2023年省际名校高考数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，，，"是两条不同的直线，mJ■平面a,贝！是的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.函数〃一一的图象可能是下面的图象（）

（x-2）

3.设全集U=凡集合/={x|x<l},N={x|x>2},贝！|@，M)cN=()

A.{x|x>2}B.{x|x>1}C.{x[l<x<2}D.{x|x>2)

4.已知复数z满足i-z=3+2i(i是虚数单位)，则三=()

A.2+3iB.2—3zC.—2+3iD.-2-3/

5.a为正实数，i为虚数单位，—=2,则a=()

I

A.2B.73C.y/2D.1

6.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球表面积为（）

▽

伊女拓

A.124B.16万

C.24万

22

7.已知双曲线C:0-马=l（a>0力>0）的一个焦点为产，点A3是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB

abz

为直径的圆过尸且交。的左支于M,N两点，若|MN|=2,AABb的面积为8,则C的渐近线方程为（）

A.y=±>]3xB.y=±——x

.3

C.y=±2xD.y=±-x

2

CCSX

8.函数/（力二古海的部分图像大致为（

9.已知函数/（x）=lnx—@+a在xe[l,e]上有两个零点，则〃的取值范围是（）

10.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a上，且AB//CD,若正方体的六个面所在的平面与直线

A.m=nB.加=〃+2C.m<nD.m+n<S

11.设等差数列｛%｝的前〃项和为S.，若&=5,Sg=81,则()

A.23B.25C.28D.29

12.已知A，B是函数'一图像上不同的两点，若曲线y=/(x)在点A，8处的切线重合，则

xlnx-a,x>0

实数。的最小值是()

1I

A.-1B.——C.-D.1

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.数列｛4｝的前〃项和为S.,q=2,S“=(1—!卜的也=log24,则数列1的前〃项和(,=.

92

14.已知尸(1,1)为椭圆?+与=1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为

15.双曲线J/一/=1的焦点坐标是,渐近线方程是.

16.已知二项式，x.(J的展开式中的常数项为-160,贝加=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=aln(l+x),g(x)=；x3一3〃(力=，-1.

(1)当年0时，f(x)<h(x)恒成立，求。的取值范围；

(2)当xVO时，研究函数户(x)=h(x)-g(x)的零点个数；

(3)求证：U也<赈<2222(参考数据：In1.1=0.0953).

10002699

18.(12分)已知函数/*)=二_^——(a>0).

x~-ax+\

(1)当a=0时，试求曲线y=/(x)在点(0,f(0))处的切线；

(2)试讨论函数/(x)的单调区间.

19.(12分)如图，在三棱锥。一ABC中，AB1PC,M是AB的中点，点。在上，〃平面PAC,平面_L

平面PMC,ACPM为锐角三角形，求证：

(1)。是的中点；

(2)平面ABC_L平面PMC.

20.(12分)已知数列｛4｝的前〃项和为S,,且〃、凡、S,,成等差数列，^,=21og2(l+a„)-l.

(1)证明数列｛凡+1｝是等比数列，并求数列｛4｝的通项公式；

(2)若数列也.｝中去掉数列)«„｝的项后余下的项按原顺序组成数列｛cj,求q+C2+…+《00的值.

7T1

21.(12分)如图，在正四棱锥产一458中，AB=2,ZAPC=~,"为08上的四等分点，即-8P.

34

(1)证明：平面AMCJ■平面P8C；

(2)求平面PDC与平面4WC所成锐二面角的余弦值.

22.(10分)已知ae(0,外,加仔兀)，cos〃=-；,sin(a+〃)=/.

(1)求sine的值；

(2)求tan[a+§)的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.

【详解】

当J_平面a时，若/〃a”则“/L〃”成立，即充分性成立，

若/_1_机，贝!J/〃a或/ua,即必要性不成立，

则“/〃a”是"JL/n”充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题

2.C

【解析】

ln(x2-4x+4)inG-,、

因为心)=1-----------L)勺,所以函数/(x)的图象关于点(2,0)对称，排除A,B.当x<0时，

G-(x-2>

lnG-2)2>0,G-2)3<0,所以本)<0,排除D.选C.

