高三数学1两条异面直线所成的角试题

高三数学1两条异面直线所成的角试题高三数学1两条异面直线所成的角试题高三数学1两条异面直线所成的角试题两条异面直线所成的角【例1】利用“平移法”求两条异面直线所成的角（2020·新课标Ⅱ）直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90o，M、N分别是A1B1、A1C1的中点，且BC=CACC1，则异面直线BM与AN所成的角的余弦值为A．1B．2105C．30D．2102【剖析1】（几何法）取BC中点D，连结MN、ND，由于MN∥BC∥B1C1,且2MN=BC=B1C1，有MB∥ND，则AND即为异面直线BM与AN所成的角，设BC2，且MB=ND，则BMND6,AN5,AD5，因cosANDND2NA2AD230.2NDNA10【剖析2】（几何法）延伸MA1至D，使得MA1AD1，连结AD,ND，易证DAN即为异面直线BM与AN所成的角，设BC2，则BMAD6，AN5，DN2(2)21222cos1355，易求cosDAN(6)2(5)2530.26510【评注】传统的几何法求异面直线所成角一般采用“平移法”，立刻一条线段平移后使两条线段的一个端点重合，这样即可化空间角为平面角，这个平面角就是两条异面直线所成的角或其补角，再将这个角置于三角形之中，经过解三角形，求出该角.注意异面直线所成的角的范围是(0o,90o].【剖析3】（向量法）依题意可成立图示坐标系Cxyz，设BC2，则A(0,2,0)，B(2,0,0)，N(0,1,2)，M(1,1,2)，uuuruuuur(1,1,2)，AN(0,1,2)，BMcosuuuruuuur0(1)(1)12230.AN,BM2202(1)222(1)21210【评注】该题条件便于成立合适直角坐标系的条件，使向量坐标化，利用空间向量夹角公式uuuruuuurAN、BM所成的角的余弦值.即可求出向量AN、BM的夹角的余弦值，进而得出异面直线【变式1】（2020浙江理）如图，三棱锥ABCD中，ABACBDCD3,ADBC2，点M,N分别是AD,BC的中点，则异面直线AN和CM所成的角的余弦值是．【剖析1】（几何法）如图，连结DN，取DN中点P，连结PM、PC，则PMC即为AN和CM所成角（或其补角），易得ANCMDN22，PMPN2，PC3，cosPCM(22)2(2)2(3)27.22228异面直线AN和CM所成的角的余弦值是7.8【评注】此法相当于平移AN，使A、M重合，利用三角形的中位线性质将异面直线所成的角转变为平面角，再利用余弦定理求解.【剖析2】（向量法）uuuruuuuruuuruuuur|uuuruuuuruuuruuuruuuuruuuur易知|AN||CM|22，|NC||AM1，NCAM，由ANNCCMAM，uuuruuuuruuuuruuuruuuruuuuruuuuruuur可得ANCMAMNC，(ANCM)2(AMNC)2uuur2uuuur2uuuruuuuruuuruuuuruuuur2uuur2即|AN||CM|2|AN||CM|cosAN,CM|AM||NC|，uuuruuuuruuuuruuuruuuruuuur7cos|AM|2|NC|2|AN|2|CM|2，AN,CMuuuruuuur82|AN||CM|异面直线AN和CM所成的角的余弦值是7.8【评注】由于题干中没有显然成立合适直角坐标系的条件，向量坐标化很难，只好基底化了.uuuruuuuruuuuruuuruuuruuuur由于，AN、CM、AM、NC四个向量的模均可求得，且二向量NC、AM夹角为90o，因此，uuuruuuuruuuruuuuruuuruuuur以向量NC、AM为基底来表示向量AN、CM，即可求出向量AN、CM的夹角的余弦值，进而得出异面直线AN,CM所成的角的余弦值.【变式2】（沈阳市2020高三上学期期末）在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BCAC，A，3AC4，M为AA1中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q3QC，则异面直线PQ与AC所成角的正弦值【剖析1】（几何法）如图，过P作PD∥AB交AA1于D，连DQ，∴D为AM中点，PD1AB4，又∵AQA1D3，2QCAD4∴DQ∥AC，PDQ，DQ3AC3，34在PDQ中，PQ4232243cos13，3cosPQ2QD2PD1PQD1cos2PQD2PQDQD，∴sin39．2PQ1313【评注】此法相当于平移AC，使C、Q重合，利用三角形的中位线、三角形相像等性质，化异面直线所成的角为平面角，再利用余弦定理求解.【剖析2】（几何法）如图，连结MQ并延伸交AC的延伸线于D，连结BD，易证PQ∥BD，∴在RtBDC中，BDC就是异面直线PQ与AC所成角，易求BC43,DC2,则BD213,432∴sinBDC1339．213【评注】此法相当于平移PQ与AC订交，利用三角形的中位线、三角形相像等性质，化异面直线所成的角为平面角，再解直角三角形求解.【剖析3】（向量法）依题意可成立图示坐标系Cxyz，设CC14m，依照uuur(4,0,0)，B(0,43,0)，已知条件可求得，CAM(4,0,2m)，进而求得P(2,23,m)，Q(1,0,m)，uuuruuuruuur41,QP(1,23,0)，cosQP,CA4202023)20212(213239.异面直线PQ与AC所成角的正弦值13【评注】该题具备成立合适直角坐标系的条件，便于求出向量坐标，利用空间向量夹角公式uuuruuurPQ与AC所成的角的正弦值.即可求出向量QO、CA的夹角的余弦值，进而得出异面直线【变式3】在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，且ABACAA1,BAC90o，则异面直线A1B与C1A所成的角.【剖析1】（几何法）如图，延伸CA至D使ADCA，连结DA1，则DA1∥AC1，BA1D就是异面直线A1B与C1A所成的角（或其补角）.设正方体的棱长为1，则BDA1的三边长均为2，进而异面直线A1B与C1A所成的角为60o.【剖析2】（几何法）如图，先将三棱柱ABCA1B1C1补成一个正方体，再将AC1平移到对面正方形，再连结底面正方形的对角线，于是它们都是面对角线，组成正三角形，进而异面直线A1B与C1A所成的角为

