概率论与数理统计课后习题习题详解第五章

习题解答习题5.11．设样本值如下：15，20，32，26，37，18，19，43、样本方差、2阶样本矩及2阶样本计算样本均值中心矩．解由样本均值的计算公式，有1818xx152032263718194326.258ii1由样本方差的计算公式，有18128s2xx102.21ii1由2阶样本矩的计算公式，有18a2x2778.5i8i1由2阶样本中心矩的计算公式，有128b2xx89.448ii12.设总体X~N(12,4)(X,X,,X)是来自总体X，的样本，求概率125P{maxX(X,X,X,X,).12}12345解P{maxX(X,X,X,X,)12}123451(0)51(1)531322XnE(X)D(X).的均值，求和3.设总体X～P（），是容量为的样本解因总体X～P（），故有E(X),D(X)，于是E(X)E(X)D(X)D(X)nn4.某保险公司记录的n6起火灾事故的损失数据如下（单位：万元）：1.86,0.75,3.21，2.45，1.98,4.12.求该样本的经验分布函数.解将样本观测值排序可得：0.751.861.982.453.21则经验分布函数为0,x0.751.861.981,0.7x561,1.8x631F(x),1.98x2.452623,2.45x3.215,3.21x4.12x4.1261,5．求标准正态分布的上侧0.01分位数和上侧0.48分位数.N(0,1)uX，求的上侧分位数.即求使满足X解由题知，～PXu得即PXu1u1取0.01，查标准正态分布表得上侧0.01分位数为uu2.330.01取0.48，查标准正态分布表得上侧0.48分位数为uu0.050.48习题5.21.设总体X~N(8,36)，(X,X,,X)是取自总体XX的样本，是样本均值，求129P{|X7|2}．36n9X~N(8,),即X~N(8,4)，于是解因X~N(8,36)，且样本容量，故9P{|X7|2}P{5X9}9858()2()2(0.5)(1.5)(0.5)(1.5)10.69150.933210.6247X~2(9)，求使其满足P(X)0.952.设X~2(9)，所以查表可得，因为解由P(X)0.95，得P(X)0.052(9)16.9190.05X~N(0,1(X,X,,X)是取自总体的样本，求X3.设总体，1210E(X2X2X)2及D(X2X2X2).12101210~(0,1)(i1,2,,10)XNiX,X,,X相互独10解由总体X~N(0,1)可知，且12立，于是(X2X2X2)~2(10)1210故有E(X2X2X2)101210D(X2X2X2)2102012104.设总体X～N（20，3），从中独立地抽取容量分别为10和15的两个样本，求它们的样本均值之差的绝对值大于0.3的概率．解设这两个样本分别为X,X,,X和Y,Y,,Y，则对样本均值有15121012X1X～N(20,3),Y1Y～N(20,3)101510101515iii1i11XYN(0,)依定理～，所以2PXY0.3PXY0.30.50.5XY1P0.30.50.51（（0.3）-（-0.3））0.50.50.312（）10.67440.5(查标准正态分布表可得)tP(Xa)0.05；（P(Xb)0.992）求b使得P(Xa)0.05，查表可得a使得(1)求5.设X～(12)，P(Xa)0.05解（t利用分布的对称性可得1）由at(12)1.7823a1.78230.05P(Xb)0.99P(Xb)0.01t（2）由得，又由分布的对称性可得P(Xb)0.01于是bt(12)2.6810b2.68100.01P(X)0.01.X~F(8,12)6.设，求使得P(X)0.01得P(X)0.99，于是查表可得解由110.176f(8,12)0.99f(12,8)5.670.01习题5.3S21．设总体X～N（，4），（X，X，…，X）为其样本，为样本方差，求：12162.279S24.865．S6.666（1）P2；（2）P解因为n1S22n12～所以本题中15S215～241524.99752154S26.666P15PS6.666P则(1)241524.997510.050.951P215415152.279S24.86544P2.279S24.865P(2)1518.24375P8.5462521518.243752P0.900.250.62.总体X~N(0,)(X,X,,X)158.54625P2X和SX是总体的样本，2分别是样本均值，212255XP()0.99.和样本方差，求，使S解根据抽样分布定理知X05X~t(24)S/25S5XP()0.99得又由S5XP()0.01St(24)2.4922故查表可得0.01n3．设总体X～N（30，64），为使样本均值大于28的概率不小于0.9，样本容量至少应是多少？64XN(30,64)XN(30,)解因为～，所以样本均值.～nX30N0,1～，故因此8nPX281PX28X3028301P8n8n1441n0.91n1n1.29n27n查标准正态分布表可得，，解得，所以至少应取27.42(，16)(，36)相互独立，（X，X，…，12*4．设总体X～N与总体Y～N1X）和（Y，Y，…，Y10）分别为来自总体X和总体Y的样本．试求两总体样本方差之1213比落入区间（0.159，1.058）内的概率．