中国石油大学现代控制理论全部

中国石油大学现代控制理论全部第1页/共506页问题的提出－控制的必要性飞机的自动驾驶系统、宇宙飞船系统和导弹制导系统；第2页/共506页问题的提出－控制的必要性数控机床；工业过程中流量、压力、温度的控制；第3页/共506页问题的提出－控制的必要性机器人控制、城市交通控制、网络拥塞控制；生物系统、生物医学系统、社会经济系统；第4页/共506页火星旅行者第5页/共506页第6页/共506页自动控制的两个主题反馈闭环回路输入动态系统输出测量比较误差输入不确定条件下达到性能指标最优控制一段时间上的性能指标最小预先规划、开环控制轨迹最优化二者联系某些条件下，最优控制构成反馈第7页/共506页提出的方法－经典控制理论(1935-1950)传递函数模型美国贝尔实验室H.Bode(1938)，以及Nyquist(1940)提出了频率响应法第8页/共506页提出的方法－经典控制理论(1935-1950)美国MIT的N.Wiener在研究随机过程的预测问题中，提出Wiener滤波理论(1942)，发表了’Cybernetics’(1948)控制论：关于在动物和机中控制和通讯的科学Cybernetics:orControlandCommunicationintheAnimalandtheMachine控制学科诞生:维纳的控制论第9页/共506页存在的问题经典控制理论简单对象单输入单输出、线性、时不变系统缺乏系统化方法图形化方法，依赖于设计人员的经验达到的性能要求较低，不能处理多目标性能面临的挑战对象日益复杂化、控制性能要求不断提高第10页/共506页现代控制理论新知识、新技术第11页/共506页现代控制理论1956年，前苏联的庞德里亚金发表了《最优过程的数学理论》，提出了极大值原理(MaximumPrinciple)；1957年，美国的贝尔曼发表了《动态规划理论在控制过程中的应用》，建立了最优控制的理论基础；1960年，美籍匈牙利人卡尔曼发表了”OntheGeneralTheoryofControlSystems”，引入状态空间法分析系统，提出了能控性、能观性、卡尔曼滤波等概念，奠定了现代控制理论的基础；第12页/共506页现代控制理论1957年成立了国际自动控制联合会(IFAC：InternationalFederationofAutomaticControl)第13页/共506页现代控制理论－取得的成就1957年发射了第一颗人造地球卫星；工业机器人产品；1961年载人航天（加加林）；1966年月球软着陆；1969年登陆月球。第14页/共506页现代控制理论－研究对象系统是系统控制理论的研究对象系统：是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体”。系统具有如下3个基本特征:(1)整体性结构上的整体性系统行为和功能由整体性决定第15页/共506页现代控制理论－研究对象(2)抽象性作为系统控制理论的研究对象，系统常常抽去了具体系统的物理，自然和社会含义，而把它抽象为一个一般意义下的系统而加以研究。(3)相对性在系统的定义中,所谓“系统”和“部分”这种称谓具有相对属性。第16页/共506页现代控制理论－研究对象动态系统：所谓动态系统，就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化的一类系统——动力学系统。

动态系统是系统控制理论所研究的主体，其行为由各类变量间的关系来表征。系统变量可区分为三类形式

输入变量组内部状态变量组输出变量组uxy第17页/共506页现代控制理论－研究对象系统动态过程的数学描述白箱模型黑箱模型动态系统的分类从机制角度：连续变量系统离散事件系统从特性角度：线性系统非线性系统从作用时间类型角度：连续时间系统离散时间系统连续系统按其参数的空间分布类型：

集中参数系统分布参数系统第18页/共506页现代控制理论－研究对象线性系统线性系统理论的研究对象为线性系统，其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。若表征系统的数学描述为L第19页/共506页现代控制理论－研究对象系统模型系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器②模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示③数学模型的基本性：着重研究可用数学模型描述的一类系统④建立数学模型的途径：解析、辨识⑤系统建模的准则：折衷第20页/共506页现代控制理论－特点现代控制理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任务的学科。研究线性系统状态的运动规律和改变这种规律的可能性和方法，建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间确定的和定量的关系。主要内容：数学模型→分析理论→综合理论发展过程：经典控制理论→现代控制理论处理方法：状态空间法第21页/共506页本课程内容状态空间模型；基于状态空间模型的系统分析(Analysis)；运动分析、能控性、能观性、稳定性基于状态空间模型的系统综合(Synthesis)；极点配置、稳定化控制器设计、观测器设计、二次型最优控制器设计。第22页/共506页本课程教学方法和要求主线：问题的提出—–解决的思路—–具体方法—–算法编程—–应用实例；和MATLAB相结合，理论证明、仿真验证；参与课堂讨论、回答提问、完成作业；编程设计、演示；介绍应用领域、实验结果；考试叙述、证明、计算第23页/共506页参考书目刘豹唐万生.现代控制理论(第3版)，机械工业出版社，2006.7[美]KatsuhikoOgata著，卢伯英于海勋等译.现代控制工程

(第四版)，电子工业出版社，2003[澳]Goodwin,G.C.,etal.ControlSystemDesign,清华大学出版社，2002王枞.控制系统理论及应用，北京邮电大学出版社，2003张嗣瀛,高立群.现代控制理论，清华大学出版社，2006第24页/共506页现代控制理论

ModernControlTheory第1章控制系统的状态空间表达式PartI(1.1~1.4)第25页/共506页系统动态过程的两类数学描述系统的外部描述外部描述常被称作输出—输入描述例如，对SISO线性定常系统

时间域的外部描述：复频率域描述即传递函数描述：uy第26页/共506页系统动态过程的两类数学描述系统的内部描述状态空间描述是系统内部描述的基本形式，需要由两个数学方程表征——

