专题05指数函数（考点通关）（解析版）

专题05指数函数考点通关【题型解读】【知识储备】1．根式(1)根式的概念若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)a的n次方根的表示xn＝a⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)当n为奇数且n∈N*时，,x＝±\r(n,a)当n为偶数且n∈N*时.))2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：aeq\f(m,n)＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；②负分数指数幂：a－eq\f(m,n)＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的性质①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝axa＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数【题型精讲】【题型一指数的运算】必备技巧指数运算(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．例1（济南市历城·月考）（1）计算：－(0.01)0.5；（2）化简：(a>0)．【解答】（1）原式=（2）原式=例2（济南市期中）已知，求下列各式的值．（1）；（2）；（3）.【答案】（1）7；（2）47；（3）6.【解析】（1）将两边平方得，所以．（2）将两边平方得，所以．（3）由（1）（2）可得【题型精练】1．（全国高一专题练习）化简求值：（1）（2）（3）【解答】（1）原式=（2）原式=（3）原式=2.（全国高一课时练习）已知，求下列各式的值：（1）a＋a－1；（2）a2＋a－2.【解答】(1)将两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.【题型二指数函数的图像】必备技巧指数型函数的图象问题对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．例3如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()A.a＜b＜1＜c＜dB.b＜a＜1＜d＜cC.1＜a＜b＜c＜dD.a＜b＜1＜d＜c【答案】B【解析】方法一在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大.由指数函数图象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1.∴b＜a＜1＜d＜c.方法二作直线x＝1，与四个图象分别交于A、B、C、D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b＜a＜1＜d＜c.故选B.例4（2022·高邮市临泽高一月考）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为______．【答案】4【详解】∵函数且的图象恒过定点，可得，∵点在一次函数的图象上，∴，∵，所以，当且仅当时取得等号；例5（河南林州高一月考）已知函数，实数，满足，则（）A． B．，，使得C． D．【答案】CD【分析】根据函数解析式，作函数的图象，根据图象的特征，可得选项A、C的正误，根据基本不等式，可得选项B、D的正误.【详解】画出函数的图象，如图所示．由图知，则，故A错，C对．由基本不等式可得，所以，则，故B错，D对．故选：CD．【题型精练】1.（2022·上海高一专题练习）函数的图像恒过定点______.【答案】【详解】，令，得，，函数的图象恒过定点，故答案为：.2.（辛集市第二高一期中）下图中的函数图象所对应的解析式可能是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.【详解】解：根据图象可知，函数关于对称，且当时，，故排除B、D两项；当时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C项，当时，单调递减，故排除C项.故选：A.【题型三指数函数的性质】必备技巧指数函数的性质(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．例6（全国高一课时练习）求下列函数的定义域和值域：(1)y＝；(2)y＝eq\r(1－2x)；(3)y＝.【解析】(1)由x－4≠0，得x≠4，故y＝的定义域为{x|x≠4，x∈R}.又eq\f(1,x－4)≠0，即2eq\f(1,x－4)≠1，故y＝的值域为{y|y＞0，且y≠1}.(2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，∴y＝eq\r(1－2x)的定义域为(－∞，0].由0＜2x≤1，得－1≤－2x＜0，∴0≤1－2x＜1，∴y＝eq\r(1－2x)的值域为[0,1).(3)y＝的定义域为R.∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－4＝16.又∵＞0，故函数y＝的值域为(0,16].例7函数的单调递增区间是（） A．B． C． D．【答案】D【详解】函数的定义域为，解得，设，此函数为减函数，，对称轴为，所以在为增函数，在为减函数，所以原函数在为减函数，在为增函数（符合函数单调性：同增异减）例8已知函数，如果对任意，恒成立，则满足条件的的取值范围是．【答案】【详解】因所以在上为奇函数，并且为减函数，所以，所以，所以在上恒成立，所以，当时，，所以，解得。例9（2022·江西高安高一月考）已知，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，构造函数，由指数函数和幂函数的性质，可知两个函数在单调递增；由于；由于；综上：故选：A【题型精练】1．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域为____.【答案】【分析】函数是复合二次函数，换元转化为二次函数值域问题.【详解】解：令，函数化为，即函数的值域为．故答案为：2.（2022·全国·高一课时练习）已知，，，，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据幂函数以及指数函数的单调性即可比较大小.【详解】由题得，，，，因为函数在上单调递增，所以．又因为指数函数在上单调递增，所以．故选:D．3.（浙江高一课时练习）函数的单调递减区间是.【答案】【详解】设，此函数为增函数，，对称轴为，所以在为增函数，在为减函数，所以原函数在为减函数（符合函数单调性：同增异减）4.（2022·全国·高一单元测试）已知函数，且，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此化简不等式，即可得选项.【详解】由题意知函数，令，则，∴的定义域为，，∴函数为奇函数．又，∴在上单调递增．由，得，即，∴，∴，即．故选：B．【题型四指数函数综合问题】必备技巧指数函数的综合问题(1)有关指数复合函数的单调性、值域问题．(2)有关指数型函数对应的不等式恒成立及能成立问题．(3)有关指数型函数对应的方程有解问题．例10（安徽贵池池州高一期中）已知定义域为R函数是奇函数．（1）求实数a，b：（2）定义证明f（x）在(-∞，+∞)上的单调性，（3）若不等式对有解，求t的范围．解析：（1）因为函数是上的奇函数，所以，解得，所以，又因为奇函数，所以，即，所以，化简可得，即，所以，解得，所以（2）由（1）知，所以在上为减函数，证明略（3），由（2）知所以在上为减函数，所以对有解，即对有解，所以，因，所以，所以例11（永安市第三高一月考）已知函数在区间上的最大值为，最小值为（1）求实数，的值（2）若方程在上有两个不同的实数解，求的取值范围解析：（1）设，则原题即化为，因，对称轴为，所以当，①，当，②，由①②解得，（2）设，则原题即化为，即，由于函数在单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，当时，，所以要使方程有两个不同的实数解，则【题型精练】1．（2022·河南洛阳·高一期末）设函数（且）是定义域为的奇函数．(1)求实数k的值；(2)若，，且当时，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用奇函数的性质得；（2）由若得出，确定表达式，参变量分离即可.(1)函数（且）是定义域为的奇函数,则，所以，又时，，对任意的，都有成立，满足题意，所以；(2)由（1）知，，且，所以，，所以，或（舍），令，则，由当时，恒成立，得在时恒成立，则在时恒成立，又在上单调递增，所以，，所以，.2.（全国高一专题练习）已知函数是R上的奇函数.（1