北京市西城区2020届高三数学第二次模拟考试理科试题

北京市西城区2020年抽样测试高三数学试卷（理科）2020.5本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.题号一二三总分151617181920分数第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项.1.已知会合、B知足AIBA，那么以下各式中必定成立的是（）AA.ABB.BAC.AUBBD.AUBA2.在复平面内，知足条件z(1+i)=2的复数z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设向量a=(1,x-1)，b=(x+1,3)，则“x=2”是“a//b”的（）A.充分但不用要条件B.必需但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不用要条件4.已知一个平面a，那么对于空间内的随意一条直线a，在平面a内必定存在一条直线b，使得a与b（）A.平行B.订交C.异面D.垂直5.已知函数f(x)sinx，￠为f(x)的导函数，那么（）f(x)pA.将f(x)的图象向左平移2pB.将f(x)的图象向右平移2将f(x)的图象向左平移pD.将f(x)的图象向右平移p

个单位能够获得f(x)的图象个单位能够获得f(x)的图象个单位能够获得f(x)的图象个单位能够获得f(x)的图象6.假如数列{an}(an?R)对随意m,n?N*知足am+n=?，且a3=8，那么a10等于()amanA.1024B.512C.510D.2567.设斜率为1的直线l与椭圆C:x2y21订交于不一样的两点A、B，则使|AB|为整数的直线l共有42（）A.4条B.5条C.6条D.7条8.依据程序设定，机器人在平面上能达成以下动作：先从原点O沿北正东偏北（0）方向行走一段时间后，再向正北方向行走yP(x,y)东2一段时间，但的大小以及何时改变方向不定.如右图.假定机器人.行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点地区为S，则S的面积（单位：平方米）等于（）A.100pB.100p-200Ox(m)C.400-100pD.200北京市西城区2020年抽样测试高三数学试卷（理科）2020.5第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共

6小题，每题

5分，共

30分.

把答案填在题中横线上

.9.函数y=ln(x-1)的反函数是

___________.uuruuur设AB=(2,2),AC=(0,4)，则VABC的内角A=___________.11.若(ax2-1)9的睁开式中常数项为84，则a=___________，其睁开式中二项式系数之和为_________.x(用数字作答)ì1cosq?=-+12?(q为参数)上随意一点，A(3,5)，则|PA|的最小值为______________.í??y=2+sinq13.已知一个球的表面积为、、R三点，且每两点间的球面距离均为3p，那么此球144p，球面上有PQ的半径r=___________，球心到平面PQR的距离为__________.14.已知会合A{1,2,3,4}，函数f(x)的定义域、值域都是A，且对于随意iA，f(i)i.设a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的随意一个摆列，定义数表a1a2a3a4f(a1)f(a2)f(a3)，若两个数f(a4)表的对应地点上起码有一个数不一样，就说这是两张不一样的数表，那么知足条件的不一样的数表的张数为_________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分）已知函数f(x)cosx(sinxcosx)1.（Ⅰ）求f(x)的值域和最小正周期；（Ⅱ）设a?(0,p)，且f()1，求的值.16.（本小题满分12分）甲，乙两人射击，每次射击击中目标的概率分别是1,1.现两人玩射击游戏，规则以下：若某人某34次射击击中目标，则由他持续射击，不然由对方接替射击.甲、乙两人共射击3次，且第一次由甲开始射击.假定每人每次射击击中目标与否均互不影响.(Ⅰ)求3次射击的人挨次是甲、甲、乙的概率；(Ⅱ)若射击击中目标一次得1分，不然得0分(含未射击).用ξ表示乙的总得分，求ξ的散布列和数学希望.17.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB^BC,AB=BC=1,AA1=21的中点.，D是AA(Ⅰ)求异面直线AC11与B1D所成角的大小；(Ⅱ)求二面角C-BD-B的大小；1(Ⅲ)在B1C上能否存在一点E，使得DE//平面ABC?若存在，求出B1E的值；若不存在，请说明原因.ECC1B11ADCBA18.（本小题满分14分）1x0,设aR，函数f(x)a,xx(xa)1,x0.(Ⅰ)当a=2时，试确立函数f(x)的单一区间；(Ⅱ)若对任何xR，且x0，都有f(x)x1，求a的取值范围.19.（本小题满分

14分）已知

VAOB的极点

A在射线l:y=

3x(x>0)

上，

A,B

两点对于

x轴对称，O为坐标原点，且线段AB上有一点

M知足

|AM|?|MB|3.