状态方程

输出方程第27页/共506页系统动态过程的两类数学描述外部描述和内部描述的比较

一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述，不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分。内部描述则是系统的一种完全的描述，能够完全反映系统的所有动力学特性。第28页/共506页如图所示RLC的电路根据回路电压定律RLCu(t)uc(t)i(t)1.1状态空间及状态空间表达式第29页/共506页令状态变量x1=uc，x2=i，系统输出y=uc=x1写成矩阵形式以上方程可表为形如1.1状态空间及状态空间表达式第30页/共506页1.1状态空间及状态空间表达式另一种状态空间表达式第31页/共506页1.1状态空间及状态空间表达式状态空间描述常用的基本概念输入：外部对系统的作用(激励)，输入包括控制输入和干扰输入。输出：系统的被控量或从外部测量到的系统信息。

若输出是由传感器测量得到的，又称为观测。第32页/共506页1.1状态空间及状态空间表达式状态变量:一个动力学系统的状态变量组定义为：能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组状态矢量：一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组所组成的一个列向量第33页/共506页1.1状态空间及状态空间表达式状态空间：

状态空间定义为状态向量的一个集合，状态空间的维数等同于状态的维数状态轨线：系统在某个时刻的状态，在状态空间可以看作是一个点。随着时间的推移，系统状态不断变化，并在状态空间中描述出一条轨迹，这种轨迹称为状态轨线或状态轨迹。第34页/共506页1.1状态空间及状态空间表达式几点解释

(1).状态变量组对系统行为的完全表征性只要给定初始时刻t0的任意初始状态变量组和t≥t0各时刻的任意输入变量组那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定第35页/共506页(2).状态变量组最小性的物理特征(3).状态变量组最小性的数学特征(4).状态变量组的不唯一性(5).系统任意两个状态变量组之间的关系(6).有穷维系统和无穷维系统(7).状态空间的属性状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间Rn1.1状态空间及状态空间表达式第36页/共506页线性系统的状态空间表达式描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式（动态方程或运动方程），包括状态方程描述状态变量与输入之间的关系输出方程描述输出与状态变量之间的关系1.1状态空间及状态空间表达式第37页/共506页3/30/2023第38页/共506页动态系统的结构连续时间线性系统的状态空间描述线性时不变系统线性时变系统1.1状态空间及状态空间表达式第39页/共506页xn维状态矢量ur维输入(或控制)矢量ym维输出矢量A

nxn系统矩阵B

nxr输入(或控制)矩阵C

mxn输出矩阵D

mxr直接传递矩阵状态方程输出方程1.1状态空间及状态空间表达式第40页/共506页连续时间线性系统的方框图1.1状态空间及状态空间表达式第41页/共506页1.2状态空间表达式的模拟结构图一阶标量微分方程第42页/共506页三阶系统微分方程1.2状态空间表达式的模拟结构图第43页/共506页状态空间方程1.2状态空间表达式的模拟结构图第44页/共506页多输入多输出系统1.2状态空间表达式的模拟结构图第45页/共506页1.2状态空间表达式的模拟结构图第46页/共506页从系统结构图建立状态空间表达式从机理建立状态空间表达式从传递函数建立状态空间表达式无零点有零点多入多出系统微分方程实现建立状态空间表达式的方法第47页/共506页1suxxuKTs+1uxK/Ts+1/Tuxux1.2状态空间表达式的模拟结构图1.3.1从系统结构图建立状态模型第48页/共506页1.3状态空间表达式的建立z-ppxyus+zs+puyz-ps+puy1.3.1从系统结构图建立状态模型第49页/共506页1.3状态空间表达式的建立w22zwux1x2yw2s2+2zws+w2uyw2s+2zw1suy1.3.1从系统结构图建立状态模型第50页/共506页1.3状态空间表达式的建立已知系统的结构框图，求状态空间表达式K1T1s+1uyK2T2s+1K3T3sK41.3.1从系统结构图建立状态模型第51页/共506页1.3状态空间表达式的建立系统的状态空间表达式为1.3.1从系统结构图建立状态模型第52页/共506页1.3状态空间表达式的建立已知系统的结构框图，求状态空间表达式s+zs+pu1s+aKsyz-ppx2Kaux3x1y1.3.1从系统结构图建立状态模型第53页/共506页1.3状态空间表达式的建立系统的状态空间表达式为1.3.1从系统结构图建立状态模型第54页/共506页1.3状态空间表达式的建立如图所示的RLC电路，试以电压u为输入，以电容C上的电压

为输出变量，列写其状态空间表达式。电路的贮能元件有电感

和电容C。根据基尔霍夫定律列写电路方程：1.3.2从机理建立状态模型第55页/共506页1.3状态空间表达式的建立考虑到

三个变量是独立的，故可确定为系统的状态变量，经整理上式变为现在令状态将上式写成矩阵形式即为状态方程1.3.2从机理建立状态模型第56页/共506页1.3状态空间表达式的建立1.3.2从机理建立状态模型第57页/共506页1.3状态空间表达式的建立直流电机系统电路部分特性机械部分特性取状态变量:uLRJq’B1.3.2从机理建立状态模型第58页/共506页1.3状态空间表达式的建立得：矩阵形式：1.3.2从机理建立状态模型第59页/共506页1.3状态空间表达式的建立建立如下电路的状态空间表达式1.3.2从机理建立状态模型1/R11/sC11/R21/sC2uC(s)ur(s)u1(s)i1(s)i2(s)--u1(s)-uC(s)第60页/共506页1.3状态空间表达式的建立等效成1/R11/sC11/R21/sC2uC(s)ur(s)u1(s)i1(s)i2(s)--u1(s)-uC(s)1.3.2从机理建立状态模型1/R11/R2∫uCuu1---x11/C21/C1∫x2y第61页/共506页1.3状态空间表达式的建立状态方程及输出方程：1/R11/R2∫uCuu1---x11/C21/C1∫x2y1.3.2从机理建立状态模型第62页/共506页1.4状态空间表达式的建立由系统输入输出描述导出状态空间描述已知系统的内部结构，可以求出系统的状态空间表达式如果已知系统的输入/输出描述(微分方程或传递函数)，可否确定其状态空间表达式？实现问题实现是非唯一的，但只要W(s)没有零极点相消则各个实现的阶次相同各个实现都等效于原传递函数第63页/共506页1.4状态空间表达式的建立对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述其传递函数描述可以导出其状态空间描述为基本步骤：选取适当的状态变量组，确定对应的参数矩阵组第64页/共506页1.4状态空间表达式的建立注意的问题实现条件是m≤n，否则是不可实现的当m<n时，d=0当m=n时，d=bn≠0

