沪教版（上海）七年级上学期全部章节知识点总结

上海沪教版七年级上册知识点总结字母表示数字母表示数的规范要求：（1）数字与字母及字母与字母间的乘号省略，且数字要写在字母之前，字母前系数为1,1省略；（举例子：）（2）当数字是带分数时，要写成假分数；（）（3）除法运算中的除号要用分数线来表示．（）二、代数式（1）用运算符号和括号把数或字母连结而成的式子叫做代数式．(这里的运算符号一般指加、减、乘、除，以及以后要学的乘方，开方)（2）单独一个数字或者一个字母也是代数式．（3）因为等号和不等号不是运算符号，所以等式和不等式不是代数式．（4）不能出现举例子：三、整式单项式由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．单独一个数或字母也是单项式． 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．举例子：多项式由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式． 在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高项的次数就是这个多项式的次数．举例子：多项式的升幂或降幂排列把一个多项式按其一个字母的指数从高到低的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列．把一个多项式按某一个字母的指数从低到高的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．整式单项式．多项式统称为整式．举例子：将下列代数式分别填入相应的括号内： 单项式（ ）； 多项式（ ）； 二项式（ ）； 二次多项式（ ）； 整式（ ）．做题方法：先把分母上有未知数的划去；然后找单项式和多项式；二项式、三项式都是从多项式里去找即可；单项式和多项式统称为整式常见易错题和知识点1一件衣服原价a元，提价百分率为m，然后降价百分率为n,则现价多少？（重点题型！！）答案：a(1+m)（1-n）代数式的语言描述：代数式的意义是与的平方差 代数式的意义是与的差的一半．x的倍与的和的一半，用代数式表示是． 的与的差，用代数式表示是．都是正整数，多项式的次数是m;(4)找规律题（要重视！！！！！）观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是___16n+8________．…………第1个第2个第3个（5）五、同类项同类项的概念所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．举例子：合并同类项及其法则 （1）把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式．（2）合并同类项法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．（注意区分合并同类项和幂的运算！！！）六、整式的加减运算去添括号法则括号前面是“+”号，去（添）掉“+”号和括号，括号里的各项符号不变；括号前面是“-”号，去（添）掉“-”号和括号，括号里的各项变成相反符号．整式的加减运算步骤去括号；（2）合并同类项．七、幂的运算1、同底数幂的乘法法则同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．即：（都是正整数）．2、幂的乘方运算法则幂的乘方，底数不变，指数相乘．即：（都是正整数）．3、积的乘法法则积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即：（是正整数）．常见易错题和知识点2整体替换绝对值和平方式（非常重要！！！）平方和三次方举例子：幂的混合运算注意：幂的混合运算中，一定要注意符号，还有幂的乘方中的系数运算(重点！！！)幂的运算常数的高次幂计算（非常重要！！！！！！！！！）（1）______（2）______（3）平方等于的数是______，立方等于的数是_______．九、整式的乘法（都是展开计算，如果能合并同类项一定要合并同类项！！！）模块一：单项式与单项式相乘（1）项式与单项式相乘的运算法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．（2）单项式与单项式相乘的运算步骤系数相乘的结果作为积的因数；相同字母运用同底数幂的乘法法则计算；把只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式．（3）单项式与单项式相乘，积还是单项式．模块二、单项式与多项式相乘（1）单项式与多项式相乘法则用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相乘．（2）单项式与多项式相乘的注意事项：（1）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同（2）单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号的确定：同号相乘得正，异号相乘得负．简化：模块三：多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．简化：十、乘法公式模块一：1．平方差公式 两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即：．公式变化位置变化：；符号变化：；公式中的字母，可以表示具体的数字，可以表示单项式，也可以表示多项式．举例子：模块二：1．完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍， 即： 与平方差公式一样，公式中的字母可以代表一个数字，可以代表一个单项式，也可以是一个多项式．