习题空间向量的数量积运算

空间向量的数量积运算时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)一 一a・bb_.设a、匕为空间的非零向量，下列各式：①a2=|a|2；0-=-；③(a-b)2a2a=a2，b2；④(a—b)2=a2—2a・b+b2,其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析：由数量积的性质和运算律可知①④是正确的，故选B.答案：B.已知a、b是异面直线，且a,b,e1、句分别为取自直线a、b上的单位TOC\o"1-5"\h\z向量，且a=2e1+3e2,b=ke1—4e2,a，b,则实数k的值为( )A.－6 B.6C.3 D.—3解析：由a，b,得a・b=0,.\(2e1+3e2)^(ke1—4e2)=0,.•・2k—12=0,.・.k=6.故选B.答案：B.设ABCD—A，B'CD’是棱长为a的正方体，AC和BD，相交于点O,则有()A‘C=2a2•AC=J2a2AO=-1a2 •AD=a2乙解析：由AB-AO=1aP-ab=乙|(AB+BC+CC7)•AB=1a2.乙 乙答案：C.已知空间四边形ABCD各条边的长度相等，E是BC边的中点，那么（）BC<AE•CDBC=AE-CDbC>AE•CDBC与AE•CD不能比较大小答案：A.设A,B,C,D是空间不共面的四点，且满足AB•5C=0,AC•AD=0,AB•AD=0,则△BCD是（ ）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定解析：曲•Bt=（AD-AB）•（At-AB）=AD•At-AD•aB-AB•股+殖=殖>0,・・・cosNDBC>0,NDBC为锐角，同理NBDC,NBCD为锐角.・•・△BCD为锐角三角形.答案：B.已知a、b是异面直线，A、Bea,C、Deb,AC±b,BD,b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是（）TOC\o"1-5"\h\zA.30° B.45°C.60° D.90°解析：设〈AB,CD〉=。，AB•而=(AC+CD+DB)•①=|CD|2=1,・ ° AB'CD1••cosH= =7),|AB||CD12又•.•0e[0°,180°],・・.e=60°,故选C.答案：C二、填空题(每小题8分，共24分)

.已知空间向量a、b、c满足a+b+c=O,|a|=3,|b|=l,|c|=4,则a-b+b•c+c-a的值为.解析：Va+b+c=O,，(a+b+c)2=0,a2+b2+c2+2(a•b+b•c+c•a)=0,.*.a•b+b•c+c•a=32+12+42_.*.a•b+b•c+c•a=32+12+42_2 =-13.答案：一13.若弗・或=期・就，则舜CE.解析：aB-bE=aB-BC,则期-(bE-bC)=a5-cE=o.aaBxcE..已知|0A|=5,|死|=2,<OA,死〉=60°,OC=2OA+OB,®=oA-2oB,则以OC、OD为邻边的平行四边形OCED的对角线OE的长为.解析：・.・OE=OC+OD,aoE2=（oC+oD）2=(2OA+OB+OA-20B)2=(3OA-OB)2=90A2+oB2-6OA-0B=9X25+4—6X5X2Xcos60°=199.・・・OE=q演.答案：寸演三、解答题（共40分）图1图110.（10分）已知空间四边形ABCD,求电・比+就•⑪+CA-而的值.解：aB-cD+bC-aD+cA-BD=融.（aD-aC）+（AC-AB）-aD-aC-（aD-aB）=5B-aD-aB•aC+aC-aD-aB-aD-aC-aD+aC-融=o.n.（15分）BBJ平面ABC,且AABC是NB=90°的等腰直角三角形，口ABB^、-BBCC的对角线都分别相互垂直且相等，若AB=a,求异面直线B2与AC所成的角.图2解：如图2所示.・•烈=网+品，aC=aB+bC,1 1••烈・AC=（网+品）・（融+就）=网・电+网・就+品・电+品•就.1 1 1 1因为AB^BC,BBJAB,BBJBC,・・AB•就=0,BIB-AB=0,1曲•BC=0,EA・AB=—a2.1・・欧•AC=-a2.1又烈「ACnBlJ-IAClcos〈烈」AC）,・・・〈烈，AC〉=120°,1•・异面直线BA与AC成60°角.1p图312.(15分)如图3所示，已知P是AABC所在平面外一点，PA^PC,PBXPC,PALPB,求证：P在面ABC上的射影H是4ABC的垂心.证明：・.・PA，PC,PB，PC,PA，PB,・・・PA•PC=0,PB•PC=0,PA•PB=0,PA，平面PBC.APA-BC=0.由题意可知，PH上面ABC,-►―__►—>,―►—••