305458056CL0&3530E35T 78060Z3535T60550627535□OT6T3467«19199B9.ED554Q77E88.S3SD5839G70.0635302357 8.11054142268.35957537OS-0.DE9517G1S201孙8.3136103784S.3E25S63I120.0B3530235I W2%强到门850T]fl334S2-0.口的9】5493Z1199B3.37944721566.445764i：i：：i：J20.0635302357 6/321267059£0.5703010071-0.OB6336016228.4286Q23SSS.490445929-40.06353D235T 8.3G5宓电545EL6L4962EO23-0. 843442Z3300D3.54435300190.53131401550.063&3DE35T： 0406TOT9D560655S31E5340.01303012Z4242coi9.B9765004708.的非6519M0.0635302357 8.55574022458.8O4T021723-0.D4260G3E1252OJ287272^l82filS.7a23SLBQ520.0B3530235I W637E6472128£郃£9日畸1-0.际田434ZS£DD33.BDO5920ra6.05DLLO3620.0635302357 注725coi初L3.97463533390.0104645136272c049.0642203046Q.CO52EL1QM0.06353D235T， 9.83074421B5Q.12977316430.07B9591142ZBZC059.273917112^10.0&353DZ35T： *1*4col3B593HiM加C03529300B9.44SB995&570.1144S29694 9.22236KST7马671017SS3S3D202171| 9.611034T463|0.159431msg2935542033Q32351558333L£DDB9.7711rows'0.1患班邢T -33014C0JT5OID.L&0133633T■■还原预测数值并画图/**绘制预测图**/dataresults;setresults;y=exp(loggdp);estimatel=exp(forecast);el95=exp(l95);eu95=exp(u95);run;procgplotdata:results;ploty*year=1estimate1*year=2el95*year=3eu95*year=3/overlay;symbol1c=blacki=nonev=star;symbol2c=redi=joinv=none;

symbol3c=greeni=joinv=nonel=2;run;喊一种确定p、q的方式procarimadata=gdp;identifyvar=gdpstationarity=(adf=3);run;直接对gdp求arima模型，可已看出acf是拖尾，而pacf是1阶截尾，所以最好是p=1,q=0

6D0D-600。4D0D-2000-6D0D-600。4D0D-2000-05050Lo.o.mL--LLuqd■确定p、q的方式理论由于ARMA(p,q)模型可以转化为无穷阶移动平均模型，所以ARMA(p,q)模型的自相关系数不截尾。同理，由于ARMA(P,q)模型也可以转化为无穷阶自回归模型，所以ARMA(P,q)模型的偏自相关系数也不截尾。总结AR(P)模型、MA(q)模型和ARMA(P,q)模型的自相关系数和偏自相关系数的规律，见表6.1所示。模型自相关系数P“k偏自相关系数小山kkAR(p)拖尾p阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾■模型优化指标当一个拟合模型在指定的置信水平a下通过了检验，说明了在这个置信水平a下该拟合模型能有效地拟合时间序列观察值的波动。但是这种有效的拟合模型并不是惟一的。如果同一个时间序列可以构造两个拟合模型，且两个模型都显著有效，那么应该选择哪个拟合模型用于统计推断呢？通常采用aic和SBC信息准则来进行模型优化。AIC准则AIC准则是由日本统计学家赤池弘次（Akaike）于1973年提出，AIC全称是最小信息量准则（aninformationcriterion）。AIC准则是一种考评综合最优配置的指标，它是拟合精度和参数未知个数的加权函数：AIC=-2ln（模型中极大似然函数值）+2（模型中未知参数个数） （6.68）使AIC函数达到最小值的模型被认为是最优模型。BIC准则AIC准则也有不足之处：如果时间序列很长，相关信息就越分散，需要多自变量复杂拟合模型才能使拟合精度比较高。在AIC准则中拟合误差等于nln（。2）,即拟合误差随样本容量n£放大。但是模型参数个数的惩罚因子却与n无关，权重始终为常数2。因此在样本容量n趋于无穷大时，由AIC准则选择的拟合模型不收敛于真实模型，它通常比真实模型所含的未知参数个数要多。为了弥补AIC准则的不足，Akaike于1976年提出BIC准则。而Schwartz在1978年根据Bays理论也得出同样的判别准则，称为SBC准则。SBC准则定义为：SBC=-2ln（模型中极大似然函数值）+ln（n）（模型中未知参数个数） （6.69）它对AIC的改进就是将未知参数个数的惩罚权重由常数2变成了样本容量n的对数ln（n）。在所有通过检验的模型中使得AIC或SBC函数达到最小的模型为相对最优模型。之所以称为相对最优模型是因为不可能比较所有模型。表6.2河南省历年国民生产总值数据年份(Year)生产总值（亿元）（GDP）人均生产总值（元）（PGDP）年份(Year)生产总值（亿元）（GDP）人均生产总值（元）（PGDP）1978162.92232.319921279.751452.31979190.09266.719931662.761867.41980229.16316.719942224.432475.21981249.69340.119953002.743312.81982263.3035319963661.184007.41983327.95432.919974079.264430.11984370.04481.619984356.604695.11985451.74579.719994576.104893.71986502.91635.320005137.6654441987609.60755.820015640.115923.61988749.09909.920026168.736436.51989850.711012.320037048.597570.21990934.651090.620048815.099469.919911045.731201.2

■机完整代码datagdp;infiledatalines;inputyeargdppgdp;formatgdpBEST12.2pgdpBEST12.2;datalines;1978162.92232.31979190.09266.71980229.16316.71981249.69340.11982263.303531983327.95432.91984370.04481.61985451.74579.71986502.91635.31987609.60755.81988749.09909.91989850.711012.31990934.651090.619911045.731201.219921279.751452.319931662.761867.419942224.432475.219953002.743312.819963661.184007.419974079.264430.119984356.604695.119994576.104893.720005137.66544420015640.115923.620026168.736436.520037048.597570.22004;8815.099469.9run;/**原始数据散点图**/procgplotdata=gdp;plotgdp*year=1;symbolc=redi=joinv=star;run;/*注symbol常用参数C—图形颜色，red_红色，black_黑色，green_绿色，blue_蓝色，pink_洋红等*//*V—观测值的图形，star_*,dot_.,cicle_圆圈，diamond_菱形，none_不标*//*I—观察值的链接方式，join_线连，spline_光滑连接，needle_作观察值到横轴悬垂线，none_不连*/procarimadata=gdp;identifyvar=gdpstationarity=(adf=3);ru