2025年人教版七年级数学寒假预习 第06讲 立方根

第06讲立方根模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测(1)理解立方根的定义并且会求一个数的立方根;(2)会表示一个数的立方根和理解立方根的性质;(3)会用估值法比较两个数的大小和掌握被开方数和立方根近似值的小数点的移动规律,并能利用规律解题.1.立方根定义：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根.数a的立方根记作“QUOTE3𝑎3a”，读作“三次根号a”.【补充】1）立方根等于本身的有0和±1.2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数.性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根．立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向左或右移动三位，那么立方根的小数点相应的向左或右移动一位.例如：已知＝0.1738，＝1.738，则a的值为0.00528.1.一个正数a的算术平方根用符号表示为QUOTE𝑎a，一个非负数a的平方根用符号表示为±QUOTE𝑎a；一个数a的立方根用符号表示为QUOTE3𝑎3a，即正数的平方根有两个且互为相反数.算术平方根有一个，立方根有一个.2.0的算术平方根、平方根和立方根都是0；平方根等于其自身的有0和1；立方根等于其自身的有－1、0和1.3.【常考/易错】有时候题目会故意没有把去根号，这时候就要注意千万不要把QUOTE𝑎a的平方根当作a的平方根，要先把QUOTE𝑎a去根号，再求平方根．2.开立方定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方.【注意】1）求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根.2)开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根.3）开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号.考点一：立方根的概念理解1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若n为自然数，对QUOTE𝑛−𝑎n−a下面判断正确的是（

）A．QUOTE𝑛−𝑎n−a一定无意义 B．QUOTE𝑛−𝑎n−a一定有意义C．若n为奇数，则QUOTE𝑛−𝑎n−a必有意义 D．QUOTE𝑛−𝑎=−𝑎n−a=−a一定成立2．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若一个数的立方根与它的算术平方根相同，则这个数是（

）A．1 B．1或0 C．0 D．QUOTE卤1卤1或03．（20-21七年级下·全国·课后作业）在实数范围内，下列判断正确的是（

）A．若QUOTE𝑎=𝑏a=b，则QUOTE𝑎=𝑏a=b B．若QUOTE𝑎2>𝑏2a2>b2，则QUOTE𝑎>𝑏a>bC．若QUOTE𝑎2=𝑏a2=b，则QUOTE𝑎=𝑏a=b D．若QUOTE3𝑎=3𝑏3a=3b，则QUOTE𝑎=𝑏4．（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）QUOTE31−𝑎=−231−a=−2，则QUOTE𝑎a的值是（

）A．8 B．2 C．9 D．QUOTE−8−85．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是考点二：求一个数的立方根6．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）已知QUOTE55是QUOTE𝑥x的算术平方根，则QUOTE𝑥2−17x2−17的立方根是．7．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）QUOTE31643164的立方根是QUOTE−136−136的算术平方根QUOTE−92−9QUOTE8．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）QUOTE−827−827的立方根是；QUOTE44的算术平方根是；QUOTE2−52−5的绝对值是．9．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）若QUOTE𝑎−4+𝑏+5=0a−4+b+5=0，则QUOTE3𝑎+𝑏=310．（2024七年级上·全国·专题练习）QUOTE1916=1916QUOTE；QUOTE3125=3125=QUOTE3−3438=3−343考点三：已知一个数的立方根求这个数11．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）若一个数的立方根是4，那么这个数的平方根是（

）A．4 B．QUOTE卤4卤4 C．8 D．QUOTE卤8卤812．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）若QUOTE30.00375=0.155430.00375=0.1554，QUOTE3𝑎=15.543a=15.54，则QUOTE𝑎=a=．13．（23-24七年级下·河南信阳·期末）若QUOTE3𝑎=−23a=−2，则QUOTE𝑎=a=．14．（23-24七年级下·吉林松原·期中）已知QUOTE4𝑥−374x−37的立方根为3．(1)求QUOTE𝑥x的平方根；(2)填空：QUOTE2𝑥+42x+4的算术平方根是________．15．（23-24七年级下·广西河池·期中）已知QUOTE𝑥−2x−2的立方根是QUOTE−2−2，则QUOTE𝑥+31x+31的算术平方根是（