此时，系统的传递函数可写为系统的输出直接与输入关联1.4状态空间表达式的建立第65页/共506页1.4状态空间表达式的建立传递函数中没有零点时的实现(

m=0情形)此时输入输出描述为:第66页/共506页1.4状态空间表达式的建立选取n个状态变量状态方程输出方程第67页/共506页1.4状态空间表达式的建立其对应的状态空间描述为:A友矩阵第68页/共506页1.4状态空间表达式的建立例求微分方程所示系统的状态空间表达式解：令则由有第69页/共506页1.4状态空间表达式的建立第70页/共506页1.4状态空间表达式的建立传递函数中有零点时的实现(

m≠0情形)其传递函数描述系统的微分方程描述第71页/共506页1.4状态空间表达式的建立令对上式求拉氏反变换第72页/共506页1.4状态空间表达式的建立第73页/共506页1.4状态空间表达式的建立第74页/共506页1.4状态空间表达式的建立状态方程和输出方程第75页/共506页1.4状态空间表达式的建立状态空间表达式第76页/共506页1.4状态空间表达式的建立传递函数分子阶次小于分母阶次m<n情形第77页/共506页1.4状态空间表达式的建立关于实现的非唯一性输入输出描述为:第78页/共506页1.4状态空间表达式的建立其中第79页/共506页1.4状态空间表达式的建立其对应的状态空间描述为:第80页/共506页两种状态空间描述为:第81页/共506页1.4状态空间表达式的建立多输入-多输出(MIMO)系统微分方程的实现第82页/共506页1.4状态空间表达式的建立第83页/共506页1.4状态空间表达式的建立由结构图不难列出系统的状态空间表达式第84页/共506页现代控制理论

ModernControlTheory第1章控制系统的状态空间表达式PartII(1.5~1.7)第85页/共506页1.5状态矢量的线性变换状态空间表达式的非唯一性系统特征值的不变性与系统的不变量第86页/共506页1.5.1状态空间表达式的非唯一性对于一个给定的动态系统，可以选择不同的状态变量组，从而得到不同结构的状态空间表达式设给定系统为：第87页/共506页1.5.1状态空间表达式的非唯一性第88页/共506页61x23ux3x1y21.5.1状态空间表达式的非唯一性第89页/共506页x23ux3x1y32-6131.5.1状态空间表达式的非唯一性第90页/共506页1.5.1状态空间表达式的非唯一性第91页/共506页为何同一个系统具有不同的状态空间模型?原因:状态变量的不同选择这就产生了一个问题:各种不同选择的状态变量之间,以及它们所对应的状态空间模型之间的关系如何?1.5.1状态空间表达式的非唯一性第92页/共506页不同的状态变量组之间的关系实质上是一种线性变换的关系，或称坐标变换状态变量是一组实变量,它们所组成的状态空间为一个实线性空间。由线性代数知识可知,线性空间中,随着表征空间坐标的基底的选取的不同,空间中的点关于各种基底的坐标亦不同。这些基底之间的关系相当于进行了一次坐标变换,而空间中的点的坐标则相当于作了一次相似变换。P为可逆的变换矩阵1.5.1状态空间表达式的非唯一性第93页/共506页状态空间的线性变换设描述同一个线性状态空间的两个n维的状态变量向量分别为由线性代数知识可知,它们之间必有如下变换关系其中T为nn维的非奇异变换矩阵。上述状态变量向量x与间的变换,称为状态的线性变换只有变换矩阵T为非奇异的,才能使上述变换关系是等价的、唯一的和可逆的1.5.1状态空间表达式的非唯一性第94页/共506页设给定系统为总可以找到任意一个非奇异矩阵T，作线性变换得新状态空间表达式1.5.1状态空间表达式的非唯一性第95页/共506页例

