第13讲 数列概念和等差数列

个性化教学计方案编制：审：基本信息课时安排

学员姓名课题名称

学科课时计划

第)课时

年级班级上课时间

年月日教学目标[习目标]

教学重点教学难点个性化问题

时间：共)课时通项公式与前n项之间的关系等差数列通项公式与前n项公式等差数列性质及应用教学过程数列的概念与等差数列第1模块列的概念1．了解数的概念和几种简单的表示方列表、图象、项公式)．2．了解数是自变量为正整数的一类函数1．理解等数列的概念．2．掌握等数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等数列与一次函数、二次函数的关系知识梳理1．数列的概念数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1，通常也叫做首项．数列的通项公式如果数列{}第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的n通项公式．数列的前项和在数列{}，＝＋＋„叫做数列的前n项和．n22．数列的表示方法表示方法列表法

列表格表达nf(n)的对应关系/7

**1nnnn1n＋2n图象法公通**1nnnn1n＋2n

把点(n，())画在平面直角坐标系中把数列的通项使用通项公式表达的方法式法

递推公式

使用初始值a和＝(a)或，和＝(，)等表达数列的方法1＋1n121n数列的函数特征：上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集{1,2，„}函数＝f())当自变量由小到大依次取值时所对应的一列函数n值．3．数列的分类分类原则按项数分类单调性

类型有穷数列无穷数列递增数列递减数列常数列

满足条件项数有限项数无限a＞ana＜ana＝an

其中n∈N摆动数列

从第二项起些项大于它的前一项些项小于它的前一项的数列周期性

n∈N，存在正整数常数，a＝nn★★★★★与S的关系n，n＝1，若数列{}前n和为S，则＝，≥－辨析感悟1．对数列概念的认识数列与数列6,5,4,3,2,1表示同一数列．(×)，„成一个数列．(×)2．对数列的性质及表示法的理解1＋(3)(教材练习改编)数列„项公式，只能是＝.(×n任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．×)(5)(2013·开封模拟改编)知＝＋，则＝2·3nn

n

.(×)[悟·提升]．“数列”与“数集”的区别数列与数集都是具有某种属性的数的全体，数列中的数是有序的，而数集中的元素是无序的，同一/7

nn1＋nn＝＋又a＝2＋1符合上式，因此a＝n＋n2n＋＋n＋1nn1n1＋n1n23n1nnn1＋nn＝＋又a＝2＋1符合上式，因此a＝n＋n2n＋＋n＋1nn1n1＋n1n23n1n1n111n1n1nn12关于数列概念的注意事项一是注意数列不仅有递增递减数列还有常数列摆动数列如．n为奇数，二是数列的通项公式不唯一，如3)中还可以表示为＝n为偶数.三是已知S求时，一定要验证n＝1的特殊情形，如(5).nn本模块考点

由递推公式求数列的通项公式【例】在数列{}，n若a＝2a＝＋，则通项＝________；1n1nn若a＝1a＝＋，则通项＝1n1nn审题路线出a.n

(1)变形为a－a＝＋⇒用累加法a＝a＋(－)＋(a－)＋„－a)⇒得n1232－1变形为a

n1

a＋1＋1＝3(a＋1)⇒再变形为＝⇒用累乘法或迭代法可求aa＋1n解析

由题意得，n≥2a＝a＋a－a)＋(a－)＋„－a)＝2(2＋„＝2n121n1＋

×n22n2

＋1.a

n

＝3a＋2即ann

a＋1＋13(a＋，即＝，a＋1n法一

a＋＋＋1＋＋＝3＝，＝3„＝3.这些等式两边分别相乘得＝.a＋＋1＋1＋1＋1na＋因为a＝1所以＝311

，即a＝×n1

－1(n≥，所以a＝×n

n

－

－1(n≥，又a＝1满1足上式，故a＝23n

n1

－1.法二

a＋由＝3即a＋1＋1)a＋1＋n

当n≥2，a＋1＋1)nn1∴a＋13(a＋＝3(＋＝(＋＝„－(a＋＝2×3－，∴a＝×3－－；nn当n1，a＝1×3－－1满足．∴a＝×3－－1.答案1

n(1)2

＋1(2)2－－规律方法数列的递推关系是给出数列的一种方法根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．【本模块小结】1数列通项或指定项常用观察法(对于交错数列一般用(－或(－＋来区分奇偶项的符号；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．/7

1nnnn1nnnn*122**1nnnn1nnnn*122***2由求时＝－－

注意验证是否包含在后面a的公式中若不符合要单独1列出，一般已知条件含a与的关系的数列题均可考虑上述公式．nn3．已知递关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有三种常见思路：算出前几项，再归纳、猜想；“＝＋”这种形式通常转化为a＋λ＝p(a＋λ)，由待定系数法求λ，再化为等比数列；＋＋利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式．第模块