）.A．QUOTE88 B．QUOTE66 C．QUOTE77 D．QUOTE55考点四：利用立方根解方程16．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）求下列各式中QUOTE𝑥x的值：(1)QUOTE(𝑥+1)2−9=0(x+1)2−9=0(2)QUOTE4(𝑥+1)3=324(x+1)17．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）求下列各式中的x值：(1)QUOTE3𝑥2−12=03(2)QUOTE𝑥−13=−64x−1318．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知QUOTE，求QUOTE𝑥−2𝑥𝑦−34𝑦+𝑥x−2xy−3考点五：平方根与立方根综合19．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）已知QUOTE2𝑥+12x+1是49的算术平方根，QUOTE𝑥+4𝑦−10x+4y−10的立方根是QUOTE−3−3．(1)求QUOTE𝑥,𝑦x,y的值；(2)求QUOTE2𝑥−𝑦2x−y的立方根．20．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）一个正数QUOTE𝑥x的平方根是QUOTE2𝑎−32a−3与QUOTE5−𝑎5−a，QUOTE𝑦y的立方根是QUOTE−3−3，求QUOTE𝑥+𝑦+3x+y+3的算术平方根．21．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知QUOTE2𝑎−12a−1的平方根是QUOTE卤3卤3，QUOTE𝑏−9b−9的立方根是2，QUOTE2𝑐−6=02c−6=0．(1)求a、b、c的值；(2)求QUOTE𝑎+𝑏+𝑐a+b+c的算术平方根．22．（23-24七年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知QUOTE𝐴=𝑎−22𝑎+𝑏A=a−22a+b表示9的算术平方根，QUOTE4𝑏−𝑐4b−c的立方根是2，d是QUOTE1414的小数部分．(1)求a、b、c、d的值；(2)求QUOTE3𝑎+𝑏+𝑐3a+b+c的平方根．QUOTE23．（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知正数a的两个平方根分别是QUOTE2𝑥−32x−3和QUOTE1−𝑥1−x，且QUOTE31+2𝑏31+2b与QUOTE33𝑏−533b−5相等，求QUOTE𝑎+2𝑏a+2b的算术平方根．考点六：立方根的实际应用24．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块．(1)求该正方体铁块的棱长；(2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长．25．（2024七年级上·浙江·专题练习）老师布置每名同学做一个正方体盒子，做好后，小明对小强说：“我做的盒子表面积是QUOTE96cm296cm2，你的呢？”小强低头想了一下说：“先不告诉你，我做的盒子比你的盒子体积大QUOTE665cm3665cm26．（23-24七年级下·广东珠海·期末）如图1所示的正方形铁板是由两张大小相同的长方形铁板拼接而成的，已知一个长方形铁板的面积为72平方厘米．(1)求正方形铁板的边长；(2)若将该正方形铁板进行裁剪，然后拼成一个体积为64立方厘米的无盖正方体容器，求剩余的铁板面积；(3)若工人把这个正方形铁板加工成如图2的零件，QUOTE，QUOTE，测得QUOTE𝐹𝐺=5.4cmFG=5.4cm，请直接写出这个零件的周长．考点七：与立方根有关的规律探究问题27．（23-24七年级下·广西柳州·期中）阅读理解，观察下列式子：①QUOTE38+3−8=2+−2②QUOTE31+3−1=1+−1③QUOTE31000+3−1000=10+−10QUOTE3127+3−1…根据上述等式反映的规律，回答如下问题：(1)根据以上式子的规律，写出一个类似的等式：______．(2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数QUOTE𝑎a，QUOTE𝑏b，若______，则QUOTE3𝑎+3𝑏=03a+3b=0(3)根据上述的真命题，解答问题：若QUOTE33−2𝑥33−2x与QUOTE3𝑥+53x+5的值互为相反数，求QUOTE𝑥x的值．28．（23-24八年级·全国·假期作业）观察下列规律回答问题：QUOTE3−0.001=−0.13−0.001=−0.1，QUOTE3−1=−13−1=−1，QUOTE3−1000=−103−1000=−10，QUOTE30.001=0.130.001=0.1，QUOTE31=131=1，QUOTE(1)则QUOTE30.000001=30.000001=；QUOTE3106=3106=；按上述规律，已知数QUOTE𝑎a小数点的移动与它的立方根QUOTE3𝑎3a的小数点移动间有何规律？(2)已知QUOTE3𝑥=1.5873x=1.587，若QUOTE3𝑦=−0.15873y=−0.1587，用含QUOTE𝑥x的代数式表示QUOTE𝑦y，则QUOTE𝑦=y=；(3)根据规律写出QUOTE3𝑎3a与a的大小情况．29．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）观察下表，并解决问题．a0.00010.01110010000a0.010.1110100(1)①随着被开方数的小数点的移动，它的算术平方根的小数点是怎样移动的？请归纳总结这一规律；②已知QUOTE则QUOTE．(2)①猜想被开方数的小数点移动和它的立方根的小数点移动有怎样的关系？写出你的猜想；②已知QUOTE请用含m的式子表示n．考点八：与立方根有关的材料阅读问题30．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)求QUOTE359319359319．①由QUOTE103=1000103=1000，QUOTE1003=10000001003=1000000，可以确定QUOTE359319359319是②由59319的个位上的数是9，可以确定QUOTE359319359319的个位上的数是；③如果划去59319后面的三位319得到数59，而QUOTE33=27,43=6433=27,43=64，可以确定QUOTE359319359319的十位上的数是，由此求得QUOTE359319(2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：①QUOTE3−117649=3−117649=，②QUOTE30.531441=30.531441=31．（23-24七年级下·湖北十堰·期中）王老师在《给数学学习插上想象的翅膀》的数学兴趣课上引导同学们展开了丰富的想象（如图）：然后引导同学们解决以下两个问题：(1)求QUOTE1616的平方根；解：由QUOTE16=416=4知，求QUOTE1616的平方根也就是求4的平方根；QUOTE1616的平方根是________；（填空）(2)一个正数的平方根分别是QUOTE𝑎+5a+5和QUOTE2𝑎+12a+1，QUOTE𝑏−60b−60的立方根是QUOTE−4−4，求QUOTE𝑎−𝑏a−b的值．32．（23-24七年级下·江西南昌·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题．依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若QUOTE𝑥2=𝑎𝑎??x2=aa??，则QUOTE𝑥x叫QUOTE𝑎a的二次方根；若QUOTE𝑥3=𝑎x3=a，则QUOTE𝑥x叫QUOTE𝑎a的三次方根；若QUOTE𝑥4=𝑎𝑎??x4=aa??，则QUOTE𝑥x叫QUOTE𝑎a的四次方根．(1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：______；(2)625的四次方根为______；QUOTE−243−243的五次方根为______；(3)求下列QUOTE𝑥x的值：①QUOTE14𝑥−34−4=01②QUOTE32𝑥5+243=032x33．