2018版高中数学第三章函数应用321几类不同增长函数模型学案新人教A版

几类不一样增添的函数模型学习目标1.掌握常有增添函数的定义、图象、性质、并领会增添快慢；理解直线上涨，对数增添，指数爆炸的含义(要点).2.会剖析详细的实质问题，并进行数学建模解决实质问题(要点)．预习教材P95－P101，达成下边问题：知识点三种函数模型的性质y＝ax(a>1)y＝logaxy＝xn(n>0)(>1)a在(0，＋∞)上增函数增函数增函数的增减性图象的变化随x增大渐渐近似与y随x增大渐渐近似与x趋向轴平行轴平行随n值而不一样①y＝ax(a>1)：跟着x的增大，y增添速度愈来愈快，会远远大于y增添速度＝n(>0)的增添速度，＝loga(>1)的增添速度愈来愈慢xnyxa②存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax【预习评论】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当x每增添一个单位时，y增添或减少的量为定值，则y是x的一次函数．()(2)函数y＝log1x衰减的速度愈来愈慢．()2(3)不存在一个实数m，使适当x>m时，1.1x>x100.()提示(1)√由于一次函数的图象是直线，因此当x增添一个单位时，y增添或减少的量为定值．√由函数y＝log1x的图象可知其衰减的速度愈来愈慢．2(3)×依据指数函数和幂函数增添速度的比较可知存在一个实数m，使适当x>m时，1.1x>x100.题型一几类函数模型的增添差别【例1】(1)以下函数中，增添速度最快的是( )A．y＝2017xB．y＝x2017C．y＝log2017xD．y＝2017x(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据以下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则对于

x呈指数型函数变化的变量是

________．分析

(1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增添速度最快，应选

A．(2)以爆炸式增添的变量呈指数函数变化．从表格中能够看出，四个变量

y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是愈来愈大，可是增添速度不一样，此中变量画出它们的图象(图略)，可知变量y2对于x呈指数型函数变化．答案(1)A(2)y2规律方法常有的函数模型及增添特色

y2的增添速度最快，线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增添特色是直线上涨，其增添速度不变．(2)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝x＋(a，，为常数，>0，>1)表达的abcbcab函数模型，其增添特色是跟着自变量x的增大，函数值增添的速度愈来愈快，常称之为“指数爆炸”．对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m>0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增添的特色是开始阶段增添得较快，但跟着x的渐渐增大，其函数值变化得愈来愈慢，常称之为“蜗牛式增添”．幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增添状况由a和α的取值确立．【训练1】以下函数中随x的增大而增添速度最快的是( )A．y＝1exB．y＝100lnxC．y＝x100D．y＝100·2x100分析指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增添，而且a值越大，增添速度越快，应选A．答案A典例迁徙题型二指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【例xA(x1，y1)，2】函数f(x)＝2和g(x)＝x3的图象以下图．设两函数的图象交于点(2，2)，且1<2.Bxyxx请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．联合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2011)，g(2011)的大小．解(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)由于f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，因此1<x1<2,9<x2<10，因此x1<6<x2,2011>x2，从图象上可以看出，当x1<<2时，(x)<(x)，因此f(6)<g(6)．当>2时，(x)>()，因此f(2011)>g(2xxfgxxfgx011)．又由于g(2011)>g(6)，因此f(2011)>g(2011)>g(6)>f(6)．【迁徙1】(变换条件)在例2中，若将“函数f(x)＝2x”改为“f(x)＝3x”，又怎样求解第(1)题呢？解由图象的变化趋向以及指数函数和幂函数的增添速度可知：C1对应的函数为g(x)＝x3，2对应的函数为f()＝3x.Cx【迁徙2】(变换所求)本例条件不变，例2(2)题中结论改为：试联合图象，判断f(8)，g(8)，f(2015)，g(2015)的大小．解由于f(1)>g(1)，(2)<(2)，(9)<(9)，(10)>(10)，因此1<x1<2,9<x2<10，所fgfgfg以x1<8<x2，2015>x2，从图象上能够看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，因此f(8)<g(8)，当x>x2时，f(x)>g(x)，因此f(2015)>g(2015)，又由于g(2015)>g(8)，因此f(2015)>g(2015)>g(8)>f(8)．规律方法由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法依据图象判断增添型的指数函数、对数函数和幂函数时，往常是察看函数图象上涨得快慢，即跟着自变量的增添，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于缓和的函数是对数函数．题型三函数模型的选择问题【例3】某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量挨次为100t,120t,130t.为了展望此后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依照，用一个函数来模拟月产量()与月序数x之间的关系．对此模拟函数可采纳二次函数y＝( )＝2ytfxax＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)