3.A

【解析】

先求出为“，再与集合N求交集.

【详解】

由已知，={x|x>l},又已="|%>2},所以电McN={x|x>2}.

故选:A.

【点睛】

本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.

4.A

【解析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【详解】

初z。〜尔3+2/(3+2/)(-«)-〜

解：由/•z=3+2c,得2=------=--------；----=2—3/,

i-i"

•二1=2+33

故选A.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

5.B

【解析】

,Ja+，|=2/.\Ja~+1=2:.a=±Ga>O,.'.a=6,选B.

i

6.A

【解析】

由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代

入求得表面积公式计算.

【详解】

由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2,

底面为等腰直角三角形，斜边长为2加，如图：

.•.AABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点。，OD1AC,且。Du平面S4C,

•.♦S4=AC=2,

.•・SC的中点。为外接球的球心，

半径R=6，

夕卜接球表面积S=4;rx3=121.

故选：A

【点睛】

本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据

求得外接球的半径是解答本题的关键.

7.B

【解析】

由双曲线的对称性可得50期=5刖疗即8。=8,又|仞7|=且=2,从而可得C的渐近线方程.

【详解】

设双曲线的另一个焦点为E',由双曲线的对称性，四边形AEB/'是矩形，所以5l所=5m".，即。C=8,由

222

d+旷二厂22

</,得：丁=±生，所以|MN|=4-=2,所以。2=°,所以人=2,c=4,所以。=26，C的渐近

丁L°c

线方程为y=±@x.

3

故选B

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与计算能力，属于中档题.

8.A

【解析】

根据函数解析式，可知“X)的定义域为XWR,通过定义法判断函数的奇偶性，得出〃T)=/(x),则/(X)为偶

函数，可排除C,。选项，观察45选项的图象，可知代入x=o,解得/(0)>0,排除3选项，即可得出答案.

【详解】

解：因为/(力=寻7，

所以“X)的定义域为xeR,

贝k(r)=亍七"药二=A')，

乙I乙乙I乙

•••/(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除c,。选项，

且当x=0时，/(0)=1>0,排除8选项，所以A正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查由函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.

9.C

【解析】

对函数求导，对a分类讨论，分别求得函数/(x)的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.

【详解】

•.•八尤)='+==W，xe［l,e］.

XXX

当。之一1时,/'(X)"),/(X)在［1,4上单调递增，不合题意.

当a«—e时,f\x)<0,/(x)在［1,e］上单调递减，也不合题意.

当一e<a<—l时，则xe［l,-a)时，/,(x)<0,/(x)在［1,一。)上单调递减，xe(-a,e］时，/(x)在

(―a,e］上单调递增，又/⑴=0,所以“X)在x«l,e］上有两个零点，只需/(e)=l-?+aNO即可，解得

1-e

e

综上'"的取值范围是—,-1

故选C.

【点睛】

本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题.

10.A

【解析】

根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得相，〃的值，即可比较各选项.

【详解】

如下图所示，CEu平面A6P。，从而CE//平面

易知CE与正方体的其余四个面所在平面均相交,

m=4,

・；EF//平面BP：Bi，痔//平面AQ24,且族与正方体的其余四个面所在平面均相交，

••〃=4,

・,・结合四个选项可知，只有加二〃正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题.

11.D

【解析】

由S,=81可求处=9,再求公差，再求解即可.

【详解】

解：•.•{4}是等差数列

Sq=9%=81

;.%=9,又：/=5,

公差为d=4,

alQ=%+6d=29,

故选：D

【点睛】

考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.

12.B

【解析】

先根据导数的几何意义写出/（x）在A,B两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树,

从而得出a=；（x；—e2』），结合导数求出最小值，即可选出正确答案.

