第六节流体流动的微分方程

第六节流体流动的微分方程第一页，共十六页，2022年，8月28日

采用欧拉方法进行微分衡算时，选取的衡算范围(流体微元)即相当于前述的控制体。它的特点是体积、位置固定，输入和输出控制体的物理量随时间改变。采用拉格朗日方法进行微分衡算时，所选取的流体质点的特点是其质量固定，位置和体积是随时间变化的。与欧拉方法不同，拉格朗日方法的着眼点不是流体空间上的固定点，而是流体运动的质点或微团，研究每个流体质点自始至终的运动过程。

2．拉格朗日方法第二页，共十六页，2022年，8月28日二、物理量的时间导数1．偏导数2．全导数表示为：偏导数、全导数和随体导数物理量的时间导数有三种：第三页，共十六页，2022年，8月28日

3．随体导数表示为：三、连续性方程

1．方程的推导连续性方程的推导采用欧拉方法。如图所示第四页，共十六页，2022年，8月28日第五页，共十六页，2022年，8月28日

根据质量守恒原理，对所选的控制体进行质量衡算，得在x方向，流体经控制体的左侧面流入控制体的质量通量为，则质量流率为，而由控制体右侧平面流出的质量通量为，故由右侧平面流出的质量流率为。(流出质量流率)－(流入质量流率)+(累积质量速率)=0第六页，共十六页，2022年，8月28日于是，x方向流出与流入微元控制体的质量流率之差为同理，可得y，z方向流出与流入微元控制体的质量流率之差分别为：第七页，共十六页，2022年，8月28日

由此可得连续方程如下：控制体内任意时刻的流体质量为，因此累积速率为：向量形式为：第八页，共十六页，2022年，8月28日某些情况下，连续性方程可以得到简化。例如稳态流动时，有：对于不可压缩流体，=常数，此时无论是稳态流动还是非稳态流动，连续性方程均简化为

2．柱坐标与球坐标下的连续性方程第九页，共十六页，2022年，8月28日第十页，共十六页，2022年，8月28日第十一页，共十六页，2022年，8月28日

运动方程称为微分动量衡算方程，可以通过对流体进行微分动量衡算得到。四、运动方程第十二页，共十六页，2022年，8月28日

推导运动方程采用拉格朗日方法，依据是动量守恒原理即牛顿第二运动定律其意义为作用在任何物体上的合外力应等于此物体的动量变化率本构方程给出应力与形变速率之间关系的表达式。

1．用应力表示的运动方程2．牛顿型流体的本构方程第十三页，共十六页，2022年，8月28日3．运动方程

将以上三式写成向量形式，为：简化得运动方程的最终形式为：第十四页，共十六页，2022年，8月28日运动方程亦称为奈维—斯托克斯（Navier—Stokes）方程，方程中每一项都代表着作用在流体质点上的力。表示惯性力；右侧项中表示质量力；表示压力梯度；则表示粘性力。4．以动压力表示的运动方程略，自学5．柱坐标与球坐标下的运动方程略，自学第十五页，共十六页，2022年，8月28日【学习指导】2．本知识点的重点

1．学习目的通过本知识点的学习，应了解分析流体流动问题的两种方法，随体导数及体积形变速率的基本概念；掌握连续性方程推导的方法；了解运动方程推导过程中