60o.【评注】平移法求异面直线所成的角，一般就是作4次试一试：将一条线段平移后使两条线段的一个端点重合，连结另两个端点，若是能获得可解的三角形，就能求出异面直线所成的角.我们经常经过取中点、取线段的均分点、倍长线段、甚至做平行且相等线段等方式实现平移，进而找到平面角，求出异面直线所成的角.当把一条直线平移到几何体的外面时，我们能够采用补形的思想，经过连线获得某条异面直线的平行线，进而找到平面角，求出异面直线所成的角.【剖析3】（向量法）依题意，可成立图示坐标系

A1

xyz，设

AB

AC

AA1

1，uuur

uuur则A1B

(1,0,1)，C1A

(0,

1,1)，uuuruuur100(1)111,cosA1B,C1A12021202(1)2122异面直线A1B与C1A所成角为60o.【评注】只需存在三条两两互相垂直的直线，就能够成立合适直角坐标系，而且把两条异面直线的方向向量的坐标表示出来，就能够利用向量夹角公式求出向量夹角的余弦值，进而得出异面直线所成的角的大小.【例2】利用三面角公式coscos1cos2求两条直线所成角如图，直线OA和平面所成的角为1，OB是OA在平面上的射影，平面内且可是O点的直线m和OB所成的角为2，若异面直线m和OA所成角为．求证：coscos1cos2【剖析】平移直线m至OC，则AOC即可能是异面直线m和OA所成角，设ABOB,BCOC，则ACOC，AOC，而AOB1，BOC2，在RtABO、RtBCO和RtACO分别有cos1OBcos2OCOC,和cos，OAOBOAcoscos1cos2【评注】这个结论是三面角公式的特例，我们能够直接利用这个结论求两条异面直线所成角的大小.由coscos1cos2还可得coscos1,即斜线和平面所成角1为斜线和平面内的所有直线所成角中的最小角.【变式1】以以下图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，则异面直线AF、BE所成角为【剖析1】如图，折后，平面AEF⊥平面EBCDF，∴AF与平面EBCDF所成角为45，过F作FG∥BE交BC于G，则EFG45,由公式coscos1cos2得，cosAFGcos45cos451，即AF、BE所成角为60o.2【评注】使用公式coscos1cos2必定知足平面AEF⊥平面EBCDF的条件.【变式2】将长方体截取一个角，则截面三角形的形状是A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能够确定【剖析】要证明EFG是锐角三角形，需证明EFG的三个内角都是锐角，由于正方体的对称性，只需其中一个内角是锐角即可，不如证明GFE是锐角.事实上，EB是EG在平面EBF上的射影，且BEF、GEB都是锐角，∴cosGEF=cosBEFcosGEB0，∴GFE是锐角，EFG是锐角三角形.【变式3】北纬45圈上有B、C两地，它们的经度分别为东经140与西经130，设地球半径为R，求B、C两地之间的球面距离.【剖析】要求B、C两地之间的球面距离，只需求球心角BOC的大小即可，由于B、C两地的经度分别为东经140与西经130，∴OA就是OC在平面OAB上的射影，而且AOCAOB45o，∴cosBOC=cosAOCcos221AOB222∴BOC60o，∴B、C两地之间的球面距离为R.3【评注】利用公式coscos1cos2求两条直线夹角（包括两条异面直线所成角）问题方便快捷，关于选择填空题来说，是一种很好的方法.【例