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读与探究本学期我们在《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容．平方根立方根定义一般地，如果一个数的平方等于QUOTE𝑎a，那么这个数叫做QUOTE𝑎a的平方根或二次方根．这就是说，如果QUOTE𝑥2=𝑎x2=a，那么x叫做QUOTE𝑎a的平方根．一般地，如果一个数的立方等于QUOTE𝑎a，那么这个数叫做QUOTE𝑎a的立方根或三次方根这就是说，如果QUOTE𝑥3=𝑎x3=a，那么QUOTE𝑥x叫做QUOTE𝑎a的立方根．运算求一个数QUOTE𝑎a的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算．求一个数QUOTE𝑎a的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算．性质正数有两个平方根，他们互为相反数；QUOTE00的平方根是QUOTE00；负数没有平方根．正数的立方根是正数；QUOTE00的立方根是QUOTE00；负数的立方根是负数．表示方法正数QUOTE𝑎a的平方根可以用“QUOTE”表示，读作“正负根号QUOTE𝑎a”一个数QUOTE𝑎a的立方根可以用“QUOTE3𝑎3a”表示，读作“三次根号QUOTE𝑎a”．今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根．(1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：．(2)探究性质：①QUOTE8181的四次方根是；QUOTE00的四次方根是；QUOTE−4−4（填“有”或“没有”）四次方根．②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：．34．（21-22七年级下·湖北武汉·期中）阅读下列材料：已知59319的立方根是正整数，要得到QUOTE359319359319的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定QUOTE359319359319的位数，因为QUOTE103=1000103=1000，QUOTE1003=10000001003=1000000，而QUOTE1000<59319<10000001000<59319<1000000，所以QUOTE10<359319<10010<359319<100，由此得QUOTE359319359319是两位数；第二步：确定个位数字，因为59319的个位上的数是9，而只有9的立方的个位上的数是9，所以QUOTE359319359319的个位上的数是9；第三步：确定十位数字，划去59319后面的三位319得到59，因为QUOTE33=2733=27，QUOTE43=6443=64，而QUOTE27<59<6427<59<64，所以QUOTE359319359319的十位上的数字是3；综合以上可得，QUOTE359319=39359319=39请你根据上述内容，完成以下问题：(1)若QUOTE3𝑥3x为正整数，它的个位上的数是m，x的个位上的数是n．请将下表填写完整：m123456789n187539(2)已知262144，474552都是整数的立方，则QUOTE3262144=3262144=______，QUOTE3474.552=3474.552(3)已知71289是某正整数a的平方，则QUOTE𝑎=a=______．考点九：与平方根/立方根有关的新定义问题35．（24-25七年级上·全国·期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：QUOTE11，QUOTE44，QUOTE99这三个数，QUOTE，QUOTE，QUOTE，其结果分别为QUOTE22，QUOTE33，QUOTE66，都是整数，所以QUOTE11，QUOTE44，QUOTE99这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是QUOTE22，“最大算术平方根”是QUOTE66．(1)试说明：QUOTE22，QUOTE88，QUOTE5050这三个数是“老根数”，并求出它们的最小算术平方根与最大算术平方根；(2)已知QUOTE1616，QUOTE𝑎a，QUOTE3636，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的QUOTE22倍，求QUOTE𝑎a的值．36．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：QUOTE−1−1，QUOTE−4−4，QUOTE−9−9这三个数，QUOTE−1?−4=2−1?−4=2，QUOTE−1?−9=3−1?−9=3，QUOTE−4?−9=6−4?−9=6，其结果2，3，6都是整数，所以QUOTE−1−1，QUOTE−4−4，QUOTE−9−9这三个数称为“组合平方数”．(1)QUOTE−4−4，QUOTE−16−16，QUOTE−25−25这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由；(2)若三个数QUOTE−3−3，m，QUOTE−12−12是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值；(3)写出一组含有QUOTE−2−2的“组合平方数”．37．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）【阅读与应用】【问题提出】对于任意实数QUOTE𝑎,𝑏a,b，定义一种新运算QUOTE，例如：QUOTE．【初步感知】（1）求QUOTE的值；【拓展运用】（2）若实数QUOTE𝑎a满足QUOTE，求QUOTE𝑎a的值．38．（23-24七年级下·云南玉溪·期中）阅读下面材料：材料一：对任意的实数QUOTE𝑎a，QUOTE𝑏b，定义QUOTE𝐻𝑎,𝑏Ha,b的含义为：①当QUOTE时，QUOTE𝐻𝑎,𝑏=𝑎+𝑏Ha,b=a+b；②当QUOTE𝑎>𝑏a>b时，QUOTE𝐻𝑎,𝑏=𝑎−𝑏Ha,b=a−b．例如：QUOTE𝐻2,5=2+5=7H2,5=2+5=7，QUOTE𝐻10,4=10−4=6H10,4=10−4=6；材料二：200多年前，数学王子高斯的老师布特纳在课堂上布置了这样一道题：“求QUOTE的和．”当其他同学忙于把100个数逐项相加时，八岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：QUOTE．我们通过高斯的计算思路得到这样一个结论：我们把QUOTE𝑆=1+2+3+鈰?99+100S=1+2+3+鈰?99+100中的第一个加数1称为首项，最后一个加数100称为末项，这100个加数称为项数，QUOTE𝑆S称为这些加数的和．对于满足这种规律加数的求和，得出一般性地结论：QUOTE．解决问题：(1)QUOTE𝐻3,7=H3,7=______，QUOTE𝐻98,58=H98,58(2)直接利用上述求和结论求QUOTE的值；(3)对于正数QUOTE𝑥x，满足关系式QUOTE𝐻𝑥2+2,2=1Hx2+2,2=1时，求QUOTE𝑥x的值；(4)在（3）的条件下，求QUOTE的值．考点十：利用计算器算平方根/立方根39．（23-24七年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值：(1)QUOTE34.91334.913(2)QUOTE3−9.2613−9.261(3)QUOTE328.36328.36（精确到QUOTE0.010.01）．40．（20-21七年级下·全国·课后作业）用计算器计算下列各式的值（精确到0.01）：（1）QUOTE867867；（2）QUOTE0.462540.46254；（3）QUOTE−825−825；（4）QUOTE．QUOTE−825=−0.32??0.57QUOTE1．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）下列各式中，正确的是（