当点

A在

l上挪动时，记点

M的轨迹为

W.(Ⅰ)

求轨迹

W的方程；(Ⅱ)设P(-1,0)，Q(2,0)，求证：?MQP2?MPQ.20.（本小题满分14分）已知f是直角坐标平面xOy到自己的一个映照，点P在映照f下的象为点Q，记作Q=f(P).设P1(x1,y1)，P2=f(P1),P3=f(P2),L,Pn=f(Pn-1),L.假如存在一个圆，使全部的点Pn(xn,yn)(n?N*)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn(xn,yn)的一个收敛圆.特别地，当P1=f(P1)时，则称点P1为映照f下的不动点.(Ⅰ)若点P(x,y)在映照f下的象为点Q(2x,1-y).○求映照f下不动点的坐标；1○若P1的坐标为(1,2)，判断点Pn(xn,yn)(n?N*)能否存在一个半径为3的收敛圆，并说明原因.2(Ⅱ)若点P(x,y)在映照f下的象为点Q(x+y+1,x-y),P1(2,3).求证：点Pn(xn,yn)(n?N*)存在一22个半径为5的收敛圆.北京市西城区2020年抽样测试参照答案高三数学试卷（理科）2020.5一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.题号12345678答案CDADAACB二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9.y=ex+1(x?R)10.45o11.1，51212.413.6，2314.216注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：f(x)cosx(sinxcosx)1=sinx?cosxcos2x+111+cos2x1---------------------------2分=sin2x-2+2=1(sin2x-cos2x)+122=2sin(2x-p)+1，---------------------------4分242由于-1?sin(2xp)?1(此中x?R)，4因此1-2?2sin(2xp)+1?1+2，22422即函数f(x)的值域为[1-2,1+2].---------------------------6分22函数f(x)的最小正周期为2pp.---------------------------8分T==2（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得f(a)=2sin(2a-p)+1=1，242因此sin(2a-p)=2，----------------------------9分42由于0<a<p，因此-p<2a-p<7p，----------------------------10分444因此2a-p=p,或2a-p=3p，4444因此a=p,或a=p.---------------------------12分4216.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：记“3次射击的人挨次是甲、甲、乙”为事件A.---------------------------1分由题意，得事件A的概率P(A)=1?22；---------------------------5分339（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为0,1,2，---------------------------6分P(x=0)=1创1+12创3+23=7；33334349P(x=1)=1创21+2创13=13；P(x=2)=2创11=1.3343447234424因此，x的散布列为：x012P713197224---------------------------10x的数学希望Ex=0?71?132?119.---------------------------12972247217.（本小题满分14分）方法一：（Ⅰ）解：如图，设F为BB1的中点，连结AF，CF，QABC-A1B1C1，且1直三棱柱D是AA的中点，AF//BD,AC//AC，111C1?CAF为异面直线AC11与B1D所成的角或其补角.-----------2分A1在RtVABF中，BF^AB，，，EAB=1BF=1DAF=AB2+BF2=2，同理CF=2，在VABC中，QAB^BC,AB=BC=1,AC=2CG，在VACF中，QAC=AF=CF，?CAF60o，A