3】求两条异面直线所成的角，第一看看两条异面直线可否垂直已知

O是正方体

ABCD

A1B1C1D1的面

ABCD的中心，

P是棱

A1B1上的随意一点，

M

是棱CC1的中点，则两条异面直线

PO与

BM

所成的角A．30oC．90o

BD

．60o．不确定【剖析1】（几何法）如图，连结BD、DM，取DM中点E，连结OE，则OE∥BM，易知POE即可能是异面直线PO与BM所成的角，连结PE，只需解三角形POE即可.可是，POE中，

OE不变，

PO变化，致使

POE

随着

P在棱A1B1上变化而变化，因此，

POE

的大小不能够确定

.这个结论是错误的.【剖析2】（几何法）如图，过O点作EF∥AB，连结A1E、B1F，则PO在平面A1EFB1内，易证F是BC中点，在正方形BCC1B1中，BMB1F，而BMEF，因此，BM平面A1EFB1，而PO平面A1EFB1，∴BMPO，∴异面直线PO与BM所成的角为90o.【评注】求两条异面直线所成的角，第一看看两条异面直线可否垂直,若垂直，即即是用平移法找到了两条异面直线所成的角也不好求得，这使解题限于一隅.事实上，求两条异面直线所成的角，第一试一试证明两条异面直线垂直，若是证不出来或许反证出不能能垂直，我们再去用平移法求两条异面直线所成的角.【剖析3】（向量法）依题意可成立图示坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，APuuur(4,0,0)，B(2,2,0)，M(0,2,1)m，则CAO(1,1,0)，P(2,m,2)uuuur(uuur(1,m1,2)，，BM2,0,1)，OPuuuruuuur(2)10(m1)120,OPBM∴异面直线PO与BM所成的角为90o.【评注】该题具备成立合适直角坐标系的条件，便于求出向量坐标，利用空间向量互相垂直的充要条件，即可求出异面直线所成的角为90o.自然不用象几何法考虑那么多.【变式1】已知正四棱锥VABCD中，M、N分别是VB、BC的中点，则MN与BD所成的角大小为A．30oB．45oC．60oD．90o【剖析1】(几何法)以以下图，连结AC，易证BD平面VAC，BDVC,而MN∥VC,BDMN.∴异面直线BD与MN所成的角为90o.【评注】当两条异面直线互相垂直时，它们所成的角是90o.此时，很难经过“平移法”求得异面直线所成的角.我们只需证明两异面直线互相垂直即可求得两异面直线所成的角.【剖析2】（向量法）依题意可成立图示坐标系Oxyz，设正四棱锥VABCD底面边长为22，高为2h，则B(0,2,0)，D(0,2,0)，C(2,0,0)，V(0,0,2h)，M(0,1,h)，N(1,1,0)，uuur(0,uuuur(1,0,h)，BD4,0)，MNuuuuruuur(1)00(4)(h)00,MNBD∴异面直线BD与MN所成的角为90o.【变式2】已知周围体ABCD中，ACAD，BCBD，M、E、F分别是CD、AC、AD的中点，N是AB上随意一点，则EF与MN所成的角大小为A．30oB．45