高中数学（人教A版）选修一《圆锥曲线的方程》椭圆第1课时

教学设计3.1.1椭圆及其标准方程（第1课时）学科数学年级高二学期秋季授课人方敏学校舒城县千人桥中学教科书书名：高中数学选择性必修第一册（2019A版）出版社：人民教育出版社教材分析《椭圆及其标准方程》是继学习了直线和圆以后运用平面解析几何方法解决曲线问题的又一实例。从知识上说，本节课是圆锥曲线的起始课，是学习圆锥曲线的基础，章节后续研究的开端；从方法上说，本节课是对坐标法研究几何问题的又一次实际运用，同时也为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式；从思想上来说，本节课是数形结合思想的具体表现。因此本节课起到了承上启下的重要作用，是本章的重点内容。学情分析1.在学习本节课前，学生已经学习了直线与圆的方程，积累了用坐标法处理几何问题的经验，但运用代数观点来研究几何问题的意识还不强，能力也有所欠缺。2.根据日常的生活经验，学生对椭圆有一定的感性认识，但仍没有上升到“概念”的水平。3.在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，这些在初中代数中没有详细介绍。课程标准及目标分析1.了解圆锥曲线的历史背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.通过直观感受椭圆，学生能动手实践画出椭圆并抽象出椭圆的定义，培养学生抽象概括的能力.3.学生能应用坐标法，求出椭圆的标准方程，学会用代数的方法解决实际几何问题，培养学生的逻辑运算能力.4.将“直观想象”、“数学抽象”和“逻辑运算”核心素养落实到课堂教学中.教学重难点教学重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程.教学难点：椭圆标准方程的推导.教学方法教法：采用探究式与启发式相结合的教学方法.通过实际操作以及GGB软件的动态演示，创设情境，注重对学生动手能力和思维的训练,让学生轻松参与课堂。学法：学生通过动手操作，观察分析、抽象概括、推导化简等活动体会概念的生成过程，通过独立思考、合作探究等形式在教师的引导下进行自主学习。教学过程设计教学过程设计意图环节一：立足全章，建构“先行组织者”活动一：利用多媒体播放视频介绍圆锥曲线的形成和发展.活动二：借助信息技术工具ggb演示：用一个平面截圆锥，当平面与圆锥的轴的夹角α不同时，可以得到不同的截口曲线.当时，截口曲线为圆；当时（为圆锥的轴与其母线的夹角），截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线；当且截面不过圆锥的轴线，或时，截口曲线为双曲线.师：正是由于上述曲线是由平面截圆锥所得，所以常把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.让学生在整体上把握本章的学习内容与基本框架，为后续学习提供“先行组织者”，视频导入结合信息技术工具的演示，有效调动了学生的积极性.环节二：归纳抽象，建构椭圆的概念活动一：PPT展示几组生活中椭圆的图片师：相信大家还可以举出更多生活中椭圆的例子，但是同学们知道我们如何画出一个比较漂亮的椭圆吗？我们来看看工地上的工人是如何解决这个问题的.活动二：教师用多媒体播放视频介绍工地工人“两钉一线画椭圆”的方法，同时请同学们拿出事先准备好的工具：细绳、图钉、铅笔等，同桌合作画椭圆．操作并思考下面三个问题：1.在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，通过画椭圆的过程，思考动点在运动中满足什么样的几何特征？2.当两图钉重合或两图钉距离与绳长相等是什么图形？绳长能小于两图钉之间的距离吗？3.由此能否类比圆的定义总结出椭圆的定义？同桌合作交流，教师巡视指导。总结规律：①椭圆上的点到两个定点的距离之和为常数②两图钉重合，点的轨迹是圆；两图钉距离与绳长相等时，点的轨迹是线段；绳长小于两图钉距离时，点的轨迹不存在.形成概念：定义：平面内，到两个定点、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．其中两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.注意：轨迹为椭圆；轨迹为线段；轨迹不存在．在归纳椭圆定义的过程中，教师根据学生回答的情况，不断引导他们逐步加深理解并完善椭圆的定义，在引导中突出体现“常数”及“常数”的范围等关键词与相应的特征.利用多媒体展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆。