复变函数期末考试试卷及答案

复变函数期末考试试卷及答案

2008年《复变函数与积分变换》试卷

一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。)

(1)(Di的主值是

lo(2)已知f(z)my3nx2yi(x3lxy2)为解析函数，则mn,

coszn(3)如果f(z)的Taylor级数为cn(z3),则该级数的收敛半径为

(zi)(z2)n0

o

(4)设f(z)ze,则Resf(z),0

(5)设fl(t)13z0,t0,0,t0,f2(t)则fl(t)f2(t)

2,t0,sint,t0,

二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。)

(1)若ele2,则()

(A)zlz2o(B)zlz22k(k为任意整数)。

(C)zlz2ik。(D)zlz2i2k(k为任意整数)。

(2)设曲线C为单位圆z1,取正向，则积分zzcoszCz22dz()

(A)0.(B)i。(C)i,(D)2i。

(3)如果级数c(z3)n

n0n在点z1处收敛，则该级数必在()

(A)点z4处绝对收敛。(B)点z4处条件收敛。

(C)点z5处收敛。(D)点z6处发散。

122将z平面上的曲线(x1)y1映射成w平面上的曲线()z

112222(A)u。(B)v。(C)uv1。(D)(u1)v1»22

sinz(5)z0是函数f(z)2的()z(4)w

(A)本性奇点。(B)可去奇点。(C)一级极点。(D)二级极点

三、(10分)已知调和函数vy(x0),求调和函数u,使f(z)uiv成为解析

x2y2函数，并满足f(2)0o

四、(25分)计算下列积分：

(1)Cz,其中C是从z0到z1i的直线段；

(2)122dz,C:xy2(xy),正向C(zl)2(z21)

eiz3dz,C:z2i,正向(3)2Cz12

x2

(4)dx；(x21)(x24)

(5)2

0cos2。54cos

五、(15分)将函数f(z)1分别在下列圆环域内展开成Laurent级数。z(lz)2

(1)0z1；(2)0z1；(3)1zo

六、(5分)已知函数f(t)0,t0,jwOt0(),求g(t)etf(t)的Fourier

变换。te,t0

ty4y3ye,y0,y1.t0t0七、(10分)应用Laplace

变换解微分方程：

八、(5分)如果u(x,y)iv(x,y)是区域D内的解析函数，那么v(x,y)iu(x,y)在D

内

是否一定也是解析函数？为什么？

2008年《复变函数与积分变换》试题解答一、(1)e；(2)1,-3,-3；(3)

1；(4)1；(5)2(1cost)24

二、(1)D；(2)A；(3)A；(4)A；(5)C三、由vy知x2y2

v2xyvx2y2

2,x(xy2)2y(x2y2)2

由CR方程知uv2xy,所以2yx(xy2)2

u2xyxdy(x),22222(xy)xy

uy2x2

2(x).22x(xy)

又uvxCo因此，故有(x)0,(x)C,所以u22xyxy

f(z)uivxylCiC.x2y2x2y2z

由f⑵0可得C111,所以f(z).2z2

四、(1)在曲线C上，zxiyxix(1i)x,dz(1i)dx.

1Czdz02x(1i)dx2(1i).2

(2)z1是f(z)

极点.1在C内的二级极点，zi是f(z)在C内的一级22(zD(z1)

dll(2)zIdzz12

ziResf(z),1limResf(z),ilimll.(zl)2(zi)4

原式=2i(11)i.242eiz

(3)原式二Ceizzi)dz2izizizi

z2

(4)R(z)2.zi,2i分别是R(z)在上半平面内的两个一级极点.2(zl)(z4)

z21Resf(z),ilimi,zi(zi)(z24)6

z21Resf(z),2ilim2i.z2i(z1)(z2i)3

原积分=2i()

ii6i33.eieizzlei2ei2z2z2

,cos2(5)令ze,则cos2222

z2z21dz原式二Izzizz1542

2i(z41)dz=2zIz(1z)(z)22zIf(z)dz.

z。是f(z)在C:z1内部的2级极点，z1是f(z)在C内部的一级极点.2

4dz15iResf(z),0limz2zOdz22z(lz)(z)22

4112i(z1)17iResf(z),lim(z).12262z2z(l

z)(z)22

原式二2i25il7i.632

五、(1)0z1时、121zzzn,1zn0

11nn1znz2(1z)1zn0n1

11n1n2nznz.z(lz)2znIn1

(2)111z(lz)2(lz)21(1z)

11(1z)(1z)22(1z)

(1z)n2(l)n(zl)n2.

nOn0

(3)1111223(1z)l(1z)(1z)1z(1z)1z

21111(1z)31zlz1

(l)n.n3(zl)n01

六、F()

f(t)ejtdteeOtjtdte(j)tdt0lo

与

tf(t)

与

jd11.2dj(j)

2e

七、令jOttf(t)1j()0.y(t)Y(方程两边取Laplace变

换，得

s2Y(s)sy(0)y(0)4sY(s)y(0)3Y(s)1.s1

即sY(s)14sY(s)3Y(s)

解得Y(s)21.sIs.2(s1)(s3)

s1是Y(s)的二级极点，s3是Y(s)的一级极点

ResY(s)est,1limdsst31eettet.Idss342

s33tstee.s3(s1)24ResY(s)e,3lim

1st

424

八、因为uiv是D内的解析函数，由CR方程，y(t

s

)Y(s)3etltet3e3t.

uvuv,(1)xyyx

如