【详解】

解：当xWO时，f（x）=x2+x+a,则/'（x）=2x+l；当x〉0时，f（x）=x\nx-a

则T（x）=lnx+1.设4（%,/国））,3（孙/（々））为函数图像上的两点，

当王＜龙2＜0或0＜玉＜々时，尸（石）。/'（尤2），不符合题意，故玉＜0〈尤2.

则/（X）在A处的切线方程为y-（x；+X1+a）=（2xl+l）（x-x1）；

/（x）在3处的切线方程为y-工21nx2+。=（In9+1）（A：-X2）.由两切线重合可知

Inx+1=2%j+1222x

2，整理得a=1(%,-e2M)(%,<0).不妨设g(x)=i(x-e)(x<0)

2

-X2-Q="玉

则g'(x)=x-e2',g"(x)=l-2e2*,由g"(x)=。可得x=glng

则当x=：ln：时，g'(x)的最大值为g'(不也不］=不历孑一不<0.

乙乙\乙乙J乙乙乙

贝!)8(*)=3(/—02，)在(-<»,0］上单调递减，则“2g(0)=一；.

故选:B.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的

难点是求出。和x的函数关系式.本题的易错点是计算.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

解：S“=1—£卜M，〃N2时，S,i=(l-奈,，两式作差，得竽=2,(〃22)，经过检验得出数列｛4｝的通

项公式，进而求得a,c”的通项公式，裂项相消求和即可.

【详解】

解：.•4=(1-?>“+|,〃22时，5"_|=11-击卜.，

两式作差,得。“=(1一!卜"+1-11一，?>“，("22)

化简得“a=2,(〃之2),

检验：当n=l时，£=4=5x4=2,4=4,^=2，所以数列｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数列；。“=2",

b„=log2a„=log22"=n,

_]_]__1_

令+n〃+l'

1111111n

22334n〃+1n+\n+\

n

故填:

n+\

【点睛】

本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前n项和，解题过程中需要注意n的范围以及对特殊项的讨论，侧重

考查运算能力.

14.x+2y-3=0

【解析】

设弦所在的直线与椭圆相交于4（石,%）、两点，利用点差法可求得直线AB的斜率，进而可求得直线的点

斜式方程，化为一般式即可.

【详解】

设弦所在的直线与椭圆相交于A（%，x）、8（马，%）两点,

X+赴「j

2一出玉+々=2

由于点P为弦的中点，贝!J,得〈

x+%=iJi+%=2'

2

22

玉;乂一1

42

由题意得《:,两式相减得0,

42

五+五=1

42

所以‘直线钻的斜率为之2（内+9）2x2

4（y+%）4^22

所以，弦所在的直线方程为y—1=即x+2y—3=0.

故答案为：x+2y-3=0.

【点睛】

本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程，一般利用点差法，也可以利用韦达定理设而不求法来解答，考查计算能

力，属于中等题.

15.（0,±V2）y=±x

【解析】

b

通过双曲线的标准方程，求解C,即可得到所求的结果.

a

【详解】

由双曲线可得〃=］,b=l,贝隈=&，

所以双曲线的焦点坐标是(0,土行)，

渐近线方程为：y=±x.

故答案为：(o,±V2)；y=±x.

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，考查了运算能力，属于容易题.

16.2

【解析】

在二项展开式的通项公式中，令.、的暮指数等于0,求出厂的值，即可求得常数项，再根据常数项等于-16。求得实数”的

值.

【详解】

:・二项式伽c.的展开式中的通项公式为7.*/=4’一巴

X

令6-2r=0,求得，，=3,可得常数项为160,■,-a=2,

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)(—8/］；(2)见解析；(3)见解析

【解析】

(1)令H(x)=h(x)-f(x)=ex-1-aln(x+1)(x>0),求得导数，讨论a>l和aWL判断导数的符号，由恒成

立思想可得a的范围；(2)求得F(x)=h(x)-g(x)的导数和二阶导数，判断F(x)的单调性，讨论吐-1,a

>-1,F(x)的单调性和零点个数；(3)由(1)知，当a=l时，ex>l+ln(x+1)对x>0恒成立，令》=志；由(2)

知，当a=-l时，e'>；r+x+i对xvo恒成立，令》=-'，结合条件，即可得证.