试将以下状态空间模型作变换矩阵为下式所示的线性变换1.5.1状态空间表达式的非唯一性第96页/共506页1.5状态矢量的线性变换解

线性变换T的逆矩阵为因此,有第97页/共506页1.5状态矢量的线性变换故系统在新的状态变量下的状态空间模型为值得指出的是,状态空间的线性变换只是对状态变量作变换,对系统的输入和输出未作变换,因此系统的输入输出间的动态和静态关系对状态变换保持不变。第98页/共506页1.5状态矢量的线性变换1.5.2系统特征值的不变性与系统的不变量由前面的讨论可知,当选择不同的状态变量,则获得不同的状态空间模型描述。实际上,状态空间模型只是系统在不同的状态变量选择下对系统的一种描述,它随状态变量选择的不同而不同,并不具有唯一性和不变性那么,到底系统在状态空间中有哪些描述,哪些性质是不变的,是不随状态变量的选取不同而变化的?第99页/共506页1.5状态矢量的线性变换线性时不变系统的特征结构由特征值和特征向量所表征。特征多项式连续时间线性时不变系统第100页/共506页1.5状态矢量的线性变换均为实常数(1)特征多项式(2)特征方程式第101页/共506页1.5状态矢量的线性变换特征值连续时间线性时不变系统特征值的代数属性系统特征值就是使特征矩阵(sI－A)降秩的所有s值特征值集对n维线性时不变系统，有且仅有n个特征值，特征值的全体构成系统的特征值集。第102页/共506页1.5状态矢量的线性变换(3)特征值的形态特征值的形态要么为实数，要么为共轭复数(4)特征值类型系统特征值可区分为“单特征值”和“重特征值”两种类型第103页/共506页1.5状态矢量的线性变换系统的不变量及系统特征值不变性系统矩阵A的一个重要性质是其特征值的不变性，即在状态变量的线性变换中，新老状态方程的系统矩阵的特征值是相同的第104页/共506页1.5状态矢量的线性变换为了证明这一点，只要证明即可，证明如下：A阵的特征值是不变的第105页/共506页1.5状态矢量的线性变换这还意味着特征方程是相同的。即如设系统的特征方程为：则方程的系数是不变的量，故称特征多项式的系数为系统的不变量第106页/共506页1.5状态矢量的线性变换特征向量n维连续时间线性时不变系统，i为A的特征值特征向量的属性：(1)特征向量的不唯一性(2)单特征值所属特征向量的属性对n维线性时不变系统，系统矩阵A的属于特征值{1、2、…n}的相应一组特征向量{p1、p2、…pn}为线性无关，当且仅当特征值{1、2、…n}为两两互异。第107页/共506页[例]试求下列状态方程变换A的特征值和特征向量解：A的特征值可由－A＝0求出1.5状态矢量的线性变换第108页/共506页对应于1＝－1的特征矢量1.5状态矢量的线性变换特征矢量不唯一!第109页/共506页同理可以算出l1=-2和l3=-3的特征向量p2，p31.5状态矢量的线性变换第110页/共506页1.5状态矢量的线性变换1.5.3状态空间表达式变换为约旦标准型对线性定常系统变换为其中J=T-1AT非奇异变换变换矩阵T通过系统的特征向量求得。第111页/共506页1.5状态矢量的线性变换1.状态矩阵A无重特征值时如果A有n个两两相异特征值，则存在非奇异矩阵T，通过线性变换，使之化为对角线规范形式其中矩阵A的特征值。第112页/共506页

证明：首先令pi为A的属于li的特征向量因为l1，l2，…，ln为两两相异，故p1,p2,…,pn必线性无关，由这些特征向量组矩阵T：必是非奇异的。1.5状态矢量的线性变换第113页/共506页进而，根据特征向量的关系式Api=lipi，有1.5状态矢量的线性变换第114页/共506页因为T是非奇异阵，必有逆。将上式左乘T-1，即得1.5状态矢量的线性变换第115页/共506页[例]试将下列状态方程变换为约当规范形1.5状态矢量的线性变换第116页/共506页1.5状态矢量的线性变换第117页/共506页1.5状态矢量的线性变换第118页/共506页1.5状态矢量的线性变换2.状态矩阵A有重根时对线性定常系统设A的特征值为l1，l2，…，lk，其中特征值lj为qj重特征值，所以有这时导出的形式叫约当标准型，就是说总可以找到变换矩阵T，使得第119页/共506页称为第j个约当块1.5状态矢量的线性变换第120页/共506页因为特征值重复，得不到n个线性无关的特征向量问题:怎样得到变换矩阵T?

假设对q1重特征值l1

，只能得到一个特征向量p1

，其余向量p2,p3,…,pq1尚未求出，但由1.5状态矢量的线性变换第121页/共506页将此式展开1.5状态矢量的线性变换第122页/共506页现在研究上式两边矩阵的第2列到第q1列，得下列关系式：上式有q1个方程和共个q1未知量，由上式可求得。同理可求得pq1以后的特征向量，于是可组成T矩阵。特征向量广义特征向量1.5状态矢量的线性变换第123页/共506页1.5状态矢量的线性变换例

将系统状态空间表达式化为约当标准型。解：求A的特征值所以特征值为：第124页/共506页1.5状态矢量的线性变换对应于l1=-1的特征向量p1对应于l1=-1的广义特征向量p2第125页/共506页1.5状态矢量的线性变换对应于l3=-1的特征向量p3所以第126页/共506页此系统的约当标准型为1.5状态矢量的线性变换第127页/共506页1.5状态矢量的线性变换特殊形式（标准型）A阵的变换矩阵T其特征多项式为|I-A|=n+an-1n-1+…+a1+a0即该类矩阵的最后一行与特征多项式的系数一一对应。该类特殊系统矩阵A称为友矩阵。第128页/共506页该结论可由下式证明即pi为友矩阵的特征值i对应的特征向量1.5状态矢量的线性变换友矩阵的特征向量的特点:当特征值为li时,其对应的特征向量为第129页/共506页1.5状态矢量的线性变换(1).当友矩阵的特征值互异时,将友矩阵变换成对角线矩阵的变换矩阵恰为下述范德蒙矩阵第130页/共506页1.5状态矢量的线性变换(2).当友矩阵有重特征值时,以l1的三重跟为例第131页/共506页1.5状态矢量的线性变换(3).当友矩阵有共轭复数特征值时,四阶系统有一对共轭复数特征值为例，设l1,2=s±jw,l3l4第132页/共506页1.5状态矢量的线性变换3.系统的并联型实现

设单输入单输出系统的传递函数如下其极点即传递函数分母方程的根为两两互异实数，对应的状态空间描述可按如下两类情形(1)m<n，即系统为严真情形

第133页/共506页x2lnuxnx1ycnl2c2c1l1对应的状态空间描述为状态方程中系统矩阵为对角线标准型，可见并联实现等价于约旦标准型实现。1.5状态矢量的线性变换第134页/共506页x2lnuxnx1ycnl2c2c1l1对应的状态空间描述为1.5状态矢量的线性变换第135页/共506页(2)m=n，即系统为真情形