完全平方变形应用 （1）；； （2）；； （3）； （4）；．完全平方公式推广应用 （1）； （2）； （3）； （4）．举例子（非常重要！！！）：计算：答案：十一、常见易错题和知识点3：1、两解问题：2、一解问题：3、已知公式中两项，求第三项：（1）已知，求、与的值；（2）已知，求与的值．（3）已知，求的值；（4）已知，求（1）；（2）；（3）的值．（5）已知，求的值．4、公式的识别：下列各式能用完全平方公式计算的有（ ）个．①；②；③；④．． ． ． ．解：①③能用完全平方式，故答案：B模块三：立方和、差公式 两数和（或差）乘以它们的平方和与积的差（或和），等于这两个数的立方和（或差）， 这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式． 即：，．完全立方公式 ；．十二、因式分解1、因式分解的概念：（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．（2）因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解：因式分解多项式（和的形式整式的积（积的形式）举例子：模块一：提公因式法1、因式、公因式的定义（1）几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的因式．例如式子中，、、就是的因式．（2）一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．例如，在多项式中都含有因式，则就是这个多项式的公因式．2、确定公因式的方法（1）确定系数的公因数——多项式中各项系数的最大公约数（系数都为整数）．（2）确定字母的公因式——多项式中各项都含有的相同字母的最低次幂．（3）确定的各项系数的最大公约数和各项都含有的相同的字母的最低次幂的乘积就是这个多项式的公因式．3、提取公因式法如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来，作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．（2）提取公因式的步骤：“一找、二提、三去除”一找：第一步要正确找出多项式中各项的公因式；二提：第二步将所找出的公因式提出来；三去除：第三步当提出公因式后，直接观察剩下的另一个因式，即为提出公因式后剩下的另一个因式．4、注意事项（1）如果多项式的首项是负数时，一般先提出“—”号，使括号内的第一项系数是正数．（2）利用提取公因式法分解因式是，一定要“提干净”．（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致．（4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式．举例子：不要漏“1”要一次提干净将因式分解进行到底第一项是负的，提负号系数中有分数，提分母的最小公倍数，分子的最大公因数。（有分数和整数，把整数看成1分之此数）模块二：公式法逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法．2、平方差公式：运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征是：（1）公式左边必须是一个二项式，且符号相反；（2）两项中的每一项必须是某个数或某个式子的平方形式；（3）右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积；（4）公式中字母“”和“”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式．3、完全平方公式：运用完全平方公式进行因式分解的多项式的特征是：（1）公式的左边必须是一个三项式，且可以看成是一个二次三项式；（2）其中两项的符号必须是正的，且能写成某两个数或两个式子的平方形式；而另一项的绝对值必须是前两项中两个数或两个式子的乘积的2倍；（3）右边分解的结果是这两个数或两个式子的和或差的完全平方，其和或差与左边第二项的符号相同；（4）公式中字母“”和“”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式．4、补充公式（1）；（2）；（3）； （4）；（5）．常见易错知识点和习题：（要对1、4、9、16、25、36、64这些数字敏感，明确知道是那个数的平方）1、平方差公式2、完全平方公式典型例题（非常重要！！！！！！！！）计算：．（2）已知且，求的值．（3）已知，求的值．已知，求的值．模块三：十字相乘法二次三项式： 多项式，称为字母的二次三项式，其中称为二次项，为一次项，为常数项．十字相乘法的依据利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用多项式的乘法法则．如在多项式乘法中有：，反过来可得：．3、十字交叉法的定义一般地，可以用十字交叉线表示为：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．4、用十字相乘法分解的多项式的特征（1）必须是一个二次三项式；（2）二次三项式的系数为1时，常数项能分解成两个因数和的积，且这两个因数的和正好等于一次项系数，这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”；（3）对于二次项系数不是1的二次三项式，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．5、用十字相乘法因式分解的符号规律（1）当常数项是“+”号时，分解的两个一次二项式中间同号；（2）当常数项是“”号时，分解的两个一次二项式的因式中间是异号；（3）当二次项系数为负数是，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项．