高中数学必修3《排列组合问题经典题型与通用方法》

排组问经题与用法相邻题绑:目中定邻几元捆成个，作个元参与列例1.

A,,,D

五人并排站成一排，如果必须相且B在A的边，则不同的排法有（）A、60种B、种C、36种、24种相离题空:素相（不邻问，先无置求几元全排，把定相的个元插上几元的位两.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800定序题倍:排列题限某个素须持定顺，用小倍的法例五并排站成一果B须站在的右（

,B

可以不相邻么同的排法（、24种B、60种C、种、种标号位题步:把素到定置，先某元按定排，二再另个素如继续去依即完.例4.将数字1，，，填标为1，，，4四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标与所填数字均不相同的填法有（）A6B9、11种D、23种有序配题分:有分问指元分若组可逐下量组.例5.（）甲乙丙三项任务，甲需2人担，乙丙各需一人承担，从人选出4人承这项任务，不同的选法种数是（）A、1260种B2025种C、2520D、5040种（）名同分别到三个不同路口进行流量的调查，若每个路口4人则不同的分配方案有）A、

C4

种B、

C4

4

种C、

C4

4

A

种D、

4484A

种全员配题组:例6.（1）名秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少？（）本同的书，全部分给4个生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、种C、种、96种名额配题板:例7：10个好学生名额分到7个班，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？限制件分问分类:例8.某高校从某系的10名秀业生中选4人别到西部四城市参加中国西部经济开发建设中同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？多元题类：素，取的况多，按果求成相的类况分计再加例9（）数字0，，，，，组成有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的有（）A、210种B、种C、种、600种（）1，，…100这100个中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（）1，，，，这个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有少种？第页共7页

n!n!交叉问题集合：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式(A))B)A例10.从6名运动员中选出4人加4100米力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有少种不同的参赛方案？定问题先：个几元要在定置可排这或个素再其的素例11.现1名老师和4名奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种多问题排:元排几的题归为排虑再分处。例12.（1）个同的元素排成前后两排，每排3个元，那么不同的排法种数是（）A、36种B、种C、种D1440种（）个不同的元素排成前后排，每排4个素，其中某个素要排在前排，某个素在后排，有多少种不同排法？“少“多问用接除法分法例13.从4台型和5台乙电视机中任取台其中至少要甲型和乙型视各一台，则不同的取法共有（）A、种B80种、70种D、35种选问题取排从类素取符题的几元，安到定位上可先后法.例14.（1）四个不同球放入编号为，，3，四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？（）名乓球运动员，其中男5，女4，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？部合条问排法在取总中只一部合件可从数减不合件，为.例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A、70种B、种C、种D52种（）面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A、150种B、种C、144种、种圆排问单法:把

n

个同素在周

n

个编位上排，序例按时）同排才算同排，顺相（旋一就以合的法为是同，与通列区在只顺序首、位分下个通列a,a1

,a;a,,,a,;a,,an24nn

在排中算种因旋后以合故为同，n

个素圆列有种因可某元素定成排其的n

元全列例16.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？可重复排求法允重排问的点以素研究象元不位的束可一排素位，般

n

个同素在

个同置排数

种法例17.把6名实习生分配到7个间实习共有多少种不同方法？第页共7页

复排列合题造型:例18.马路上有编号为1，2，…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？元个数少排组问可考枚法:例19.设有编号为1，，，，的五球和编号为1，34，5的子现将这5个投5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？复的排组问也用解合法例20.（1）30030能多少个不同偶数整除？（）方体8个顶可连成多少队异面直线？利用对思转法对思是材渗的种要解题法它以复的题化简问处.例21.（1）圆周上有10点，这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？（）城市的街区有12个等矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种？全位排问公法全位列题贺问题信问）住式可瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：

用A…表示写着n位人名字的信封……表示n相应的写好的信纸把错装的总数为作f(n)假设把a装进B里了包着这个错误的一切错装法分两类：（）b装A里这时每种错装的其余分都与A、B、、b无，应有f(n-2)种错装法。（）b装入、B外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除之的）份纸b、c……装入（除B以外的）－1个封A、C…，显然这时装错的方法有f(n-1)。总之在a装的误之下，共有错装法种。a装入C，入D……n－2种误之下，同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法，因此:得到一个递推公式：f(n)=(n-1){f(n-1)+f(n-2)}，别带入n=2、3、等推得结。也可用迭代法推导出一般公式：

f()

12!n!排组问经题与用法解版第页共7页

相邻题绑:目中定邻几元捆成个，作个元参与列例1.

A,CD

五人并排站成一排，如果B必相邻且BA的右边，则不同的排法有（）A60种B48种C、种D、种解析：把A,B答案：D.

视为一人，且

B

固定在

A

的右边，则本题相当于4人的全列，

4

种，相离题空:素相（不邻问，先无置求几元全排，把定相的个元插上几元的位两.例2.人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A1440种B、3600种C、4820种D、种解析甲乙外余5个列为选.

A

种用乙去插6个位有

A

种同的排法种数是

256

种，定序题倍:排列题限某个素须持定顺，用小倍的法例3.

AB,DE

五人并排站成一排果必站在的右

,B

可以不相邻么同的排法）A24种

B60种

C、90种

D、种解析：在A的边与B在的左边排法数相同所以题设的排法只是5个素全排列数的一半B种，选.