【详解】

(I)解：令H(x)=h(x)-f(x)=ex-1-aln(x+1)(x>0),

则H'(x)=ex―77(x^0).

x+1

①若aS,则号-H'(x)>0,H(x)在［0,+oo)递增，

x+1

H(x)>H(0)=0,即f(x)<h(x)在[0,+oo)恒成立，满足，所以agl；

②若a>LHr(x)=ex-^-^[0,+oo)递增，H*(x)>H'(0)=1-a,且1-a<0,

且x—>+8时，H1(x)—>+co,贝归xo£(0,+co),

使(xo)=0进而H(x)在[0,xo)递减，在(xo,+o))递增，

所以当x£(0,xo)时H(x)<H(0)=0,

即当x£(0,xo)时，f(x)>h(x),不满足题意，舍去；

综合①，②知a的取值范围为(-8,1].

(II)解：依题意得F(x)=h(xAg(x)二一-14/+k&<0),贝!JF(x)=ex-x2+a,

贝(JF"(x)=e、-2x>0在(-oo,0)上恒成立，故F(x)=e、-x2+a在(-8,0)递增,

所以P(x)<F*(0)=l+a,且x--8时，F*(x)—>-oo；

①若1+aWO,BPa<-1,则F(x)<F*(0)=l+a<0,

故F(x)在(-8,0)递减，所以F(x)>F(0)=0,F(x)在(-oo,0)无零点；

②若l+a>0,即a>-L则mxjE(《。，0)使F'(xj)=0，

进而F(x)在(Q,xj)递减，在(x0‘，0)递增，F(x。')<F(0)=0，

x2

且XT-8时'p(x)=(e-l)(x-3a)^+0°>

o

F(x)在(YO,X。')上有一个零点，在卜0‘，0)无零点，

故F(x)在(-8,0)有一个零点.

综合①②，当aS-1时无零点；当a>-l时有一个零点.

(III)证明：由(I)知，当a=l时，ex>l+In(x+1)对x>0恒成立，

1

令占'则2＞1+】皿1,。953瑞即盟＞1095

1000

由（H）知，当a=T时,巳入」+x+l对xV0恒成立,

令V，则3号点3如需,所以％＜微

故有黯（听＜瑞・

【点睛】

本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点存在定理的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能

力，属于难题.对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；

在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意让含有自变量的函数式子尽量简单一些.

18.(1)y=x+i；(2)见解析

【解析】

(D对函数进行求导，可以求出曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线，利用直线的斜截式方程可以求出曲线的切线

方程;

(2)对函数进行求导，对实数”进行分类讨论，可以求出函数Ax)的单调区间.

【详解】

(D当a=0时，函数定义域为R,二

(厂+1)

所以切线方程为y=x+i；

c，_ox+1_2X+Q)e，―(Q+2)X+1+Q)_D(x_(Q+1))

—OX+iyfx2-ax+\y(%2_QX+1)2

当。=0时，函数定义域为R,/(♦=/,,\22°，,/(,在/上单调递增

(x+1)

当ae(0,2)时，•.•△=02一4<0,“2-6+1>0恒成立，函数定义域为R,又。+1>1,「./(幻在(7,1)单调递增,

(1,1+a)单调递减，(1+a,+8)单调递增

当a=2时，函数定义域为(-8,1)。(1,+8),f(x)="(X13)/Q)在(F,1)单调递增,(1,3)单调递减，(3,+8)

(1)

单调递增

当ae(2,+o。)时，...A=a2-4>0设/-分+1=0的两个根为%，%且不<马，由韦达定理易知两根均为正根，且

0<%,<1<x2,所以函数的定义域为(ro,xJU(W，+°°)，又对称轴％=£<"+1，且

(a+1)--a(a+1)+1=a+2>();./<a+1,

・•・/(X)在(一8,%),(4/)单调递增，(1,占),(%2，。+1)单调递减，(1+。，+°。)单调递增

【点睛】

本题考查了曲线切线方程的求法，考查了利用函数的导数讨论函数的单调性问题，考查了分类思想.

