《数学物理方程》1.4高维波动方程的柯西问题

§4高维波动方程的柯西问题福州大学数学与计算机科学学院－江飞:183059505921.膜振动方程的导出*物理模型：弹性固体薄片.*理想化假设：b.膜的平衡位置在一平面内，膜上各点在垂直这一平面的方向上作微小振动，膜所受到的外力均与该平面垂直.c.膜是柔软的，它对弯曲形变不会产生任何抵抗力.a.膜可以视为一张曲面，密度均匀分布，设面密度为.编辑ppt*在理想化假设下的张力性质：薄膜上任一点的张力是常值.此时在膜上点沿某方向作一个截口，则该膜位于两侧的部分分别对于对方有单位强度为的拉力，拉力的方向与曲面法向垂直，又与方向垂直.下面我们取膜上一块小曲面进行分析，其投影记为.*推导想法：受力分析与冲量定理.*目标函数：相对于平衡位置位移.编辑ppt符号说明：为的边界.为的投影.为在点的切线方向，为在点的法线方向，为的切线方向，为的法线方向.回顾曲线切线与曲面切线方向：设曲线方程为则在的切线方向为编辑ppt设其上任意曲线方程为设曲面方程为：将其代入曲面方程，并对两边关于求导，可得设曲线方程为则在的切线方向为故过曲面上点的切面的法向方向为满足的方程为：其曲面点的法线方向为编辑ppt张力的方向与的方向一致.曲线逆时针方向为正(1)建立方向矢量之间的关系.由于的方向为曲面法线的方向可取为的方向为故的方向可进一步取为编辑ppt故的方向可取为其中编辑ppt由于以及都是小量，故曲线逆时针方向为正由此可知，张力在垂直向上方向的分量是(2)建立小曲面所受到的冲量表达式.编辑ppt曲线顺时针方向为正故沿着曲线积分，可得小曲面所受的张力合力为小曲面上所受外力的合力为所以在时间段内作用于小曲面的冲量为(3)应用冲量定理.其导致的动量变化为编辑ppt*附二维分部积分公式格林公式（面积分化成曲线积分）:设

是以光滑曲线为边界的平面单连通区域，函数

和在

及

上连续并具有对和连续偏导数，则成立下面我们以格林公式为基础推导二维分部积分公式，关于三维分部积分将在第三章进一步介绍.一维分部积分公式编辑ppt下面把第二曲线积分化成第一曲线积分：令则其中表示单位外法向量.编辑ppt注意到记则有涉及第一曲线积分与散度形式的格林公式:特别地,其中记并且编辑ppt曲线逆时针方向为正利用冲量定理可得假设利用格林公式及NL公式,可得从而编辑ppt其标准形式为其中称为自由项,受外力的振动称为强迫振动,无外力作用称为自由振动.膜振动方程(2D波动方程)2.定解条件的提法类似于弦振动方程,膜振动方程的定解条件同样有边界条件和初始条件.*初始条件编辑ppt*边界条件(1)第一类边界条件:膜的边界固定或依照一已知函数随时间而变化或(2)第二类边界条件:膜边界可以在一个光滑的柱面上自由滑动,不受摩擦力作用或考虑更一般地(3)第三类边界条件:将膜固定在弹性支承上其中为已知正数.或考虑更一般地编辑ppt*柯西问题*电磁波或声波的运动方程或齐次情况3.球平均法考虑3D波动方程的柯西问题编辑ppt假设初始是有对称,下面寻找球对称解假设初始是有对称,下面寻找球对称解类似地,编辑ppt代入波动方程可得代入柯西问题可得1D波动方程令可得该想法为何不能应用到2D情况?编辑ppt下面我们把上述想法进一步应用一般初始情况(Poisson&FritzJohn).设为半径的球面上的平均值考虑函数在以为心、以其中表示球面上的面积微元.引理4.1设则其球平均函数且满足方程与初始条件编辑ppt预备结论及其证明提要(1)证只需考虑其它情况类似或利用平移变换.记表示上半球面，半径的圆，表示以为球心，以为则下半球面类似.编辑ppt积分号与求导可交换：令则(2)证利用有界闭区域上连续函数的一致连续性，可得有利用微分中值定理，存在满足表示闭球编辑ppt(3)证利用第一曲面积分化成重积分，其中曲面微元数学分析下：p.308与331编辑ppt对求二阶导数（利用闭区间连续函数的一致连续性），然后相加可得而由复合函数求导法则，有利用变量替换可得（涉及曲面积分化成重积分）证其中表示上点的单位外法向量的第分量.编辑ppt利用格林公式可得其中是由围成的球.再对求一次导，可得由此即得编辑ppt令利用积分中值定理，可得由此即得注对进行偶延拓后，仍有编辑ppt引理4.2则记是的解，且与初始条件编辑ppt证对表达式两边求导，可得利用（1）即得（1）编辑ppt将往方向作偶延拓，则在上，仍有视为参数，则满足利用达朗贝尔公式可解出，从而结果编辑ppt设那么三维波动方程的柯西定理4.1问题存在唯一的解（泊松公式）证首先的解为编辑ppt利用和关于的偶性，有结果对上式关于取极限，即得下面计算右边的极限.利用中值定理，可得编辑ppt故的表达式为编辑ppt下面验证（3）是柯西问题（2）的解.（2）（3）故满足编辑ppt（2）显然类似于，我们可得也满足柯西问题中方程（2）,故满足柯西问题中方程（2）.另一方面，利用叠加原理，即知是柯西问题（2）的解.编辑ppt4.降维法下面考虑对应的2D波动方程记则反之，如果问题（5）有一个与无关的解，则（4）（5）必满足（4）.这种利用高维波动方程柯西问题的解得出低维波动方程柯西问题解的方法称为降维法.编辑ppt利用泊松公式，可得为了利用曲面积分化成平面区域上的重积分，这里我们是用面积微元与其投影面积的关系得出高斯曲率系数：编辑ppt利用上述关系，上下半球面的积分都可化成同一圆上的积分：编辑ppt5.非齐次波动方程柯西问题的解一般的非齐次波动方程的柯西问题则问题（6）的解，由上述两个问题的解叠加而成.可利用半齐化法拆解成和（7）故问题（6）的解归结成求解问题（7）的解.（6）编辑ppt可利用齐次化原理求解问题（7），即先求（7）的解，然后关于积分，