举例子：1、对于一切，等式均成立，则的值为__________．2、答案：能提公因式一定要先提公因式！！！！！3、模块四：分组分解分组原则：（1）分组后能直接提取公因式；（2）分组后能直接运用公式．2、分组分解法分解因式的几点注意（1）分组分解法主要应用于四项以上（包括四项）的多项式的因式分解；（2）解题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组；（3）分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解；（4）五项式一般采用三项、两项分组；（5）六项式采用三、三分组，或三、二、一分组，或二、二、二分组；（6）原多项式中带有括号时一般不便于分组时可先将括号去掉，整理后再分组分解．举例子：1、三一分组二二分组整式的除法模块一：同底数幂的除法同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减．（、是正整数，且，）注：底数可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式．2、任何不等于零的数的零次幂都等于1举例子：（非常重要！！！）同底数数幂的乘除运算顺序先算积的乘方、幂的乘方、再算同底数幂的乘除；在只有乘除的运算中，应按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的．模块二：单项式除以单项式单项式除以单项式法则两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．单项式除以单项式的步骤把系数相除，所得的结果作为商的因式；把同底数的幂分别相除，所得的结果作为商的一个因式；只在被除式里含有的字母，连同其指数作为商的一个因式．3、单项式混合运算法则通常情况下，应先乘方，在乘除，最后做加减运算，如有括号，先算括号内的运算．模块三：多项式除以单项式多项式除以单项式的法则多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得商相加，用式子表示就是：．2、注意事项（1）多项式除以单项式的结果仍是多项式，项数与原多项式相同．（2）商的次数不高于多项式的次数，商的次数=多项式的次数-单项式的次数．（3）被除式=商式除式余式．分式的基本意义和性质模块一：分式的意义分式的定义：，表示两个整式，并且中含有字母，并且B不为0，那么式子叫做分式．举例子（非常重要！！！！！！！）：分式有意义：举例子：（1）分式有意义的条件是（2）当是什么数时，分式有意义?（3）若分式有意义，则x的范围是什么？分式等于0：举例子：已知分式的值为，求的值．模块二：分式的基本性质分式的基本性质 分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：，．注意：（1）在运用分式的基本性质时，基于的前提是； （2）强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；（3）分式的基本性质是约分和通分的理论依据．2、约分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分．3、最简分式 一个分式的分子、分母没有相同的因式(1除外）时，这个分式叫做最简分式．约分可以把一个分式化为最简分式．（含绝对值和小数的不是最简分式！！！！）举例子：常见的最简分式：，4、约分的方法（1）当分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，则约去分子、分母中相同因式的最低次幂，分子、分母的系数约去它们的最大公因数．（2）当分式的分子、分母中有多项式，则要先因式分解，再约分．（3）约分一定要彻底，即约分后分子和分母中不含公因式．5、常见重要题型：（1）把分式中的都扩大到原来的倍，那么分式的值（ ）．．不变 ．扩大到原来的倍 ．缩小到原来的 ．缩小到原来的解题方法：赋值法（非常重要！！！！！）已知，求的值．分析：（3）已知满足，求的值．不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数分析：找5、10、3、9的最小公倍数，即90，故对分式的分子和分母同时乘以90即可得分式的计算模块一：分式的乘除1、分式的乘法法则 两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示．2、分式的除法法则 分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘． 用公式表示为．3、分式的乘方法则 分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即．4、分式的乘除混合运算 分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算．【注意】（1）在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法则计算；（2）要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算．例如：．举例子：计算解：（如果其中有一项为整式，可以将其写成分母为1的式子，方便后续约分）模块二：分式的加减1、同分母的分式加减法法则同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．2、异分母的分式加减法法则（1）通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分，这几个相同的分母叫做公分母．