n1S22n1，所以本题中～2解因为12S9S9～221212,236～216又因为12S212919S16212FF12,9～9S4S22236从而1.0584S99S29P0.159S121.058P0.159144S2222P0.35775F12,92.38050.85（查F分布表*5.设从两个正态总体X~N(4,1)和Y~N(6,1)中分别独立地抽取两个样本S2)00.5(X,X,,X)和(Y,Y,,Y)，样本方差分别为S2和SP(12.求，使.S121912161222解根据抽样分布定理可知S221~F(18,15)S2SS又由P(2)0.05可得P(1122)0.95，于是查表可得SS222110.44f(18,15)0.95f(15,18)2.270.05*6．设总体X与总体Y相互独立，且都服从正态分布N（0，9），（X，X，…，X9）129Xi和（Y，Y，…，Y9）分别为来自总体X和Y的样本．试证明统计量T=i1服129Y2ii1t从自由度为9的分布．证明由正态分布的性质及样本的独立性知9X～N(0,92)ii1得199X～N(0,1)ii1又因为Y～N(0,9)(i1,2,,9)i所以9Y39～92YYY12222Y2Y21233129XY由于两个总体和是相互独立的，所以其相应的样本也是相互独立的，19199XYit2也相互独立，于是由分布的定义知故与9ii1i11999XXi～t9iTi1i1199YY9229iii1i1综合练习五一、填空题1．设总体X的一组样本观测值为1.4，2.3，1.8，3.4，2.7xs)，样本方差2=(0.607则样本均值=(2.32)．2．设总体X服从正态分布N（2，5），（X，X，…，X10）为其样本，则样本均值121N2，X的分布为()．2nX3．设总体X服从具有个自由度的分布，（X，X，…，X）为其样本，212nE(X)(n)，D(X)(2)．为样本均值，则有2X～N（，），（X，X，…，Xn）为其样本，、分别为样12XS24．设总体(n1)S2n22(n1)N，X本均值和样本方差，则有～()，～()，2Xt(n－1))．～(Sn5．设总体X～N（1，4），（X，X，…，X5）为其样本，令12a(XX)2b(2XXX)2T=12345112(2)．)时有T～)、b(a则当=(824二、选择题1．设总体X～N（，1），其中为未知参数，若（X，X，…，X）为来自总12n体X的样本，则下列样本函数中((b))不是统计量．nn2X(X)(a)；(b)(d)；iii1i1nX(c)XX…X；．2i12ni1X2．设总体X～N（2，4），（X，X，…，X）为其样本，为样本均值，则下列129统计量中服从标准正态分布的是((c))．34(X2)；X(a)；(b)392(X2)．(X2)；(c)(d)23．设总体X～N（0，1），（X，X，…，X）为其样本，令1253(XX)2T=2(XXX)212345则有T～((b))．t(a)(5)；(b)F(1，1)；(c)F(2，3)；(d)F(3，2)．10，4．设总体X～N，（X，X，…，X5）为其样本，令4122XT15X2ii2则有T～((d))．t(a)(1)；t(b)(2)；t(c)(3)；t(d)(4)．XS25．设总体X～N（0，1），（X，X，…，Xn）为其样本，、分别是样本均12值和样本标准差，则((c))．nX～N（0，1）：X～N（0，1）；(a)(c)(b)XnXt～(n－1)．2～2(n)；(d)Sii16．设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则((c))．2分布；XY服从正态分布；X2Y2服从(a)(c)(b)X2Y2XY2和都服从2分布；(d)服从F分布．2三、解答题1nX~N(2,16)(X,X,,X)AXAX1．设总体，是总体的样本，令，求2n12n2i2i1的数学期望E(A).2解因为X~N(2,16)，所以~(2,16)(i1,2,,n)，则有XNiE(X2)D(X)E2(X)16420iii于是1E(X2)1n2020nE(A)2nnii12．设总体X~N(15,9),(X,X,,X)XX是总体的样本，是样本均值，.求常，129数c，使P(Xc)0.95.解根据抽样分布定理可知X~N(15,1)又由P(Xc)0.95可得P(Xc)(c15)0.951查表可得c151.645c16.645，于是得X,3.设一组数据20.5，15.5，30.2，20.5，18.6,21.3，18.6，23.4来自于总体求经验分布函数.解将样本观测值排序可得：15.518.618.620.520.521.32则由定义可得经验分布函数为0,x15.51,15.5x18.683,18.6x20.585F(x),20.5x21.3886,21.3x23.487,23.4x30.081,x30.2abc4．设总体X～N（0，4），（X，X，…，X9）为其样本．求系数、、，使12得a(XX)2b(XXX)2c(XXXX)2T=123456789服从2分布，并求其自由度．X,X,,X9XN(0,4)相互独立且来自总体～，则由正态分布的线性解由于12运算性质有XX1N(0,8)XXXN(0,12)～，～，2345XXXX～9N(0,16)678于是，由2分布与正态分布的关系，有22XXXX29XXXXXT1234567816812a,b1,c11，自由度为81216（3）。3服从2分布，因此2S5．设总体X～N（，4），（X，X，…，X16）为其样本，为样本方差，求常12P(S2c)0.95.数c，使解根据抽样分布定理可知15S2~2(15)41515而由P(S2c)0.95可得P(S2c)0.95，进而可得44P(S2