令状态空间描述为：1.5状态矢量的线性变换第136页/共506页1.5状态矢量的线性变换传递函数具有重根的情况设传递函数W(s)有一个q重根l1，其余lq+1，lq+2，…，ln是互异单根，W(s)的部分分式展开为第137页/共506页1.5状态矢量的线性变换第138页/共506页1.5状态矢量的线性变换第139页/共506页1.5状态矢量的线性变换第140页/共506页1.5状态矢量的线性变换第141页/共506页1.6 从状态空间表达式求传递函数阵从系统的传递函数推导状态方程从状态方程导出系统的传递函数阵

1.6.1传递函数矩阵已知系统的状态空间表达式，求系统输入输出之间的传递函数矩阵第142页/共506页1.6 从状态空间表达式求传递函数阵1.单输入单输出系统

统的状态方程和输出方程为：式中x为n维向量，y、u分别为输出和输入，它们都是标量。对上式进行拉氏变换，并假定初始条件为零，则有第143页/共506页1.6 从状态空间表达式求传递函数阵于是可得传递函数为：第144页/共506页1.6 从状态空间表达式求传递函数阵2.多输多输出系统

系统的状态空间表达式为式中：输入列向量；输出列向量；系统矩阵；控制矩阵；输出矩阵；直接传递矩阵；状态向量;第145页/共506页1.6 从状态空间表达式求传递函数阵在初始条件为零的前提下作拉氏变换，得于是得传递函数阵第146页/共506页1.6 从状态空间表达式求传递函数阵系统各个输入与输出之间是相互关联的，这种关系称为耦合关系，这是多变量系统的特点第147页/共506页1.6 从状态空间表达式求传递函数阵传递函数矩阵还可以表示为可以看出，传递函数的分母就是系统矩阵A的特征多项式，分子是一个多项式矩阵第148页/共506页[例]已知SISO系统的状态空间表达式如下所示，试求其传递函数阵[解]1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第149页/共506页1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第150页/共506页[例]已知MIMO系统的状态空间表达式如下所示，试求其传递函数阵1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第151页/共506页[解]1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第152页/共506页1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第153页/共506页y2y1W11W21

W12

W22u1u21.6 从状态空间表达式求传递函数阵第154页/共506页1.6 从状态空间表达式求传递函数阵线性变换是状态空间方法分析和综合中广为采用的一种基本手段——突出系统的某些特性或特征，或是简化系统分析和综合的计算过程。线性变换的实质是把系统在空间一个坐标系上的表征化为另一个坐标系上的表征。线性时不变系统引入坐标变换，其传递函数矩阵在线性非奇异变换下保持不变第155页/共506页1.6 从状态空间表达式求传递函数阵线性时不变系统状态空间描述为引入状态变换则变换后系统的状态空间描述为第156页/共506页1.6 从状态空间表达式求传递函数阵其传递函数矩阵即同一系统，传递函数矩阵是唯一的第157页/共506页1.6.2组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵1.6 从状态空间表达式求传递函数阵对于许多复杂的生产过程与设备,其系统结构可以等效为多个子系统的组合结构,这些组合结构可以由并联、串联和反馈3种基本组合联结形式表示。下面讨论的由这3种基本组合联结形式构成的组合系统的状态空间模型和传递函数阵。第158页/共506页设1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第159页/共506页两个子系统可以实现并联联接的条件并联连接1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第160页/共506页对应于图示的并联联结的组合系统的两个子系统的传递函数阵为其对应的状态空间表达式分别为1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第161页/共506页从图可知u1=u2=u

y1+y2=y故可导出并联联结组合系统的状态空间模型为1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第162页/共506页因此,由上述状态空间表达式可知,并联组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。由组合系统的状态空间表达式可求得组合系统的传递函数阵为并联组合系统的传递函数阵为各并联子系统的传递函数阵之和1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第163页/共506页2.串联联结两个子系统可以实现串联联接的条件是：1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第164页/共506页从图可知

u1=u

u2=y1

y2=y因此可导出串联组合系统的状态空间方程为1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第165页/共506页相应的输出方程为1.6 从状态空间表达式求传递函数阵即有第166页/共506页由串联组合系统的状态空间模型可求得组合系统的传递函数阵为1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第167页/共506页1.6 从状态空间表达式求传递函数阵串联联结组合系统的传递函数阵为串联系统各子系统的传递函数阵的顺序乘积应当注意,由于矩阵不满足乘法交换律,故在上式中W1(s)和W2(s)的位置不能颠倒,它们的顺序与它们在系统中的串联联结顺序一致注：分块矩阵的性质：第168页/共506页3.反馈联结两个子系统实现输出反馈联接的条件是1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第169页/共506页对应于图示的反馈联结组合系统的两个子系统的传递函数阵为其对应的状态空间模型分别为1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第170页/共506页从图可知u1=u-y2

u2=y1=y因此可导出反馈组合系统的状态空间模型为1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第171页/共506页即有故反馈联结组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第172页/共506页便可得传递函数阵其中(sI-A)-1

可这样来计算1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第173页/共506页1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第174页/共506页1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第175页/共506页Y(s)=W1(s)U1(s)=W1(s)[U(s)-Y2(s)]

=W1(s)[U(s)-W2(s)Y(s)]故[I+W1(s))W2(s)]Y(s)=W1(s)U(s)或Y(s)=[I+W1(s)W2(s)]-1W1(s)U(s)因此,反馈联结组合系统的传递函数为W(s)=[I+W1(s)W2(s)]-1W1(s)还可作如下推导1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第176页/共506页U(s)=Y2(s)+U1(s)=W2(s)W1(s)U1(s)+U1(s)=[I+W2(s)W1(s)]U1(s)=[I+W2(s)W1(s)]Y(s)故Y(s)=G0(s)[I+F(s)G0(s)]-1U(s)因此,反馈联结组合系统的传递函数又可写为G(s)=G0(s)[I+F(s)G0(s)]-1还可作如下推导第177页/共506页1.6 从状态空间表达式求传递函数阵子系统并联两个子系统可以实现并联联接的条件第178页/共506页1.6 从状态空间表达式求传递函数阵并联后第179页/共506页子系统串联