分分B1FB异面直线AC11与B1D所成的角为60o.----------------------------4分（Ⅱ）解：Q直三棱柱ABC-A1B1C1，B1B^BC，又AB^BC,ABIBB1=B，BC^平面ABB1D.---------------------------5分如图，连结BD，在VBB1D中，QBD=B1D=2,BB1=2，BD2+B1D2=BB12，即BD^B1D，QBD是CD在平面ABB1D内的射影，CD^B1D，?CDB为二面角C-BD-B的平面角.---------------------------7分1在VBCD中,?CBD90o,BC=1,BD=2，tan?CDBBC=2,BD2二面角C-B1D-B的大小为arctan2.---------------------------9分2（Ⅲ）答：在B1C上存在一点E，使得DE//平面ABC，此时B1E=1.----------------------10分EC以下给出证明过程.证明：如图，设E为B1C的中点，G为BC的中点，连结EG，AG，ED，在VBCB1中，QBG=GC,B1E=EC，EG//BB1，且EG=1BB1，2又AD//BB1，且AD=1BB1，2EG//AD,EG=AD，四边形ADEG为平行四边形，DE//AG，---------------------------12分又AGì平面ABC，DE?平面ABC，DE//平面ABC.---------------------------14分方法二：（Ⅰ）如图，以B为原点，BC、BA、1、、z轴，成立空间直角坐标系O-xyz，BB分别为xy则B(0,0,0),C(1,0,0),A(0,1,0),B1(0,0,2),C1(1,0,2),A1(0,1,2),D(0,1,1)，uuuuruuurQAC11=(1,-1,0),B1D=(0,1,-1),---------------------------2分uuuuruuuruuuruuur1,AC11×B1D，cos<ACBD>=uuuruuur=-111|AC11|×|B1D|2异面直线AC11与B1D所成的角为60o.---------------------------4分（Ⅱ）解：Q直三棱柱ABC-A1B1C1，B1B^BC，又AB^BC,ABIBB1=B，zBC^平面ABB1D.C1B1---------------------------5分A1如图，连结BD，E在VBBD中，QBD=B1D=2,BB1=2，D1BD2+B1D2=BB12，即BD^B1D，GxCBQBD是CD在平面ABB1D内的射影，AyCD^B1D，?CDB为二面角C-BD-B的平面角.---------------------------7分1uuur1,-uuur1)，QDC=(1,-1),DB=(0,-1,-uuuruuur6cos?CDBDC×DB，uuuruuur=3|DC|×|DB|二面角C-B1D-B的大小为arccos6.-----------------------------9分3（Ⅲ）同方法一.---------------------------14分18.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当x0时，f(x)=-1+2，x由于￠1，2>0f(x)=x因此f(x)在(-?,0)上为增函数；---------------------------3分当x0时，f(x)=x(x-2)-1，￠31，---------------------------4分x-x由f￠(x)>0，解得x>2，3由f￠(x)<0，解得0<x<2，3因此f(x)在(2,+?)上为增函数，在(0,2)上为减函数.33综上，f(x)增区间为(-?,0)和(2,+?)，减区间为(0,2).---------------------------7分3131（Ⅱ）解：当x0时，由f(x)x1，得ax1，即a1，xx1x设g(x)x1，x因此g(x)[(1)(x)]12(x)(1)13（当且仅当x=-1时取等号），xx因此当x=-1时，g(x)有最大值3，由于对任何x0，不等式a1x1恒成立，x因此a3；---------------------------10分当x>0时，由f(x)x1，得x(xa)1x1，即a<x-x，设h(x)=x-x，则h(x)=x-x=(x-1)2-1，24因此当x=1，即x=1时，h(x)有最小值1，244由于对任何x0，不等式a<x-x恒成立，因此a1.--------------------------13分4综上，实数a的取值范围为3a1.---------------------------14分419.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由于A,B两点对于x轴对称，因此AB边所在直线与y轴平行.设M(x,y)，由题意，得A(x,3x),B(x,-3x)，----------------------------2分因此|AM|3xy,|MB|y3x，由于|AM|?|MB|3，因此(3xy)(y3x)3，即x2y21，----------------------------5分3因此点M的轨迹W的方程为x2y21(x0).-----------------------------6分3（Ⅱ）证明：设M(x0,y0)(x00)，由于曲线x2y21(x0)对于x轴对称，3因此只需证明“点M在x轴上方及x轴上时，MQP2MPQ”成立刻可.以下给出“当y00时，MQP2MPQ”的证明过程.由于点M在x2y21(x0)上，因此x01.3当x0=2时，由点M在W上，得点M(2,3)，此时MQPQ,|MQ|3,|PQ|3，因此MPQ4,MQP，则MQP2MPQ；--------------------------8分2x12时，直线PM、QM的斜率分别为kPMy0,kQMy0，x0x021由于x01,x02,y00，因此kPMy00，且kPMy01，x01x01又tanMPQkPM，因此MPQ(0,)，且MPQ4，2y02tanMPQ2因此tan2MPQx012y0(x01)，---------------10分1(tanMPQ)21y0)2(x01)2y02(x012y021，即23x23，由于点M在W上，因此x03y00因此tan2MPQ2y0(x01)y0，(x1)2(3x23)x2000由于tanMQPkQM，因此tanMQPtan2MPQ，-----------------------------12分在MPQ中，由于MPQ(0,)，且MPQ，MQP(0,)，24因此MQP2MPQ.综上，适当y00时，MQP2MPQ.因此对于轨迹W的随意一点M，MQP2MPQ成立.-----------------------------14分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）○1解：设不动点的坐标为P0(x0,y0)，ì=2x010，解得由题意，得?x0=0,y0=，í?=1-y02?y0因此映照f下不动点为P0(0,1).---------------------------2分22结论：点P(x,yn)不存在一个半径为3的收敛圆.○nn证明：由P1(1,2)，得P2(2,-1),P3(4,2),P4(8,-1)，因此1