）A．QUOTE B．QUOTE?16=4?16=4 C．QUOTE3−27=−33−27=−3 D．QUOTE−42=−4−42=−42．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）下列说法正确的有（

）①正数的两个平方根的和等于0；②实数都有一个立方根；③平方根与立方根相等的数有0和1；④QUOTE99的算术平方根是3；⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数．A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②⑤QUOTE9=3QUOTE33．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）已知QUOTE，QUOTE35鈮?.710035鈮?.7100，那么下列各式正确的是（

）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）9的平方根是x，QUOTE−27−27的立方根是y，则QUOTE𝑥+𝑦x+y的值为（

）A．0 B．6 C．0或6 D．0或QUOTE−6−65．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图为洪涛同学的小测卷，他的得分应是（

）姓名：洪涛

得分：______填空题（每小题25分，共100分）①2的相反数是QUOTE−2−2；②倒数等于本身的数是1；③8的立方根是2；④16的平方根是4．A．25分 B．50分 C．75分 D．100分6．（24-25七年级上·山东淄博·期中）下列说法正确的是（

）A．4的算术平方根是QUOTE卤2卤2 B．3的平方根是QUOTE卤3卤3C．27的立方根是QUOTE卤3卤3 D．QUOTE1616的平方根是QUOTE卤2卤27．（24-25七年级上·山东滨州·阶段练习）若QUOTE𝑎2=36a2=36，QUOTE3−𝑏=33−b=3，则QUOTE𝑎+𝑏a+b的值是（