两个子系统可以实现串联联接的条件是：串联后1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第180页/共506页子系统反馈联接设两个子系统实现输出反馈联接的条件是1.6 从状态空间表达式求传递函数阵第181页/共506页1.6 从状态空间表达式求传递函数阵反馈联接后第182页/共506页1.7 离散时间系统的状态空间表达式连续时间系统的状态空间表达法也可以推广到离散时间系统。在连续时间系统中，可以从微分方程或传递函数来建立状态空间表达式。而在离散系统中，可以从差分方程或脉冲传递函数来建立离散状态空间表达式。(采样时间Ts)设离系统的差分方程为：相应地脉冲传递函数为：第183页/共506页实现的任务就是确定一种状态空间表达式式可以用方块图来表示，图中z-1代表右移算子，类似于连续系统中的积分算子。++++u(k)dz-1cGhx(k+1)x(k)y(k)1.7 离散时间系统的状态空间表达式第184页/共506页1.7 离散时间系统的状态空间表达式系统的差分方程为：设：第185页/共506页系统的状态方程和输出方程1.7 离散时间系统的状态空间表达式第186页/共506页相应的状态方程和输出方程矩阵形式

1.7 离散时间系统的状态空间表达式第187页/共506页基于MATLAB的系统数学模型转换用MATLAB软件编程，可以方便地实现状态空间模型与传递函数矩阵之间的相互转换，特别是对MIMO系统，只要掌握编程方法，将给定的系统参数按一定格式写在程序中，运行程序，便可获得所要转换的模型参数。采用MATLAB软件进行系统的模型转换对于系统（特别是MIMO系统）的分析与设计提供了极大的方便。第188页/共506页基于MATLAB的系统数学模型转换设线性定常系统的模型如式将状态空间表达式输入MATLAB环境Sss=ss(A,B,C,D)第189页/共506页基于MATLAB的系统数学模型转换[例]多输出系统的状态空间模型A=[-2-1-3;100;010];%给A、B、C阵赋值B=[1;0;0];C=[231;1.611.2];D=[0;0];Sss=ss(A,B,C,D)第190页/共506页系统的传递函数阵mun表示传递函数矩阵的分子系数的系数矩阵den表示传递函数矩阵的分母系数矩阵其维数都是

mxp，系数按s降幂排列将传递函数矩阵输入MATLAB环境Stf=tf({mun},{den})基于MATLAB的系统数学模型转换第191页/共506页基于MATLAB的系统数学模型转换[例]某单入双出系统的传递函数矩阵[-5/(s-1)][(s^2-5s+6)/(s^2+s)]Stf=tf({-5;[1-56]},{[1-1];[110]})第192页/共506页基于MATLAB的系统数学模型转换模型转换转化为状态空间模型Sss=ss(Stf)转化为传递函数矩阵模型Stf=tf(Sss)第193页/共506页基于MATLAB的系统数学模型转换特征值与特征向量EigenvaluesandeigenvectorsE=eig(A)EisavectorcontainingtheeigenvaluesofasquarematrixA.[V,D]=eig(A)DisadiagonalmatrixofeigenvaluesVisafullmatrixwhosecolumnsarethecorrespondingeigenvectors约当标准型

JordanCanonicalForm[T,J]=jordan(A)J=T-1AT第194页/共506页现代控制理论

ModernControlTheory第2章控制系统状态空间表达式的解第195页/共506页引言数学的角度，运动分析的实质就是求解系统的状态方程。以解析形式或数值分析形式，建立系统状态随输入和初始状态的演化规律。已知系统模型系统的初始状态x(0)=x0系统的输入u(t)如何确定系统在任意时间t

时的状态x(t)、输出y(t)？第196页/共506页2.1线性定常齐次状态方程的解控制输入为零时，系统处于由初始状态引起的自由运动状态，所以齐次方程式的解也称自由解。令输入u(t)=0而得到系统齐次状态方程求状态x(t)第197页/共506页对标量一阶微分方程：初始时刻

t0=0,

则指数函数的展开式2.1线性定常齐次状态方程的解第198页/共506页对n维状态方程：结论：系统齐次状态方程有唯一解，并具有以下形式其中若初始时间取为t0≠0则2.1线性定常齐次状态方程的解第199页/共506页设其解是t的向量幂级数则式中b0，b1，…，bk，都是n维向量，证明：2.1线性定常齐次状态方程的解第200页/共506页由对应项系数相等关系有令t=0，得x(0)=b02.1线性定常齐次状态方程的解第201页/共506页故有：矩阵指数函数即：定义：2.1线性定常齐次状态方程的解第202页/共506页状态转移矩阵状态转移矩阵的基本性质几个特殊的矩阵指数函数状态转移矩阵的计算2.2矩阵指数函数-状态转移矩阵第203页/共506页2.2.1状态转移矩阵上式的物理意义是系统在t≥0或t≥t0

的任一瞬时的状态

x(t)，只是初始时刻状态向量

x0的一种变换关系。变换矩阵为eAt

或eA(t-t0)

。矩阵指数函数

eAt

或eA(t-t0)是一个nxn

的时间t

的矩阵函数。这意味着它使状态向量随着时间的推移在不断地作坐标变换，即不断在状态空间中作转移。因此矩阵指数函数

eAt

或eA(t-t0)

