2021-2022学年湖南省郴州市桂东县第一中学高三数学理模拟试卷含解析

2021-2022学年湖南省郴州市桂东县第一中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某学校高三年级共有学生200人，其中男生120人，女生80人．为了调查学生的学习状况，用分层抽样的方法从该校高三全体学生中抽取一个容量为25的样本，则应抽取女生的人数为（

）

(A)20．

(B)18．

(C)15．

(D)10．参考答案：D2.已知点，，若直线：与线段AB没有交点，则的取值范围是（）A.

B.

C.或

D.参考答案：C3.已知满足不等式，则函数取得最小值是（A）6（B）9（C）14（D）15参考答案：A4.若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题正确的是（▲）A.?????B.C.

D.参考答案：D5.一个三棱锥的侧棱长都相等，底面是正三角形，其正（主）视图如右图所示.该三棱锥侧面积和体积分别是（

）A.

B.C.

D.参考答案：A.试题分析：如图，由题意得三棱锥中，，高，是边长为2的等边三角形，所以，所以该三棱锥的体积.又因为⊥平面，所以点是的重心，所以，⊥，，所以，所以该三棱锥侧面积.故应选A.考点：棱柱、棱锥、棱台的体积.6.不等式成立的一个充分不必要条件是…………（）A．或 B．或C． D．参考答案：D略7.如果函数f(x)＝sin(x＋θ)(0<θ<π)是最小正周期为T的偶函数，那么(

)参考答案：B略8.若集合，，则A.

B.

C.

D.参考答案：9.复数z=在复平面上对应的点位于

（

）(A)第一象限

（B）第二象限

（C）第三象限

（D）第四象限参考答案：A10.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A． B． C．2 D．2参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，联立方程组求得三角形三个顶点的坐标，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，不等式组表示的平面区域是一个三角形内部（包括边界）．其中三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（1，），O（0，0），∴．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线的离心率为，则实数m的值为

▲

．参考答案：4略12.某个部件由两个电子元件按图（2）方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个

元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为

．参考答案：略13.将一个总体分为A、B、C三层，其个体数之比为5：3：2，若用分层抽样的方法抽取容量为180的样本，则应从C中抽取样本的个数为

个。参考答案：略14.体积为18的正三棱锥A﹣BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内部，且R：BC=2：3，点E为线段BD上一点，且DE=2EB，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是

．参考答案：[8π，16π]【分析】利用体积公式，求出DB，R，进而求出OE，即可得出结论．【解答】解：设BC=3a，R=2a，则O到平面DCB的距离为OO′=a，三棱锥的高为3a，∴=18，∴a=2，∴DB=6，R=4．由余弦定理可得O′E==2，∴OE=2，与OE垂直的截面圆的半径为=2，面积为π?8=8π，以OE所在直径为圆的直径的圆面积为π?16=16π，故答案为：[8π，16π]．【点评】本题考查三棱锥体积的计算，考查圆的面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15.某社区有600个家庭，其中高收入家庭有150户，中等收入家庭有360户，低收入家庭有90户.为调查购买力的某项指标，用分层抽样从该社区中抽取一个容量为100的样本，则应从中等收入家庭中抽取的户数为

.

参考答案：6016.过点（1，）的直线l将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=

。参考答案：17.设变量x，y满足约束条件：，则的最小值为

．参考答案：-10

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（04年全国卷IV文）（12分）已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.参考答案：解析：（1）y′=2x+1.直线l1的方程为y=3x－3.设直线l2过曲线y=x2+x－2上的点B（b,b2+b－2）,则l2的方程为y=(2b+1)x－b2－2因为l1⊥l2，则有2b+1=所以直线l2的方程为（II）解方程组

得所以直线l1和l2的交点的坐标为l1、l2与x轴交点的坐标分别为（1，0）、.所以所求三角形的面积19.（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明：＞．参考答案：综上，当时，．…………14分

20.（本小题满分14分）已知函数，其中a为大于零的常数（1）若函数在区间内单调递增，求a的取值范围；（2）求函数在区间上的最小值；（3）求证：对于任意的＞1时，都有＞成立。参考答案：21.设M是焦距为2的椭圆E：+=1（a＞b＞0）上一点，A、B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．（1）求椭圆E的方程；（2）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）上点N（x0，y0）处切线方程为+=1，若P是直线x=2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C、D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理，注意整体代入，解方程即可求得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设点P（2，t），切点C（x1，y1），D（x2，y2），运用椭圆上一点的切线方程，再代入P点，可得直线CD的方程，再令y=0，即可得到定点．【解答】（1）解：设A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），则+=1，即n2=b2?，由k1k2=﹣，即?=﹣，即有=﹣，即为a2=2b2，又c2=a2﹣b2=1，解得a2=2，b2=1．即有椭圆E的方程为+y2=1；（2）证明：设点P（2，t），切点C（x1，y1），D（x2，y2），则两切线方程PC，PD分别为：+y1y=1，+y2y=1，由于P点在切线PC，PD上，故P（2，t）满足+y1y=1，+y2y=1，得：x1+y1t=1，x2+y2t=1，故C（x1，y1），D（x2，y2）均满足方程x+ty=1，即x+ty=1为CD的直线方程．令y=0，则x=1，故CD过定点（1，0）．【点评】本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，导数的几何意义等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．22.在等比数列{an}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）设bn=log3an，求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的an代入bn=log3an，得到数列{bn}的通项公式，由此得到数列{bn}是以0为首项，以1为公差的等差数列