）A．QUOTE−33−33 B．QUOTE−33−33或QUOTE−21−21 C．33或21 D．QUOTE−21−21或338．（23-24七年级下·河北保定·期末）化简QUOTE3−1−−32+43A．4 B．6 C．QUOTE−2−2 D．0QUOTE3−1−−32+4=−1−3+2=−29．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）利用教材中的计算器计算QUOTE3333时，进行如下按键，显示QUOTE1.442249571.44224957，则若按键：，显示（

）A．QUOTE88 B．QUOTE卤8卤8 C．QUOTE44 D．QUOTE卤4卤4QUOTE364=410.下列各组数中互为相反数的是（

）A．QUOTE−2−2与QUOTE(−2)2(−2)2 B．QUOTE−2−2与QUOTE3−83−8C．2与QUOTE(−2)2(−2)2 D．QUOTE|−2||−2|与QUOTE211．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若m，n为实数，且QUOTE𝑚+1+(𝑛−9)2=0m+1+(n−9)2=0，则QUOTE3𝑚+𝑛312．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）边长为a的正方形面积为256，棱长为b的正方体体积为QUOTE1256412564，则QUOTE𝑎𝑏ab的值为．13．（23-24七年级下·广东东莞·期中）81的平方根是；QUOTE1616的算术平方根是；QUOTE−27−27的立方根是14．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：QUOTE𝑎2−3𝑏3−𝑎−𝑏−𝑐15．（24-25七年级上·全国·单元测试）若QUOTE−3−3是m的一个平方根，则QUOTE𝑚+13m+13的算术平方根是；若QUOTE则x与y的关系是．16．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）求下列式子中的QUOTE𝑥x值(1)QUOTE9𝑥+12=259(2)QUOTE−2+𝑥3=−216−2+x3(3)QUOTE13𝑥2−3=0(4)QUOTE27𝑥+13+64=027x+1QUOTE−7317．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知a的立方等于QUOTE−64−64，b的算术平方根为5．求：(1)a，b的值；(2)QUOTE𝑏+𝑎b+a的平方根．18．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知QUOTE𝑚+14m+14的平方根是QUOTE?13?13，QUOTE−2𝑚+𝑛−6−2m+n−6的立方根是2，求QUOTE7𝑛+3𝑚7n+3m的算术平方根．19．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）已知一个正方体的体积为QUOTE125cm3125cm3(1)求正方体的棱长．(2)若将正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？20．（23-24七年级下·全国·期中）如图，实数QUOTE𝑎a，QUOTE𝑏b，QUOTE𝑐c是数轴上三点QUOTE𝐴A，QUOTE𝐵B，QUOTE𝐶C所对应的数．(1)QUOTE𝑎−𝑏a−bQUOTE00，QUOTE𝑎+𝑏a+b_______QUOTE00，QUOTE𝑏−𝑐b−c________QUOTE0(0(用“QUOTE<<”，“QUOTE>>”或“QUOTE==”号填空QUOTE))；(2)化简：QUOTE𝑎2+|𝑎−𝑏|−3(𝑎+𝑏)3−|𝑏−𝑐|a2+|a−b|−3(a+b模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测(1)理解立方根的定义并且会求一个数的立方根;(2)会表示一个数的立方根和理解立方根的性质;(3)会用估值法比较两个数的大小和掌握被开方数和立方根近似值的小数点的移动规律,并能利用规律解题.1.立方根定义：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根.数a的立方根记作“QUOTE3a3a”，读作“三次根号a”.【补充】1）立方根等于本身的有0和±1.2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数.性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根．立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向左或右移动三位，那么立方根的小数点相应的向左或右移动一位.例如：已知＝0.1738，＝1.738，则a的值为0.00528.1.一个正数a的算术平方根用符号表示为QUOTEaa，一个非负数a的平方根用符号表示为±QUOTEaa；一个数a的立方根用符号表示为QUOTE3a3a，即正数的平方根有两个且互为相反数.算术平方根有一个，立方根有一个.2.0的算术平方根、平方根和立方根都是0；平方根等于其自身的有0和1；立方根等于其自身的有－1、0和1.3.【常考/易错】有时候题目会故意没有把去根号，这时候就要注意千万不要把QUOTEaa的平方根当作a的平方根，要先把QUOTEaa去根号，再求平方根．2.开立方定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方.【注意】1）求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根.2)开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根.3）开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号.考点一：立方根的概念理解1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若n为自然数，对QUOTEn−an−a下面判断正确的是（

）A．QUOTEn−an−a一定无意义 B．QUOTEn−an−a一定有意义C．若n为奇数，则QUOTEn−an−a必有意义 D．QUOTEn−a=−an−a=−a一定成立【答案】C【分析】本题主要考查了立方根，平方根定义，解题的关键是熟练掌握定义．根据立方根、平方根定义进行判断即可．【详解】解：当QUOTEnn为偶数，QUOTE−a鈮?−a鈮?时，QUOTEn−an−a有意义，当QUOTEnn为偶数时，QUOTEn−an−a必有意义，QUOTEn−a=−an−a=−a不一定成立，故C正确，ABD错误．故选：C．2．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若一个数的立方根与它的算术平方根相同，则这个数是（

）A．1 B．1或0 C．0 D．QUOTE卤1卤1或0【答案】B【分析】此题主要考查了立方根和算术平方根的概念，根据立方根和算术平方根的性质求解即可．【详解】解：若一个数的立方根与它的算术平方根相同，则这个数是1或0．故选：B．3．（20-21七年级下·全国·课后作业）在实数范围内，下列判断正确的是（

）A．若QUOTEa=ba=b，则QUOTEa=ba=b B．若QUOTEa2>b2a2>b2，则QUOTEa>ba>bC．若QUOTEa2=ba2=b，则QUOTEa=ba=b D．若QUOTE3a=3b3a=3b，则QUOTEa=b【答案】D【分析】本题考查了绝对值、平方根和立方根的性质，根据绝对值、平方根和立方根的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：A、若QUOTEa=ba=b，则QUOTE，故该选项不符合题意；B、若QUOTEa2>b2a2>b2，则QUOTEa>ba>b或QUOTEa<ba<b，故该选项不符合题意；C、若QUOTEa2=ba2=b，则QUOTEbb可以为任意数，QUOTEaa为非负数，故该选项不符合题意；D、若QUOTE3a=3b3a=3b，则QUOTEa=b故选：D．4．（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）QUOTE31−a=−231−a=−2，则QUOTEaa的值是（