也称状态转移矩阵。通常表示为：第204页/共506页2.2.1状态转移矩阵F(t)表示为x(0)到x(t)的状态转移矩阵,

F(t-t0)表示为x(t0)到x(t)的状态转移矩阵因此齐次状态方程式的解也可表示为：或可以看出，系统作自由运动时，它的运动形态将是唯一地由状态转移矩阵所决定，它包含了系统自由运动的全部信息。它的几何意义，以二维状态向量为例，表示在下图第205页/共506页x1F(t2-t1)x21x10x20x2F(t1)x22x12t1x11x(t1)F(t2)x(0)x(t2)0t2组合性质2.2.1状态转移矩阵第206页/共506页2.2.2状态转移矩阵的基本性质1.性质一这是组合性质，意味着从-t转移到

0，再从0转移到t的组合，即2.性质二状态向量从

时刻

t又转移到时刻t，显然状态向量是不变的

第207页/共506页3.性质三这意味着转移矩阵总是非奇异的，必有逆。利用这个性质，可以在已知

x(t)的情况下，求出时刻t以前的x(t0),t0<t证明：由性质一现令

t=-t

，得同样令

t=-t

，得从而证明了F(t)与F(-t)互为逆2.2.2状态转移矩阵的基本性质第208页/共506页4.性质四对状态转移矩阵有证明：据定义由于此无穷级数对有限t值是绝对收敛的，所以可将上式两边对

t求导，有2.2.2状态转移矩阵的基本性质第209页/共506页5.性质五

设有nxn矩阵A和B，

当且仅当AB=BA

时，有eAteBt=e(A+B)t

，

而当AB≠BA

时，则eAteBt

≠e(A+B)t

。证明：根据定义式2.2.2状态转移矩阵的基本性质第210页/共506页将上述两式相减得：上式说明，当

A和B是可交换的，等式右边为零，有eAteBt=e(A+B)t

当

A和B是不可交换时，等式右边不为零，则

eAteBt

≠e(A+B)t

2.2.2状态转移矩阵的基本性质第211页/共506页2.2.3几个特殊的矩阵指数函数1.若A为对角矩阵。即则第212页/共506页证明：根据定义2.2.3几个特殊的矩阵指数函数第213页/共506页2.若A能通过非奇异变换予以对角线化，即证明：根据定义式则2.2.3几个特殊的矩阵指数函数第214页/共506页因为A能通过非奇异变换予以对角线化，即同理有对于一般项有2.2.3几个特殊的矩阵指数函数第215页/共506页于是得所以2.2.3几个特殊的矩阵指数函数第216页/共506页3.若A(块)为Jordan标准型矩阵2.2.3几个特殊的矩阵指数函数第217页/共506页4.若A(块)为如下形式2.2.3几个特殊的矩阵指数函数第218页/共506页2.2.4状态转移矩阵的计算1.根据矩阵指数的定义例2.1已知求eAt解：将A直接代入定义式第219页/共506页2.2.4状态转移矩阵的计算2.变换A为对角标准型或Jordan标准型⑴A特征值互异

当A有两两相异特征值时，必能找到非奇异矩阵T，使下式成立，即例2.2已知求eAt解：特征值第220页/共506页2.2.4状态转移矩阵的计算特征向量状态变换状态转移矩阵第221页/共506页2.2.4状态转移矩阵的计算⑵

A的特征值有重根例2.3已知求eAt解：先求A的特征值第222页/共506页2.2.4状态转移矩阵的计算第223页/共506页2.2.4状态转移矩阵的计算3.利用拉普拉斯反变换法求eAt式两边取Laplace变换。可得将上式两边左乘(sI-A)-1，从而有将上式作反变换得齐次方程的解，即(sI-A)-1也称预解矩阵第224页/共506页2.2.4状态转移矩阵的计算例2.4已知求eAt解：第225页/共506页2.2.4状态转移矩阵的计算第226页/共506页2.2.4状态转移矩阵的计算4.应用Cayley-Hamilton定理求eAt(1)Cayley-Hamilton定理

设nxn矩阵A的特征多项式方程为:则A

必满足其自身的特征方程，即根据Cayley-Hamilton定理即，An是An-1，An-2，……，A2，A，I的线性组合。第227页/共506页2.2.4状态转移矩阵的计算同理类此，An+1，An+2，……都可用An-1，An-2，……，A2，A，I线性表示。(2)在eAt中消去A的n及n以上幂次项第228页/共506页2.2.4状态转移矩阵的计算例2.5已知求eAt表示式中的ai(t)解：根据Cayley-Hamilton定理因此第229页/共506页2.2.4状态转移矩阵的计算第230页/共506页2.2.4状态转移矩阵的计算ai(t)的计算公式矩阵A的特征值是两两相异的第231页/共506页2.2.4状态转移矩阵的计算矩阵A有n重特征值l1第232页/共506页2.2.4状态转移矩阵的计算设A的特征值中，l1为三重根，l4为二重根，其余l6~ln为单根，则其解的表达形式为第233页/共506页2.2.4状态转移矩阵的计算例2.6已知求eAt解：第234页/共506页2.2.4状态转移矩阵的计算例2.7已知求eAt解：第235页/共506页2.2.4状态转移矩阵的计算第236页/共506页2.3线性定常系统非齐次方程的解讨论线性定常系统在控制u(t)作用下的强制运动。此时状态方程为一般的非齐次方程系统状态方程的解，具有以下形式对初始时刻t0=0情形有第237页/共506页2.3线性定常系统非齐次方程的解证明：两边同左乘乘eAt，得：两边同左乘

e-At得即对上式在[t0,t]之间积分，有第238页/共506页2.3线性定常系统非齐次方程的解可写成如下形式对初始时刻t0=0情形有表达式第239页/共506页2.3线性定常系统非齐次方程的解例2.8求状态方程在u(t)=1(t),初状态为

x1(0),x2(0)时的解。解：在上面例题中，我们已经求出第240页/共506页2.3线性定常系统非齐次方程的解第241页/共506页2.3线性定常系统非齐次方程的解第242页/共506页2.3线性定常系统非齐次方程的解在特殊的控制作用下，系统解可简化(1)u(t)为脉冲函数时，即u(t)=Kd(t),x(0-)=x0时，(2)u(t)为阶跃函数时，即u(t)=K1(t),x(0-)=x0时，(3)u(t)为斜坡函数时，即u(t)=Kt1(t),x(0-)=x0时，第243页/共506页2.4连续时间系统的离散化无论是采用数字计算机分析连续时间系统运动行为，还是采用离散控制装置控制连续时间受控系统，都会遇到将连续时间系统化为离散时间系统的问题。离散化方法近似离散化第244页/共506页2.4.1离散化方法基本约定：