等差数及其前项和[习目标]1．理解等数列的概念．2．熟练掌等差数列的通项公式与前项和公式．3．能在具的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等数列与一次函数、二次函数的关.知识梳理1．等差数列的定义如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示．数学语言表达式：a－＝d(n∈)，d为常数．nn2．等差数列的通项公式与前n和公式★★若等差数列{}首项是a，公差是，则其通项公式为a＝a＋n－.n1n若等差数列{}第m项为a，则其第n可以表示为a＝＋(n－md.nnm等差数列的前项和公式★★n＋anS＝＝na＋n1

d其中n∈N，a为首项，d公差，a为第项)1n3．等差数列及n和的性质★★★★a＋b若a，，b等差数列，则叫做，的等差中项，且＝.2若{}等差数列，当＋n＝p＋q，a＋＝a＋a(mn，p，q∈)．nnq若{}等差数列，公差为d则a，a，nk

＋

，„∈N)公差为md的等差数列．2m数列，－S，S－，„差数列．mmm2

2

＝(2n－1)a.n/7

2***d2221nd2***d2221nd2221*（略）若为偶数，则－S＝；偶奇（略）若n奇数，则－＝a(中间项)．奇偶中4．等差数列与函数的关系等差数列与一次函数的区别与联系(了解内容)等差数列

一次函数解析式

a＝＋b(n∈)n

f(x＝kxb≠0)不同点相同点

定义域为N，图象是一系列孤定义域为R，图象是一条直线立的点在直线上)，公差为斜率数列的通项公式与函数解析式都是关于自变量的一次函数①k≠0时，数列a＝kn＋(∈N)图象所表示的点均匀分布在函数(x＝n＋bk≠图象上k＞0时列为递增数列数为增函数；③k＜0时，数列为递减数列，函数为减函数等差数列前项和公式可变形为S＝＋－d0它是关于的二次函数它的图象是抛物线y＝x＋－上横坐标为正整数的均匀分布的一群孤立的点．辨析感悟1．对等差数列概念的理解若一个数列从第项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)等差数列的公差是相邻两项的差．(×2．等差数列的通项公式与前n和数列{}等差数列等价于对任意n∈N，都有2a＝＋√)nn1nn2等差数列{}单调性是由公差d决定的．(√)n3．等差数列性质的活用(7)(2013·广东卷改编)在等差数列{a}，已知a＋＝，则a＋＝√)n7考点一

等差数列的基本量的求解【例1】等差数列{}，a＝1，a＝－n1求数列{}通项公式；n

(2)若数列{}前k项和S＝－，求k的值．nk解

设等差数列{}公差为d，则a＝＋(－d.nn1由a＝1，a＝－3，可得1＋2d＝－3.解得d＝－从而，＝＋(－×(－＝－2n1/7

2222*2SnSSSSSS2n－2n12121n1*n[1＋2222*2SnSSSSSS2n－2n12121n1*由(1)可a＝－2n.所以S＝＝2n－n进而由S＝－可得k－k＝－n即k

－2k－＝0，解得＝7－5.又k∈N

，故k＝7所求．规律方法(1)等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量a，a，d，n，，知其中三个就1nn能求另外两个，体现了用方的思想解决问题★★★★．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用和d是等差数列的两个基本量，1用它们表示已知和未知是常用方法．★★★【训练】浙江五校联考已知等差数列{}足a＋a＝4，a＋＝，则它的前项的n2435和S＝()．10

A．B135C95D．23考点二

等差数列的判定与证明1【例2】梅州调研改编)若数列{}前n项和为，且满足a＋S＝0(n≥2)，a＝nnnn1求证：差数列；(2)求数列{a}通项公式．审题路线

(1)利a＝－(n≥转化为关SS的式子同⇒利用定义证明⇒得nnn1n1nn11出结论．(2)(求⇒再求S⇒再代入条件＝－SS，求a⇒验n＝1的情况⇒得出结论．nnn1n证明

当n≥2时，由＋2S＝，n得S－Sn

n1

11＝－2，所以－＝，nnn11又＝＝，故项为，公差为2的等差数列．11解

11由(可得＝，∴S＝.当n≥2时，＝S－S＝－nn

1n－1－n＝＝－2n2n＝1当n＝1时a＝不适合上式．故a＝2n

，n≥2.规律方法证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明a－＝(n≥2n为常数)是等差中项法证明a＝＋.若证明一个数列不是等差数列需举出反例即可．n1＋2【本模块总结】1．等差数列的判断方法定义法：a－a＝dd是常数)⇔{a}等差数列．n等差中项法：＝＋(n∈)⇔{a}等差数列．nnn通项公式：＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a}等差数列．n/7

23232*前n项和公式：＝＋、为常数){}等差数列23232*n2方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a和等基本量通过建立方1程组)获得解．基础巩固题组(建议用时：40钟)一、选择题SS1．温州二模)记为等差数列{}n项和，若－＝，则其公差＝(．n1

B．2．3D．2．潍坊期末考试)在等差数列{}，＋＋a＝15，那么a＋a＋„等于()．n7A．21B30C．D．403．揭阳二模)在等差数列{}，首项a＝0公差d≠0，若a＝＋a＋„则m的值n1m29为()．

A．B．3620D．194．郑州模拟){}等差数列，S为其前n项