）A．8 B．2 C．9 D．QUOTE−8−8【答案】C【分析】本题考查了立方根，先根据立方根的定义得出关于a的方程，然后解方程即可．【详解】解∶∵QUOTE31−a=−231−a=−2，QUOTE3−8=−23−8∴QUOTE1−a=−81−a=−8，∴QUOTEa=9a=9，故选∶C．5．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是【答案】QUOTE00【分析】此题主要考查了平方根和立方根的定义和性质，任意一个数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，QUOTE00的立方根是QUOTE00．根据平方根和立方根的性质解答即可．【详解】解：∵QUOTE00的平方根是它本身QUOTE00，QUOTE00的立方根是它本身QUOTE00，∴一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是QUOTE00．故答案为：QUOTE00．考点二：求一个数的立方根6．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）已知QUOTE55是QUOTExx的算术平方根，则QUOTEx2−17x2−17的立方根是．【答案】2【分析】本题主要考查算术平方根及立方根，熟练掌握算术平方根及立方根是解题的关键；由题意易得QUOTEx=5x=5，则有QUOTEx2−17=25−17=8x2−17=25−17=8，然后问题可求解．【详解】解：由QUOTE55是QUOTExx的算术平方根，可知：QUOTEx=5x=5，∴QUOTEx2−17=25−17=8x2−17=25−17=8∵8的立方根是2，∴QUOTEx2−17x2−17故答案为2．7．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）QUOTE31643164的立方根是QUOTE−136−136的算术平方根QUOTE−92−9【答案】QUOTE322322QUOTE1616QUOTE【分析】本题考查立方根、算术平方根及平方根，解题的关键是理解和掌握立方根、算术平方根及平方根的定义．据此解答即可．【详解】解：∵QUOTE3164=14∴QUOTE31643164的立方根是：QUOTE314=32∵QUOTE−136=136∴QUOTE−136−136的算术平方根是：QUOTE136=16∵QUOTE−92=−32=9∴QUOTE−92−92的平方根是：QUOTE．故答案为：QUOTE322322；QUOTE1616；QUOTE．8．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）QUOTE−827−827的立方根是；QUOTE44的算术平方根是；QUOTE2−52−5的绝对值是．【答案】QUOTE−23−23QUOTE22QUOTE5−25−2/QUOTE−2+5−2+5【分析】此题主要考查了实数的性质．直接利用立方根以及算术平方根、绝对值的性质分别分析得出答案．【详解】解：∵QUOTE−233=−827∴QUOTE−827−827的立方根是QUOTE−23−2∵QUOTE4=24=2，∴QUOTE4=24=2，2的算术平方根是QUOTE22；∵QUOTE2−5=5−22−∴QUOTE2−52−5的绝对值是QUOTE5−25−2．故答案为：QUOTE−23−23；2；QUOTE5−25−2．9．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）若QUOTEa−4+b+5=0a−4+b+5=0，则QUOTE3a+b=3【答案】QUOTE−1−1【分析】本题考查了算术平方根的非负性、立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根和绝对值的非负性可求出QUOTEa,ba,b的值，再代入计算立方根即可得．【详解】解：∵QUOTEa−4+b+5=0a−4+b+5=0，QUOTE，∴QUOTEa−4=0,b+5=0a−4=0,b+5=0，∴QUOTEa=4,b=−5a=4,b=−5，∴QUOTE3a+b=34+−5=故答案为：QUOTE−1−1．10．（2024七年级上·全国·专题练习）QUOTE1916=1916QUOTE；QUOTE3125=3125=QUOTE3−3438=3−343【答案】QUOTE5454QUOTE?117?117/QUOTE5QUOTE−72−72【分析】本题考查平方根、立方根，根据平方根及立方根的定义解答即可．【详解】解：QUOTE1916=2516=QUOTE；QUOTE3125=353=53故答案为：QUOTE5454，QUOTE，5，QUOTE−72−72．考点三：已知一个数的立方根求这个数11．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）若一个数的立方根是4，那么这个数的平方根是（

）A．4 B．QUOTE卤4卤4 C．8 D．QUOTE卤8卤8【答案】D【分析】本题考查了平方根和立方根的计算，能够通过立方根求出原数是解题关键．先通过立方根求出原数为QUOTE43=6443=64【详解】解：∵这个数的立方根是QUOTE44∴这个数为QUOTE43=6443∴QUOTE6464的平方根为QUOTE故选：D．12．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）若QUOTE30.00375=0.155430.00375=0.1554，QUOTE3a=15.543a=15.54，则QUOTEa=a=．【答案】3750【分析】本题考查被开方数和立方根之间的小数点位数的移动关系．根据被开方数和立方根之间的小数点位数的移动关系，进行计算即可．【详解】解：∵QUOTE30.00375=30.00375=0.1554，QUOTE3a=3a∴QUOTEa=3750a=3750．故答案为：3750．13．（23-24七年级下·河南信阳·期末）若QUOTE3a=−23a=−2，则QUOTEa=a=．【答案】QUOTE−8−8【分析】本题主要考查了立方根的定义，根据立方根定义进行求解即可．【详解】解：∵QUOTE3a=−23a=−2∴QUOTEa=−23=−8a=−2故答案为：QUOTE−8−8．14．（23-24七年级下·吉林松原·期中）已知QUOTE4x−374x−37的立方根为3．(1)求QUOTExx的平方根；(2)填空：QUOTE2x+42x+4的算术平方根是________．【答案】(1)QUOTExx的平方根为QUOTE；(2)6【分析】本题考查的是立方根，平方根，算术平方根．（1）先根据QUOTE4x−374x−37的立方根是3求出x的值，利用平方根的定义求解即可；（2）根据（1）的结果求出QUOTE2x+42x+4的值，根据算术平方根的定义解答即可．【详解】（1）解：由题意知QUOTE34x−37=334x−37=3所以QUOTE4x−37=33=274x−37=33=27，解得QUOTEx=16x=16，因为QUOTE，所以QUOTExx的平方根为QUOTE；（2）解：所以QUOTE，因为QUOTE，所以36的平方根是QUOTE，所以QUOTE2x+42x+4的算术平方根是6．故答案为：6．15．（23-24七年级下·广西河池·期中）已知QUOTEx−2x−2的立方根是QUOTE−2−2，则QUOTEx+31x+31的算术平方根是（