在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一来是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过椭圆概念的抽象与建立过程，提高学生思维的严谨性与语言表达能力，同时让学生获得焦点、焦距等概念。环节三：合理建系，推导方程．1.复习求曲线的方程的基本步骤：⑴建系；⑵设点；⑶列式；⑷化简；（5）证明师生讨论，明确建立椭圆方程的大致步骤：根据椭圆的几何特征建立适当的直角坐标系→明确椭圆上的点满足的几何条件→将几何条件转化为代数表示列出方程→化简方程→检验方程2.如何建系，才能使所得方程更简洁呢？学情预设：学生可能会建系如下几种情况：方案一：把F1、F2建在x轴上，以F1F2的中点为原点；方案二：把F1、F2建在x轴上，以F1为原点；方案三：把F1、F2建在x轴上，以F1F2与x轴的左交点为原点；方案四：把F1、F2建在y轴上，以F1F2的中点为原点；方案一方案二方案三方案四教师引导学生发现：圆心在原点的圆的方程比不在原点的圆的方程形式更简单，而圆心是圆的中心，那么椭圆的中心在哪？再通过两次对折椭圆，学生不难发现椭圆的对称性和椭圆的中心，大部分学生会选择方案一,对于不同建系方案，教师予以充分肯定，并鼓励他们按照不同的建系方案进行推导.3．推导标准方程．选取合适方案建系,让学生动手，尝试推导.按方案一：以过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．设M(x,y)是椭圆上任意一点，，则有F1(-c,0),F2(c,0),设M到F1,F2的距离和为2a.由定义知，|MF1|+|MF2|=2a,则：想一想：下面如何化简？（1）教师为突破难点，进行引导设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？学生尝试后形成以下意见：经过整理后再平方过程较简单。移项平方再平方（形式仍不是很简洁）的引入．由椭圆的定义可知，,∴．让点运动到轴正半轴上，由学生观察图形直观获得，的几何意义，进而自然引入，此时设，于是得，两边同时除以，得到方程：（称为椭圆的标准方程）．师：此方程体现数学的对称美和简洁美，不同建系方案得到的方程都叫做椭圆的方程，但这种形式的方程叫做椭圆的标准方程。（3）建立焦点在轴上的椭圆的标准方程．学情预设：学生可能会出现如下两种情况：方案一：重复上述过程进行推导；方案二：大胆猜想，依靠直觉思维，两方程应结构相同，调换字母x,y位置，直接得出。学生难以想到方案二合理性的原因，教师引导学生发现：焦点在y轴上的椭圆与焦点在x轴上的椭圆是关于直线y=x对称的。复习求曲线方程的基本步骤，为下面标准方程的推导做铺垫。积极鼓励学生用不同建系方法，让他们充分暴露自然思维，通过比较，得出最简洁的方案，而不是被动地接受教材或老师强加的方法．方程的推导和化简是本节课的难点，这里要给予学生充分的时间思考和运算，并对化简的方向加以引导，最后再多媒体呈现主要运算步骤。环节四：归纳概括，掌握特征．学生交流后举手回答。思考：如何通过椭圆方程判断它的焦点在哪个坐标轴上？结论：分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上。通过对比使学生进一步理解方程，掌握椭圆方程的本质特征，揭示规律，充分展示数形结合的和谐美，统一美。环节五：尝试应用，范例教学．例1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是、，并且经过点P．（先和学生一起简单分析条件中蕴涵的信息，再由学生自己动手完成．教师巡视，邀请学生上黑板作答，师生讨论总结不同方法的优缺点．）解题思路1（待定系数法）：先根据已知条件设出焦点在轴上的椭圆方程的标准方程，再将椭圆上点的坐标代入此方程，并结合、、间的关系求出、的值，从而得到椭圆的标准方程为．解题思路2（定义法）：利用椭圆定义（椭圆上的点到两个焦点、的距离之和为常数2）求出值，再结合已知条件和、、间的关系求出的值，进而写出标准方程．例题的选取紧密围绕椭圆定义以及标准方程这两个教学重点，方法一旨在让学生掌握待定系数法求椭圆的标准方程，方法二旨在使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用。环节六：课堂小结师：你能从知识、方法、思想三个方面谈谈本节课的收获吗？（先由学生总结，再由教师补充）知识：椭圆定义及标准方程；方法：待定系数法、定义法；思想：数形结合、类比．通过小结，使学生对所学的知识有一个完整的体系，抓住重点，突破难点，培养学生的概括能力。环节七：布置作业书面作业：教材P109练习第1、2题实践作业：1.通过上网查资料，了解椭圆不同的定义方法2.焦点、焦距都有“焦”字，意味着与光学有着紧密联系，通过上网查资料了解椭圆的光学性质书面作业可以巩固知识，形成技能；实践作业则培养学生的自主学习能力和探究性学习习惯。板书设计教学反思本节课设置多