高中数学第3章概率3.4互斥事件及其发生的概率知识导引学案

3.4

互事及发的率案探有3个g砝码，3个3g砝码和个砝码任意取出2个码，想一想，如何求下面三个事件的概率？（）个砝码重量相同的概率；（）个砝码总重为6g的概率（）个砝码总重量不超过8g的概率解析：1）记“两个砝码重量相同”的事件为A．“两个砝码重量都是1g”事为A.“两个砝码重量都是3g”事A，“个砝码重量都是5g为事件A，、、A是互斥的显然A=A+A+A，由面知识得（A=

3，（），（）.为什么）282833由互斥事件的加法公式，有P（）（A+PA）（）=++=.28284（）“两个砝码总重量为6g”事件．“两个砝码中一个砝码为1g另个砝码为g为事件B两个砝码重量都为3g”为事件，，B互.显然B=B+B.63P（B）=，（）=（为什么）2814283∴P（）=P（）（）+.142828（）面去求比较复杂，故可考虑其对立事.设“两个砝码总重量大于8g”事件为C“两个砝码总重量不超过8g”事件为D，则C与D为立事件两砝总重量超过8g其中只包括两个砝码都是5g的情况于是P（）

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.∴P（）=1-P（）自导

1=.28281．不能同时发生的两个事件称互斥事件exclusiveevents）2．如果事件A，互，那么事件发生的概率，等于事件A，分发生的概率的和，即（A+B）（）+P（）一般地，如果事件AA，A两互斥，则（A+…+A（）（）+（）3个斥事件必有一个发生这两个事件为对立事complementaryevents事件A的立事件记为A．4对事件A与A必一个发故是必然事件从而（（（）=1.由此，我们可以得到一个重要公式：P

）=1-P（）

5．体育考试的成绩分为四个等：优、良、中、不及格，某名生参加了体育考试，结果如下：优良中不及格

85分以上75～84分60～74分60分下

9人15人21人5人（）育考试的成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记A，BCD．则A，B，，之的关系为彼此互.（）将“体育成绩及格”记为事件E则与对立事.6．互斥事件和对立事件是针对个事件而言的，它们有区别又有联.在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发.所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥.疑剖【例1】判断列每对事件是否互斥事件、对立事件，并说明道.从扑克牌40张（桃、黑桃、块、梅花点数从～10各10张中，任取一.（）抽出红桃”与“抽出黑桃”；（）抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（）抽出的牌点数为5的数”与“抽出的牌点数大于9”.思路分析判两个事件是否互就要考察它们是否不能同时发生判别两个互斥事件是否对立，再要考察它们是否必有一个发.解：（）是互斥事件，不是对立事.道理是：从40张扑牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的以互斥事.同时能保证其中必有一个发这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”.因此，二者不是立事.（）是互斥事件，又是对立事.道理是：从40张扑牌中，任意抽取张，抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，并且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事.（）是互斥事件，当然不可能是对立事.道理是：从40张克牌中任意取1张，抽出的牌点数为5的数”与“抽出的牌点数大于”这两个事件可能同发生如抽得10因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件思维启示互斥事件”是“对立事件”是就两个事件而言的斥事件是不可同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事.也就是说，“互斥事件”是“对立事件”的必要但不充分的条件.“对立事件”是“互事件”的充分不必要条.变式训练：某小组有3名生和2名生，从中任选2同学参加演讲比赛判下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事.（）有1名生与2名是生；（）少有1名男与全是男生；（）少有1名男与全是女生；

（）少有1名男与至少有1名生解：（）因为“恰有1名男生与“2名都是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当选出的是2名生时它们都不发生，所以它们不是对立事.（）为选出的是2名生时“至少有男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件.（）为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对.（）于选出的是1名生1名女时，“至少有1男生”与“至少有1名生”同时发生，所以它们不是互斥事.【例2】射手张强在一次射击射中10环9环877环以的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13，算这个射手在一次射击中：（）中10环9环概率；（）少射中7环概率；（）中环数不足8环的率思路分析：“射中10环”射环…“射中7以下”是彼此互斥事件，可运用“事件的并（和）”的概率公式求.解：设“射中10环“射中9环“射中环“射中7”“射中7环下”的事件分别为A、B、、、，A、、C、、E是彼互斥事.（）中10环9环概率为P（）=PA）+P（）=0.24+0.28=0.52.（）少射中7环括射中环或9或环，于是至少射中7环概率为P（A+B+C+D）（）+P（）（）+PD=0.24+0.28+0.19+0.16=0.87．（）中环数不足8环括射中环射中环以，于是射中环数不足8环概率为P（D+E）=P（）+P（）=0.16+0.13=0.29.思维陷阱：抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现点，点3点，点，5点，6点概率都是

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事A为出现奇数”“向上的数不超过3A+B错解记件“出现1点”“出2点”“出现3点”“出现点分别为AAA，A则

P（A）（）（）（）

1++=，661P（B）（）（）（）+=，661∴P（A+B）=P（）（）=1.22错因分析：上述解法错误的原因是A、B两件不是互斥事件，错误地运用了互斥事件的概率公.正解记件“出现1点”“出2点”“出现3点”“出现点分别为AAA，A，这个事件彼此互斥.故P（A+B）（）（）（）+PA=