）.A．QUOTE88 B．QUOTE66 C．QUOTE77 D．QUOTE55【答案】D【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据立方根的定义可得QUOTEx−2=−8x−2=−8，得到QUOTEx=−6x=−6，进而得到QUOTEx+31=25x+31=25，再根据算术平方根的定义即可求解，掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键．【详解】解：∵QUOTEx−2x−2的立方根是QUOTE−2−2，∴QUOTEx−2=−8x−2=−8，∴QUOTEx=−6x=−6，∴QUOTEx+31=−6+31=25x+31=−6+31=25，∴QUOTEx+31x+31的算术平方根是QUOTE55，故选：QUOTEDD．考点四：利用立方根解方程16．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）求下列各式中QUOTExx的值：(1)QUOTE(x+1)2−9=0(x+1)2−9=0(2)QUOTE4(x+1)3=324(x+1)【答案】(1)QUOTEx=2x=2或QUOTEx=−4x=−4(2)QUOTEx=1x=1【分析】本题考查了平方根和立方根的概念，正确理解平方根和立方根的概念是解题的关键．（QUOTE11）把方程化为QUOTEx+12=9x+12=9，再根据平方根的概念解方程即可；（QUOTE22）把方程化为QUOTEx+13=8x+13=8，再根据立方根的概念解方程即可；【详解】（1）解：QUOTE(x+1)2−9=0(x+1)2−9=0∴QUOTEx+12=9x+12=9∴QUOTEx+1=卤3x+1=卤3，∴QUOTEx+1=3x+1=3或QUOTEx+1=−3x+1=−3，解得：QUOTEx=2x=2或QUOTEx=−4x=−4；（2）解：QUOTE4(x+1)3=324∴QUOTEx+13=8x+13=8∴QUOTEx+1=2x+1=2，解得：QUOTEx=1x=1．17．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）求下列各式中的x值：(1)QUOTE3x2−12=03(2)QUOTEx−13=−64x−13【答案】(1)QUOTE(2)QUOTEx=−3x=−3【分析】本题考查了利用立方根、平方根解方程，熟练掌握立方根和平方根的定义是解此题的关键．（1）整理后，再利用平方根解方程即可；（2）利用立方根解方程即可．【详解】（1）解：QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭磝=卤2鈭磝=卤2；（2）解：QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭磝=−3鈭磝=−3．18．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知QUOTE，求QUOTEx−2xy−34y+xx−2xy−3【答案】QUOTE−3−3【分析】此题考查了平方根的定义，立方根的定义，立方根的化简及混合计算．根据平方根及立方根的定义求出QUOTEx=25x=25或QUOTE−1−1，QUOTEy=0.5y=0.5，再代入计算即可．【详解】解：∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTEx=25x=25或QUOTE−1−1，QUOTEy=0.5y=0.5，当QUOTEx=25x=25时，QUOTEQUOTE=5−5−3=−3=5−5−3=−3；当QUOTEx=−1x=−1时，原式没有意义，舍去．考点五：平方根与立方根综合19．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）已知QUOTE2x+12x+1是49的算术平方根，QUOTEx+4y−10x+4y−10的立方根是QUOTE−3−3．(1)求QUOTEx,yx,y的值；(2)求QUOTE2x−y2x−y的立方根．【答案】(1)QUOTEx=3x=3，QUOTEy=−5y=−5(2)QUOTE311311【分析】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的立方根：（1）对于两个实数a、b若满足QUOTEa2=ba2=b，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足QUOTEa3=ba3=b，那么a就叫做b的立方根，可得QUOTE2x+1=49=72x+1=49=7，QUOTE3+4y−10=−33（2）根据（1）所求求出QUOTE2x−y2x−y的值，再根据立方根的定义求解即可．【详解】（1）解；∵QUOTE2x+12x+1是49的算术平方根，∴QUOTE2x+1=49=72x+1=49=7∴QUOTEx=3x=3，∵QUOTEx+4y−10x+4y−10的立方根是QUOTE−3−3，∴QUOTE3+4y−10=−333+4y−10=−33∴QUOTEy=−5y=−5；（2）解：由（1）得QUOTEx=3x=3，QUOTEy=−5y=−5，∴QUOTE，∴QUOTE2x−y2x−y的立方根是QUOTE311311．20．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）一个正数QUOTExx的平方根是QUOTE2a−32a−3与QUOTE5−a5−a，QUOTEyy的立方根是QUOTE−3−3，求QUOTEx+y+3x+y+3的算术平方根．【答案】QUOTE55【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，解题的关键是掌握平方根，立方根，算术平方根的定义．根据平方根的定义求出QUOTEaa，进而求出QUOTExx，再根据立方根的定义求出QUOTEyy，然后求出QUOTEx+y+3x+y+3的值，最后根据算术平方根的定义即可求解．【详解】解：QUOTE一个正数QUOTExx的平方根是QUOTE2a−32a−3与QUOTE5−a5−a，QUOTEQUOTE2a−3+5−a=02a−3+5−a=0，解得QUOTEa=−2a=−2，QUOTEQUOTE2a−3=−72a−3=−7，QUOTE5−a=75−a=7，QUOTEQUOTEx=49x=49，∵QUOTEyy的立方根是QUOTE−3−3，，QUOTEQUOTEy=−27y=−27，QUOTEQUOTEx+y+3=49−27+3=25x+y+3=49−27+3=25，QUOTEQUOTEx+y+3x+y+3的算术平方根QUOTE25=525=5．21．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知QUOTE2a−12a−1的平方根是QUOTE卤3卤3，QUOTEb−9b−9的立方根是2，QUOTE2c−6=02c−6=0．(1)求a、b、c的值；(2)求QUOTEa+b+ca+b+c的算术平方根．【答案】(1)QUOTEa=5a=5，QUOTEb=17b=17，QUOTEc=3c=3(2)QUOTE55【分析】本题考查了平方根、立方根，算术平方根及其非负性，代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题关键．（1）根据平方根、立方根，以及算术平方根的非负性求解即可；（2）根据（1）所得结果，求出QUOTEa+b+c=25a+b+c=25，进而得出算术平方根即可．【详解】（1）解：QUOTE鈭?a−1鈭?a−1的平方根是QUOTE，QUOTEb−9b−9的立方根是2，QUOTE2c−6=02c−6=0，QUOTE，QUOTEb−9=8b−9=8，QUOTE2c−6=02c−6=0，QUOTE鈭碼=5鈭碼=5，QUOTEb=17b=17，QUOTEc=3c=3；（2）解：由（1）可知，QUOTEa=5a=5，QUOTEb=17b=17，QUOTEc=3c=3，QUOTE，QUOTE鈭碼+b+c鈭碼+b+c的算术平方根是5．22．（23-24七年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知QUOTEA=a−22a+bA=a−22a+b表示9的算术平方根，QUOTE4b−c4b−c的立方根是2，d是QUOTE1414的小数部分．(1)求a、b、c、d的值；(2)求QUOTE3a+b+c3a+b+c的平方根．【答案】(1)QUOTEa=4,b=1a=4,b=1，QUOTEc=−4c=−4，QUOTEd=3d=3；(2)QUOTE．【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算．熟练掌握平方根，立方根的定义，以及无理数的估算方法，是解题的关键．（1）根据平方根，立方根的定义，求出QUOTEa,ba,b的值，无理数的估算求出c的值；（2）将QUOTEa,b,ca,b,c的值代入代数式，进行计算即可．【详解】（1）解：∵QUOTEA=a−22a+bA=a−22a+b∴QUOTEa−2=2,2a+b=9a−2=2,2a+b=9，∴QUOTEa=4,b=1a=4,b=1，∵QUOTE4b−c4b−c的立方根是2，∴QUOTE4b−c=84b−c=8，∴QUOTEc=−4c=−4，∵QUOTE9<14<169<14<16，∴QUOTE3<14<43<14∴QUOTE1414的整数部分为3，∴QUOTEd=3d=3；（2）解：由（1）∴QUOTE，∴QUOTE3a+b+c3a+b+c的平方根是QUOTE．23．（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知正数a的两个平方根分别是QUOTE2x−32x−3和QUOTE1−x1−x，且QUOTE31+2b31+2b与QUOTE33b−533b−5相等，求QUOTEa+2ba+2b的算术平方根．【答案】QUOTE1313【分析】本题主要考查了平方根和立方根，算术平方根，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义和性质．根据平方根的性质可得x的值，代入QUOTE1−x1−x可得a的值；根据立方根的性质和相反数的性质即可求得b，然后代入QUOTEa+2ba+2b求解即可．【详解】解：因为正数a的两个平方根分别是QUOTE2x−32x−3和QUOTE1−x1−x，所以QUOTE2x−3+1−x=02x−3+1−x=0所以QUOTEx=2x=2所以QUOTEa=1−x2=1−22因为QUOTE31+2b31+2b与QUOTE33b−533b−5相等所以QUOTE1+2b=3b−51+2b=3b−5所以QUOTEb=6b=6所以QUOTE．所以QUOTEa+2ba+2b的算术平方根是QUOTE1313．