19.(1)证明见解析；(2)证明见解析；

【解析】

(1)推导出由用是AB的中点，能证明。是8P有中点.

(2)作CNLPM于前N,推导出CN，平面QA6,从而CN_LAB,由A3LPC,能证明A3,平面PMC,由

此能证明平面ABC±平面PMC.

【详解】

证明：(1)在三棱锥P—ABC中，

•.•何£)〃平面PAC,平面/VLBc平面R4C=PA,

MDu平面B钻，

MD//PA,

在AR43中，是AB的中点，二。是8P有中点.

(2)在三棱锥P—ABC中，•.•△CPM是锐角三角形，

，在ACPM中，可作CV_LPM于点N,

平面PAB_L平面PMC,平面A48c平面PMC=PM,

CNu平面PMC,CN_L平面Q46,

•••ABu平面RW,av_LAfi,

ABrPC,CNQPC=C,

AB_L平面PMC,

•jABu平面CAB,二平面ABC_L平面PMC.

【点睛】

本题考查线段中点的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算

求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.

20.(1)证明见解析，。，=2"-1；(2)11202.

【解析】

⑴由〃，an,S“成等差数列，可得S“+〃=2a“，S,,”+(a-1)=2%_|,两式相减，由等比数列的定义可得｛4+1｝

是等比数列，可求数列｛q｝的通项公式；

(2)由(1)中的可求出"，根据/和勿求出数列｛4｝,也,｝中的公共项，分组求和，结合等比数列和等差数

列的求和公式，可得答案.

【详解】

(1)证明：因为"，an,S“成等差数列，所以S“+〃=24,①

所以S“_1+(〃一1)=2a“_|(n>2).®

①一②，得+1=2。“一2a,I，所以%+1=2(4T+1)(“22).

又当”=1时，S[+l=2q,所以4=1,所以q+1=2,

故数列｛4+1｝是首项为2,公比为2的等比数列，

所以％+1=2-2"T=2",即。“=2"-1.

(2)根据(1)求解知，4=21og2(l+2"—l)—l=2〃—l,々=1,所以%「2=2,

所以数列｛4｝是以1为首项，2为公差的等差数列.

又因为4=1,4=3,%=7,%=15,%=31,4=63,a7=127,/=255,

3=127,%)6=211,伪07=213,

所以G+c2H---1■G0c=(b[+b2-\---HZ7I07)—(a]+<?2H---1■%)

107x(1+213)一[(2"+…+2，).7卜吟型一臀+7

2

=1072-28+9=11202.

【点睛】

本题考查等比数列的定义，考查分组求和，属于中档题.

21.(1)答案见解析.(2)叵

7

【解析】

(1)根据题意可得P8=PO=PA=PC=20，在△QW中，利用余弦定理可得然后同理可得

CM±PB,利用面面垂直的判定定理即可求解.

UUU

(2)以。为原点建立直角坐标系，求出面PDC的法向量为勺，AMC的法向量为〃j利用空间向量的数量积即可

求解.

【详解】

⑴由AB=2=AC=20

由ZAPC=qnP4=PC=4C=2V^

因为是正四棱锥，故PB=PD=PA=PC=2五

于是BM=叵,PM=-y/2

22

由余弦定理，在△PAB中，设NAP3=6

PA2+PB2-AB23

cos。=

2PAPB4

再用余弦定理，在中，

7

AM2=