12+++=.63思维启示：公式（A+B）（（）只有在AB互斥才可使用AB两件不互斥就不能使用这一公式.同学在应用这一公式求解时要判断准确是否是互斥事件，然后再应用公式，要避免盲目地、机械地应用公.【例3】一枚币连掷3次求现正面的概率

解法1A表“掷3次币现正面”表“连续掷3次硬币”（，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，正，正），（反，反，反}Ω有8个本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的且（，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，正，正}事件A有7个本事件组成，因而P（）

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.解法2设A表示掷3次币一次出现正面”A表“掷3次币有两次出现正面”，表示“掷3次硬有次出现正面”A表示掷了3次币出现正面”.显然331A=A+A+A，解法一容易得出PA=，P（A），（A），8=

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又因为A、、A彼是互斥的，所以：33P（A）（+A+A）=P（）（+PA）++=.888解法3：在本例中，显然A表“掷硬币，三次均出现反面”的事件，且（），根据P（A）（A）1∴P（）=1-P（A）=1-=.8思维启示：（1）会用列举法计一些随机事件所含的基本事件.（）某些较为复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再利用公式P（A）=1-P（）算变式训练口中有若干红球黄球与蓝球从口袋中任意摸一球，摸出红球的概率为0.45，出黄球的概率为0.33求：（）出红球或黄球的概率；（）出蓝球的概.解：记事件A为摸红球”“摸出黄球”C“摸出蓝球”（1）A与B是斥事件，故出红球或黄球的概率为P（）（A）（B）=0.45+0.33=0.78．（事C与是立事件摸出蓝球的概率是（=1-0.78=0.22.【例4】如图所示，设有一正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6cm.现用直径等于2cm的币投掷到此网格求硬币落下后与格线有公共点的概.

解析：记硬落下后与格线有公共，B={币落下后与格线没有公共}，则事件A与B是立事件为确硬币的位置币中心O正方形网格四边引垂线OM、OP、OQ，垂足为MNPQ.事发的充要条件|OM||ON||OP||OQ|都大于2cm，即O在正方形网格同中心的4cm为长的小正方形.所以由几何概率公式得P（）=

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.因为A、是立事件，所以P）=1-PB=1-.95答：硬币落下后与格线有公共点的概率是.9思维启示决此题的关键是转化为对立事件的概率找与事件B对的区域是解答此题的难点【例5】在一只袋子中装有4个玻璃球个绿璃球中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，试求：（）得两个红球的概率；（）得两个绿球的概率；（）得两个同颜色的球的概率；（）少取得一个红球的概.解析：记四个红玻璃球为a、aa、三个绿玻璃球为b、，第次抽取有7种结果第次抽取时的每种果次抽取时又有6结果共有7×6=42种果（）记取得两个红球”为事A，有（,(a,a),(a,a),(a,a,a),（,a）(a,a),(a,a),(a,a),(a,a),(a,a),(a,a)12结果.12∴P（）=.427（2）记“取得两个绿球”为

事

件A

，A

有（,b）,(b,b),(b,b),(b,b,b),(b,b)6结果61∴P（）=.427（）“取得两个同颜色的球”为事件．A=A+A，、互斥由互斥事件的概率加法公式得P）=P（）+P（A=

2+=.77（）“至少取得一个红球的概率”为事件，显然事件B事件A的对事件.1∴P（）=1-P（）=.77

思维启示：袋中摸球问题是概率中的重要题型，课本中举了一些例子，主要考查概念，作定性分析本把本节所学知识与前几节知识结合起来就一些随机事件作了定量分析，目的是加强知识的综合应用.通过举法或画树形图找出随机事件的结果的个数，利用等可能性事件求出概率，或通过互斥事件的概率公式，达到巩固概念的目.在求解时，要注意灵活使用公式，若直接求较困难或情况较多，则可通过求其对立事件的概率来求拓迁【拓展点1】用0，1两数字编码，码长为4均为二进制四位数，首位可以是0），从所有码中任选一码，求事件“码中至少有两个”的概率解法1：事件“码中至少有两个”记为A，用x,x,x分表示码的第一、二、三、四位上的数字，它们在0，1中值，于是令A={x+x+x+x≥2}A={x=2}A={x=3}A={x=4}容易得出四位数的全部码有2=16个，故Ω中元素个数为16．A中的元素具有特征是四位数中两个，两个0，体为1100101010010011，0101，0110．而A中含6个.A中的元素特征是四位数中有三1，一个0，具体为：1101，1110，1011，0111，因而A中有4个.A中的元素特征是四位数中有四个1．具体为1111.因A中有个元，由于AAA互，A=A+A.64111∴P（）=P（）（）（）=161616解法2：本解法比解法一更为简.A

=“最多有一个1”={x+x+x+x≤1}.A中元特征为四位数中四个数均为一个1，三个，具体为：0000，1000，0100，0010，0001，而A

中含有5个素∴P（）

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，∴P（）=1-P（）=1-=

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.【拓展点】在数考试中，小明的成绩在90分以的概率是0.18，在～分的率是0.51.在70～分概率