，此刻已知该厂这类新产品在第四个月的月产量为

137t，则采纳这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？＝a＋b＋c＝100，解依据题意可列方程组f＝4a＋2b＋c＝120，＝9a＋3b＋c＝130.a＝－5，解得b＝35，c＝70.因此y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①x同理y＝g(x)＝－80×0.5＋140.②f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．与f(4)对比，g(4)在数值上更加靠近第四个月的实质月产量，因此②式作为模拟函数比①式更好，应采纳函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．规律方法成立函数模型应按照的三个原则简化原则：成立函数模型，原型必定要简化，抓主要要素，主要变量，尽量成立较低阶、较简易的模型．可推演原则：成立模型，必定要存心义，既能作理论剖析，又能计算、推理，且能得出正确结论．反应性原则：成立模型，应与原型拥有“相像性”，所得模型的解应拥有说明问题的功能，能回到详细问题中解决问题．【训练2】某债券市场刊行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购置者，剖析这三种债券的利润，假如只好购置一种债券，你认为应购置哪一种？解A种债券的利润是每100元一年到期利润3元；B种债券的半年利率为51.4－50，50因此100元一年到期的本息和为1001＋51.4－502≈105.68(元)，利润为5.68元；C种债50券的利率为100－971001＋100－97≈103.09(元)，利润为，100元一年到期的本息和为97973.09元．经过以上剖析，应购置B种债券．讲堂达标1．如表是函数值

y随自变量

x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为

(

)x

4

5

6

7

8

9

10y15171921232527A．一次函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型分析跟着自变量每增添1函数值增添2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．应选A．答案A2．当x愈来愈大时，以下函数中，增添速度最快的应是()A．y＝3xB．y＝log3xC．y＝x3D．y＝3x分析几种函数模型中，指数函数增添最快，应选D．答案D3．某林区的丛林积蓄量每年比上一年均匀增添10.4%，要增添到本来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大概是()分析设该林区的丛林原有积蓄量为a，y由题意，ax＝a(1＋0.104)，故y＝log1.104x(x≥1)，答案D4．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是()A．2x22xxxxx22C．2x2222x＞logx＞xD．x＞logx＞2分析法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2，＝x2，＝2x在区间(2,4)xyy上从上往下挨次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，因此x2＞2x＞log2x.法二比较三个函数值的大小，作为选择题，能够采纳特别值代入法．可取x＝3，经查验易知选B．答案B5．有甲乙两种商品，经销这两种商品所能获取的利润分别是p万元和q万元，它们与13投入资本m(万元)的关系式为p＝5m，q＝5m.今有3万元资本投入这两种商品．若设甲商品投资x万元，投资两种商品所获取的总利润为y万元．写出y对于x的函数表达式；怎样分派资本可使获取的总利润最大？并求最大利润的值．解(1)由题意知，对甲种商品投资x万元，获总利润为y万元，则对乙种商品的投资为(3－x)万元，13因此y＝5x＋5·3－x(0≤x≤3)．(2)令t＝3－x(0≤t≤3)，则x＝3－t2，12313221因此y＝5(3－t)＋5t＝－5t－2＋20，因此当t321＝时，ymax＝＝1.05(万元)．2203由t＝3－x＝2可求得x＝