12

5

标号位题步:把素到定置，先某元按定排，二再另个素如继续去依即完.例4.数字，23，填标号为12，3，的个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、种B、9种C、11种D23种解析：先把1填入方格中，符合件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有××1=9种法，选B.有序配题分:有分问指元分若组可逐下量组.例5.1有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A1260种、种C、2520种D5040解析：先从10人中选出2人承甲项任务，再从剩下的8人中选1人担乙项任务，第三步从另的人中1人担丙项任务，不同的选法有C种选（）12名同学分别到三个不同的路口进行量的调查，若每个路口4人则不同的分配方案有（）A

C4

4

种

B

3C4

4

种C、

C44A3

种

D、

C4C4C4A

种答案：.全员配题组:例6.1）4名秀学生全部保送到3所校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有

种方法，再把三组学生分配到三所学校有

A3

种，故共有

C233

种方法说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分.（）5本同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一，不同的分法种数为（）A480种B240种答案：.名额配题板:

C、种

D、96种例7：10个好学生名额分到个级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？第页共7页

解析：10个额分到7个级就是把10个名看成10个相的球分成7堆，每堆至少一个可以在10个小球的9个位插入6块木，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C6

种限制件分问分类:例8.高校从某系的10名优秀毕业生中选4人别到西部四市参加中国西部经济开发建设中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加有遣方案A4种若甲参加而乙不参加排甲有3方法后排其余学生有

A方法，所以共有

3A3

；③若乙参加而甲不参加同理也有

33

种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有

A2

种，共有

7A2

方法所以共有不同的派遣方法总为AA4088种多元题类：素，取的况多，按果求成相的类况分计，后计.例（）数字0，23，4，组没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A210种B300种C、种D、种解析：按题意，个位数字只可能是，，2，3，4共情况，分别有A个，AA合并总计300个选

AA

,

,A

个，.（）从，2，…100这100个中，任取两个数，使它们的乘积能被整，这两个数取法（不计顺序）共有多少种？解析被的两个数中至少有一能被整除时他的乘积就能被7整将100个数组成集合视为全集I,能7整的数的集合记做A14个元素,不被7整的数组成的集合记做A

86个素此可知A中任取2个元素的取法有C从中任取一个从14

A中任取一个共有

，两种情形共符合要求的取法有

214

14

C186

种（）1，23，，这100数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种解析：将I,100不相交的子集，能被4整的数集100余的数集

，能被4除余2的集

,98

4除余3的数集

D见这四个集合中每一个有25个元；从

A

中任取两个数符合要；从B,D各取一个数也符合要求；从

C

中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有

225

125

125

225

种交叉问题集合：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式(A))B)A例从名运动员中选出4参加4×100米力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不的参赛方案？解析：设全=｛人中取4人赛的排列｛跑第一棒的排列｛跑第四棒的排列据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：n(I)))4

3

种定问题先：个几元要在定置可排这或个素再其的素例现名师和4名奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？解析师中间三个位置上选一个有1种名学其余个位上有A种法以有1

A

种多问题排:元排几的题归为排虑再分处。例12.（）6个同的元素排成前后两排，每排3元素，那么不同的排法种数是（）A36种B120C、720D1440种解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成不同的元素排成一排，共

66

720

种，选

C

.（）8个同的元素排成前后两排，每排个素，其中某2个素要排在前排，某1个素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某2个素在前半段四个位置中选排2个有A种某1元素排在后半段的四个位置中选一个有

1

种，其余5个素任排5个位上有

A5

种，故共有

1A255760445

种排法第页共7页

“少“多问用接除法分法例从台甲型和5台型视机中任取3台其中至少要甲型和乙型视机各一台，则不同的取法共有（）A140种B80种C、70种D、35种解析1：逆向思考，至少各一台反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有333709

种选

解析2：至少要甲型和乙型电机各一台可分两种情况：甲型1台型2台；甲型2台乙1；故不同的取法有

CC1704

台选

.选问题取排从类素取符题的几元，安到定位上可先后法.例14.（）个同球放入编号为1234的个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法C2种再排：在四个盒中每次排3个3种故共4有

234

种（）9名乓球运动员，其中男5名女4名，现在要进行混合双打训练，有少种不同的分组方法？解析先取男女运动员各2名

2254

种四名运动员混和双打练习

A

中排法共有

2C2A1204

种部合条问排法在取总中只一部合件可从数减不合件，为.例15.（）正体的顶点为顶点的四面体共有（）A70种

B64种

C、种

D、种解析：正方体8个点从中每次四点，理论上可构成四面体，但6个面和个角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有

48

58

个（）面体的顶点和各棱中点共10点在其中取4个共面的点，不同的取法共有（）A150种

B147种

C、144

D、种解析10个中任取4个共有4种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面10的情况为C4，个面共4C4个②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个所四点不共面情况的种数是

C

C

种圆排问单法:把

n

个同素在周

n

个编位上排，序例按时）同排才算同排，顺相（旋一就以合的法为是同，与通列区在只顺序首、位分下

n

个通列a,aa;a,,,a,;a,,a在圆列中算种因旋后以合故为同，n1n23n1n!素圆列有种因可某元素定成排其的元全列n例有对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？

个解析：首先可让5位姐站成一圈，属圆排列有4种然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式

5

种不同站法说明：从

n

个不同元素中取出

个元素作圆形排列共有

1m

An

种不同排法可重复排求法允重排问的点以素研究象元不位的束可一排素位，般个不同素在m个不位置排数n种方.例把名实习生分配到7车间实习共有多少种不同方法？解析：完成此事共分6步第一步；将第一名实习生分配到车间有种同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种同方案，依次类推，由分步计数原理知共有

种不同方案复排列合题造型:第页共7页

A例18.马路上有编号为1，2，…，九路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？A解析把此问题当作一个排对模6盏亮的个隙中插入3盏亮的灯C3种法所满足条件的关灯方案有10种说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模可使问题容易解决元个数少排组问可考枚法:例19.设有编号为1，2，34，5的个球和编号为