（2）异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简．3、分式的综合运算与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．举例子：（1）计算：分析：分母分别为：（x-2）、（2-x）、（x-2）(x+1),故最简公分母为（x-2）(x+1)，将每一项的分母化成最简公分母然后计算。解：原式若恒成立，求A和B.(重要题型，必须掌握！！！！)解：（3）计算：重要题型，必须掌握！！！！)解：（4）裂项（重要题型！！！！）计算：．计算：可化为一元一次方程的分式方程1、分式方程的概念分母里含有未知数的方程叫做分式方程解分式方程（计算重点！！！！）（1）解分式方程的基本思想:“转化”的数学思想，即把分式方程的分母去掉，使分式方程化成整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了．（2）解分式方程的步骤：①转化：在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．3、分式方程的应用其方法和步骤可归纳如下（1）审清题意，分清已知量和未知量；（2）设未知数；（3）根据题意寻找已知的或隐含的等量关系，列分式方程；（4）解方程，并验根；（5）写出答案．4、常见分式方程的题型归类：（1）工程类工作量=工作效率×工作时间（通常认为工作量为“1”）（2）浓度问题浓度=溶质/溶液×100%=溶质/(溶质+溶剂)×100%盐水浓度=盐质量/盐水质量×100%糖水浓度=糖质量/糖水质量×100%（3）行程类路程=速度×时间顺水速度=静水速度+水速逆水速度=静水速度-水速重要题型：若关于的方程会产生增根，求的值．解：分析：分式方程产生增根，即有使最简公分母为0的根，把分式方程化成整式方程，将使分母为0的x的值分别代入，求出m即可。已知分式方程的解为非负数，则的取值范围是________．(3)若关于的分式方程无解，则．(重要难点题型)整数指数幂零指数：；2、负整数指数幂：；3、用科学记数法表示绝对值大于0而小于1的数的方法：绝对值大于0而小于1的数等于举例子：（1）（重要题型！！！！！！）当__________时，有意义．解：(2)先化简，后求值：，其中，．已知，，求的值．图形的平移和旋转模块一：图形的平移平移将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做平移．平移的特征图形平移后，对应点之间的距离、对应线段的长度、对应角的大小都相等，图形平移后， 图形的形状、大小都不变．平移距离平移后各对应点之间的距离叫做图形平移的距离．常见的平移运动有：电梯的升降、飞机起飞模块二：图形的旋转旋转的定义 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转过的角称为旋转角． 从以下几点理解定义：旋转中心在旋转过程中保持不变；图形的旋转是由旋转中心，旋转角度和旋转方向决定的；旋转角度一般小于360°．（旋转角大于0°小于360°）旋转角是不唯一的，比如正五边形的旋转角为72°、144°、216°、288°但是最小旋转角是唯一的，比如正五边形的最小旋转角为72°；旋转对称图形的最小旋转角都是360的因数（非常重要！！！！！）2、旋转的特征旋转后图形上每一点都绕着旋转中心旋转了同样的角度；旋转后的图形与原图形对应线段相等、对应角相等；对应点到旋转中心的距离相等；旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化．3、旋转对称图形的定义（旋转对称图形是针对一个图形而言的） 把一个图形绕着一个顶点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形．这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角）．如电风扇、五角星、圆等都是旋转对称图形，对旋转对称图形可从以下几个方面理解：旋转中心在旋转的图形上；旋转的角度小于360°．4、图形的旋转与旋转对称图形的区别和联系图形的旋转是指一个图形从一个位置旋转到另一个位置，即同一个图形在位置上的变化；旋转对称图形，是指一个图形所具有的特性，即旋转一定角度后位置没有变化，仍与自身重合；图形的旋转随着旋转角度的不同从一个位置旋转到不同位置；旋转对称图形旋转一定角度后仍在原处与自身重合．图形的旋转与旋转对称图形都是绕旋转中心旋转．常见的旋转运动有：时钟计时、汽车转弯、风扇旋转 常见的旋转对称图形有：电风扇、五角星、圆、正多边形（正三角形、正方形、正五边形）图形的旋转和翻折模块一：中心对称中心对称的概念把一个图形绕着一个定点旋转180°后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对称，也叫做这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。成中心对称的两个图形，对称中心只有一个。中心对称图形的特征中心对称是旋转对称的特例，关于中心对称的两个图形能完全重合．关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心并且被对称中心平分，关于对称中心的两个图形，对应线段平行（或在一条直线上）且相等；反过来，如果两个图形的对应点连接成的线段都经过某一点并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这点成中心对称，这给我们提供了判断某两个图形是否成中心对称的方法．常见的中心对称图形：边数为偶数的正多边形（如正方形、正六边形）、长方形、平行四边形、线段、圆中心对称的汉字：口、一、田、王中心对称的大写英文字母：N、S、Z、H、I、O、X3、中心对称与中心对称图形的区别与联系中心对称是两个图形而言的，指两个图形间的关系；而中心对称图形是对一个图