考点六：立方根的实际应用24．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块．(1)求该正方体铁块的棱长；(2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长．【答案】(1)正方体铁块的棱长为QUOTE66厘米(2)长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米【分析】本题考查立方根和算式平方根的实际应用：（1）根据正方体的体积公式进行求解即可；（2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积公式求出底面正方形的边长即可．【详解】（1）解：由题意，该正方体铁块的棱长为QUOTE3216=63216=6答：正方体铁块的棱长为QUOTE66厘米；（2）由题意，长方体的体积为：QUOTE立方厘米，∴长方体的底面面积为：QUOTE平分厘米，∴长方体铁块的底面正方形的边长为QUOTE25=525=5厘米．答：长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米．25．（2024七年级上·浙江·专题练习）老师布置每名同学做一个正方体盒子，做好后，小明对小强说：“我做的盒子表面积是QUOTE96cm296cm2，你的呢？”小强低头想了一下说：“先不告诉你，我做的盒子比你的盒子体积大QUOTE665cm3665cm【答案】它的表面积是QUOTE486cm2486cm【分析】本题考查了算术平方根，立方根，用到的知识点是算术平方根的求法，关键是根据正方体的面积和体积公式解答．根据正方体的表面积，列出算式可求正方体的棱长，进一步得到小强的盒子体积，根据正方体的体积公式得到棱长，再根据长方体的表面积公式即求解．【详解】解：QUOTE96?6=16cm296?6=16cm2QUOTE16=4cm16=4cmQUOTE44，QUOTE4?4?4=64cm34?4?4=64cm3QUOTE64+665=729cm364+665=729cm3QUOTE3729=9cm3729QUOTE9?9?6=486cm29?9?6=486cm2答：它的表面积是QUOTE486cm2486cm226．（23-24七年级下·广东珠海·期末）如图1所示的正方形铁板是由两张大小相同的长方形铁板拼接而成的，已知一个长方形铁板的面积为72平方厘米．(1)求正方形铁板的边长；(2)若将该正方形铁板进行裁剪，然后拼成一个体积为64立方厘米的无盖正方体容器，求剩余的铁板面积；(3)若工人把这个正方形铁板加工成如图2的零件，QUOTE，QUOTE，测得QUOTEFG=5.4cmFG=5.4cm，请直接写出这个零件的周长．【答案】(1)12厘米(2)64平方厘米(3)58.8厘米【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解答；（2）由正方体的体积公式求得正方体的棱长，然后由正方形的面积公式进行解答；（3）利用平行线的性质及平移的性质，找到QUOTEHG+FE+DC=AB,AH+FG+ED=BC+2FGHG+FE+DC=AB,AH+FG+ED=BC+2FG即可求解．【详解】（1）解：依题意得：QUOTE厘米，答：正方形纸板的边长为12厘米；（2）解：依题意得：QUOTE364=4364=4则剪切纸板的面积QUOTE平方厘米，剩余纸板的面积QUOTE=2脳72−80=64=2脳72−80=64平方厘米，即剩余的正方形纸板的面积为64平方厘米．（3）解：由图及条件可知：QUOTEHG+FE+DC=AB,AH+FG+ED=BC+2FGHG+FE+DC=AB,AH+FG+ED=BC+2FG，故零件的周长为：QUOTE考点七：与立方根有关的规律探究问题1．（23-24七年级下·广西柳州·期中）阅读理解，观察下列式子：①QUOTE38+3−8=2+−2②QUOTE31+3−1=1+−1③QUOTE31000+3−1000=10+−10QUOTE3127+3−1…根据上述等式反映的规律，回答如下问题：(1)根据以上式子的规律，写出一个类似的等式：______．(2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数QUOTEaa，QUOTEbb，若______，则QUOTE3a+3b=03a+3b=0(3)根据上述的真命题，解答问题：若QUOTE33−2x33−2x与QUOTE3x+53x+5的值互为相反数，求QUOTExx的值．【答案】(1)QUOTE364+3−64=4+−4(2)QUOTEa+b=0a+b=0(3)QUOTE88【分析】本题考查了立方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键．（1）观察规律，写出一个类似的等式即可；（2）用含QUOTEaa、QUOTEbb的式子表达规律即可得答案；（3）根据题意列出一元一次方程，解方程求出QUOTExx的值即可．【详解】（1）解：观察规律可写出类似的等式，如QUOTE364+3−64=4+−4故答案为：QUOTE364+3−64=4+−4（2）解：由规律可得：对于任意两个有理数QUOTEaa、QUOTEbb，若QUOTEa+b=0a+b=0，则QUOTE3a+3b=03a+3b=0，故答案为：QUOTEa+b=0a+b=0．（3）解：若QUOTE33−2x33−2x与QUOTE3x+53x+5的值互为相反数，则QUOTE3−2x+x+5=03−2x+x+5=0解得：QUOTEx=8x=8．2．（23-24八年级·全国·假期作业）观察下列规律回答问题：QUOTE3−0.001=−0.13−0.001=−0.1，QUOTE3−1=−13−1=−1，QUOTE3−1000=−103−1000=−10，QUOTE30.001=0.130.001=0.1，QUOTE31=131=1，QUOTE(1)则QUOTE30.000001=30.000001=；QUOTE3106=3106=；按上述规律，已知数QUOTEaa小数点的移动与它的立方根QUOTE3a3a的小数点移动间有何规律？(2)已知QUOTE3x=1.5873x=1.587，若QUOTE3y=−0.15873y=−0.1587，用含QUOTExx的代数式表示QUOTEyy，则QUOTEy=y=；(3)根据规律写出QUOTE3a3a与a的大小情况．【答案】(1)QUOTE(2)﹣QUOTEx1000x1000(3)当QUOTEa<−1a<−1或QUOTE0<a<10<a<1时，QUOTE3a>a3a>a；当QUOTEa=−1a=−1或QUOTEa=1a=1时，QUOTE3a=a3a=a；当QUOTE−1<a<0−1<a<0或QUOTEa>1a>1时，QUOTE3a<a3a<a．【分析】（1）根据立方根的概念进行求解、归纳；（2）运用（1）题规律进行求解；（3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳．【详解】（1）解：QUOTE30.000001=0.0130.000001=0.01；QUOTE3106=1003按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位，故答案为：QUOTE；（2）解：由（1）中规律可得，已知QUOTE3x=1.5873x=1.587，若QUOTE3y=−0.15873y则QUOTEyy的绝对值是QUOTExx的QUOTE1100011000且符号相反；用含QUOTExx的代数式表示QUOTEyy，则QUOTEy=−x1000y=−x1000，故答案为：QUOTE−x1000−x1000（3）解：QUOTEQUOTE3−0.001=−0.13−0.001=−0.1，QUOTE3−1=−13−1=−1，QUOTE3−1000=−103−1000=−10，QUOTE30.001=0.130.001=0.1，QUOTE31=131=1，QUOTEQUOTEQUOTE3a3a与QUOTEaa的大小情况为：当QUOTEa<−1a<−1或QUOTE0<a<10<a<1时，QUOTE3a>a3a>a；当QUOTEa=−1a=−1或QUOTEa=1a=1时，QUOTE3a=a3a=a；当QUOTE−1<a<0−1<a<0或QUOTEa>1a>1时，QUOTE3a<a3a<a．【点睛】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳．3．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）观察下表，并解决问题．a0.00010.01110010000a0.010.1110100(1)①随着被开方数的小数点的移动，它的算术平方根的小数点是怎样移动的？请归纳总结这一规律；②已知QUOTE则QUOTE．(2)①猜想被开方数的小数点移动和它的立方根的小数点移动有怎样的关系？写出你的猜想；②已知QUOTE请用含m的式子表示n．【答案】(1)①被开方数a的小数点每向右移两位，它的算术平方根QUOTEaa的小数点相应向右移一位；②0.447；(2)①被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位；②QUOTEn=106mn=【分析】本题考查算术平方根、立方根的变化规律，熟练掌握算术平方根、立方根的变化规律是解决本题的关键．（1）①从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律；②根据（1）的规律即可得出答案；（2）①仿照算术平方根的规律探讨被开方数与其立方根小数点移动规律；②根据①所求规律解决此题即可．【详解】（1）解：①观察表格可知，被开方数a的小数点每向右移两位，它的算术平方根QUOTEaa的小数点相应向右移一位；②∵QUOTE，∴QUOTE，故答案为：QUOTE0.4470.447；（2）解：①∵QUOTE，∴规律是：被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位；②∵QUOTE，∴QUOTEn=1000000m=106mn=1000000m=10考点八：与立方根有关的材料阅读问题30．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)求QUOTE359319359319．①由QUOTE103=1000103=1000，QUOTE1003=10000001003=1000000，可以确定QUOTE359319359319是②由59319的个位上的数是9，可以确定QUOTE359319359319的个位上的数是；③如果划去59319后面的三位319得到数59，而QUOTE33=27,43=6433=27,43=64，可以确定QUOTE359319359319的十位