1）对采样方式的约定采样方式取为以常数T为周期的等间隔采样，采样时间宽度D比采样周期T小得多。2）对采样周期T大小的约定满足Shamnon采样定理给出的条件3）对保持方式的约定零阶保持方式第245页/共506页基本结论：

给定连续时间线性时变系统则其在基本约定下的时间离散化描述为其中2.4.1离散化方法第246页/共506页证明：令t=(k+1)T,t0=kT,同时考虑到零阶保持器的假设，在时间区间[kT,(k+1)T)上u(t)=u(kT)化为2.4.1离散化方法第247页/共506页上式中，令

t=(k+1)T-t

则dt=-dt

积分下限t=kT时，相当于t=T，积分上限t=(k+1)T相当于t=0因为输出方程是状态向量和控制向量的某种线性组合，离散化后，这种组合关系不变，故C、D是不变的。2.4.1离散化方法第248页/共506页2.4.1离散化方法在采样周期T较小，一般当其为系统最小时间常数的十分之一左右时，时不变系统离散化状态方程可近似表达为：第249页/共506页2502.4.1离散化方法证明：根据导数的定义现

t0=kT到t=(k+1)T

这一段的导数，有以此代入原方程第250页/共506页2.4.1离散化方法例2.13

求如下连续系统的离散状态空间表达式。解：求系统的状态转移矩阵第251页/共506页2.4.2近似离散化第252页/共506页2.4.2近似离散化从而可求得离散化状态方程为：假如采样周期T为1秒，则上述状态方程为：假如采样周期T为0.05秒，则上述状态方程为：第253页/共506页2.4.2近似离散化近似离散化的方法第254页/共506页2.4.2近似离散化第255页/共506页2.5离散时间系统状态方程的解离散状态方程系统状态方程的求解，主要有两类方法:矩阵差分方程的迭代法变换法第256页/共506页2.5.1递推法(迭代法)求解根据x(0)和u(k),应用迭代递推可知第257页/共506页整理可得或还可表示成向量矩阵形式2.5.1递推法(迭代法)求解第258页/共506页若初始时刻从

k=h开始，且相应的初始状态为x(h)

，则其解为：离散系统的解和连续系统的解是很类似的，也由两部分组成。第一部分是由初始状态转移而来，第二部分是由控制作用所激励的状态转移产生的。2.5.1递推法(迭代法)求解第259页/共506页定义：或称为离散时间系统的状态转移矩阵，很明显它满足：离散系统状态转移矩阵具有如下性质：(1)(2)(3)若则2.5.1递推法(迭代法)求解第260页/共506页离散时间状态方程的解可写成初始时刻为k=0初始时刻为k=h2.5.1递推法(迭代法)求解第261页/共506页2622.5.2Z变换法离散状态方程也可以用Z变换法求解对离散状态方程取Z变换，得第262页/共506页和Z反变换有与递推迭代得到的结果比较应该有2.5.2Z变换法第263页/共506页上两式可用如下证明

先求Gk的Z变换两边同左乘Gz-1二式相减有对Z[Gk]求解，有2.5.2Z变换法第264页/共506页两边取Z反变换，故得式再利用卷积求和公式两边取Z反变换得2.5.2Z变换法第265页/共506页现代控制理论

ModernControlTheory第3章线性控制系统的能控性和能观性PartI(3.1~3.7)第266页/共506页在现代控制理论中，能控性和能观测性是两个重要的概念最优控制和最优估计的理论基础状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系状态方程反映控制输入对状态的影响输出方程反映系统输出对状态的依赖第267页/共506页能控性是控制作用u(t)支配系统的状态向量x(t)的能力；回答u(t)能否使x(t)作任意转移的问题能观性是系统的输出y(t)反映系统状态向量x(t)的能力，反映从外部对系统内部的观测能力。回答能否通过y(t)的量测确定状态x(t)的问题第268页/共506页3.1能控性的定义

能控制的问题涉及到一个线性系统的输入对状态影响的程度例

已知如下系统将此状态方程展开得第269页/共506页既然能控性反映的是输入u对状态x的控制程度，这就首先要求输入与状态发生联系。上述系统中状态变量x2与u有联系，有可能用u去控制x2；而状态变量x1与控制量u既没有直接连系又没有间接连系，故不可能用u去控制x1，就是说状态变量x1是不可控的。3.1能控性的定义第270页/共506页1.线性连续定常系统的能控性定义

设线性系统的状态方程如下：如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限的时间区间[t0,tf]内，使系统由某一初始状态x(t0)，转移到指定的任一终端状态x(tf)，则称此状态x(t0)是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是完全能控的，简称为系统能控的。有时也称矩阵对(A,B)是能控的。3.1能控性的定义第271页/共506页几点说明(1)线性定常系统中，为简便，可以假定初始时刻t0=0，初始状态为x(0)，而任一终端状态就指定为零状态，即x(tf)=0(2)也可假定x(t0)=0，而x(tf)为任意指定的终端状态，若存在一个无约束的控制向量u(t)，在有限时间[t0,tf]内，能将x(t)由零状态驱动到任意x(tf)，称为状态的能达性，线性定常系统的能控性与能达性一致。(3)控制作用从理论上是无约束的，其取值并非唯一的，因为只关心初始状态和终端状态，而不计较状态轨迹。3.1能控