高中数学函数的单调性与最值习题及详解

3a高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解3a一、选择题．已知f()＝－－x，∈[，b]，且ff)<0，则fx)0在a]()A至少有一实数根C．有实数根

B至多有一实数根D．唯实数根[答案]D[解析]∵函数f(x)[，b]上是单调减函数，又f)，()异号．∴(x)在[，]内有且仅有一个零点，故选1．北文给定函数yx，y＝＋1)，y＝－1|＝2其在区(0,1)上单调递减的函数的序号是()A①②C．④

B②③D．④[答案]B1[解析]易知y＝在递增，故排除AD选；又y＝(＋的图象是由y＝的象左平移一个2单位得到的，其单调性与y＝相为递减的，所以②符合题，故选B.1．(2010·济市模)设y＝，y＝0.5，y＝0.5，则)12334A<y31C．<yy21

By<y13D．1[答案]B11[解析]∵y＝0.5为减函数，0.5<0.5，31∵y＝x在一象限是增函数，311∴，∴y<y，选3331x广州)已知函数x>1

fx)在－∞)上单调递增实a的值范围()A(1,2)C．[答案]C[解析]∵(x)在R上调增，

BD．，＋)∴

2>0a－×1－11a

，1

222x22222ω－2232∴222x22222ω－2232．(文)(2010·山济若函数f)x＋2x＋ax(上单调递减，则实数的取值范围是()Aa0BC．a－4

D．a－[答案]Dx＋x＋a[解析]∵函数f(x)x＋2＋lnx在上单调递减∴当x∈时f)＝2x＋2＝≤0∴()＝2x＋＋0在x∈(0,1)恒成立，∴g，g(1)0，即－4.ππ(理)已知函数y＝tanωx在－，内减函数，则ω的取值范围是(

)A0<≤1C．1

B－1D．－[答案]Bππ[解析]∵tan在－，上是减函数，ππ∴<0.－<<时有πωπωπ－≤ωx－≤，∴

ππ2ππ－≤2ω

，∴－1．(2010·天)设＝log4＝(log，＝log，则()55Aa＜C．＜bc

B＜c＜D．ba＜c[答案]D[解析]∵4>log3>0∴log3)，而log5>1，∴>>b5555．若f)＝xA－，0]C．{2}

－6的单调递减区间是(－2,2)，则的取值范围是)B[2,2]D．，∞)[答案]C[解析]f()＝3x－，若a，则(x)，∴fx单调增，排除A；若，则由f(x)＝±a当x－2和>a，f(x)>0，)单调增，当－2<<2时，f)单调减，2

222222222∴f(x)单调减区间(－2a，a)从而＝，222222222∴a＝[点评]fx的单调递减区间(－和fx)在－，上单调递减是不同的，应加以区分．1．(文)义在上偶数f()在0＋)上是增函数，若)0则适合不等式f(log的的取值范围是()A，∞)C．，∞)

B(0，)D．，)∪，＋)[答案]D1[解析]∵定义在上偶函数f)在[0，＋)上是增函数，且f)＝，则由fx)>0，得log，即log27x或log<－选D.27(理)南充市)已知函数f)图象的两条对称轴x＝和x＝，且在x∈[－1,0]fx)单调递增，设a＝，＝(，＝f(2)则、b、c的小关系是()Aa>>C．>>a

B>>bD．>ba[答案]D[解析]∵(x)在－上调增，fx)图象关于直线x＝0对，∴f(x)在[上调减；又f(x的图象关于直线x＝1对，∴f(x)在[上调增，在[2,3]上单调．由对称性(3)＝(－1)＝f(1)<ff(2)，即<b<c.，x0．(2009·天高)已知函数f()＝，x＜

若f－)＞()，则实数a的值围是A－，1)∪，∞)B(－1,2)C．－2,1)D．(－，∪，∞)[答案]C[解析]∵x0时fx)x＋4x＝＋－4调递增且f)当x<0时fx)＝4xx＝(x－＋4单递增，且f(x)<0，f(x)在R单调递增，由－)>(a得2>，∴－2<．(2010·泉模拟)定义在R上函f)满足f(＋)＝()＋()，当x<0时fx)>0，函数f(x在[，b]有()A最小值fa)3

xB最大值fb)C．小值f)xD．大f

＋b[答案]C[解析]令x＝y＝得，f(0)＝，令y＝－x得，(0)＝(x)f(－)，∴f(－x＝f(x)对任意x，∈且<x，122fx)－fx)＝fx＋(－x)112＝f(x－)>0，∴(xf)，122∴f(x)上减函数，∴f(x)在[，b]上最小值为(b．二、填空题111重庆中已知函数fx)ax－4(a，b为数)，f(lg2)，则(lg)x[答案]－[解析]令()＝ax＋，则φ(为奇函数，fx)＝()－4，∵f＝(lg2)－4＝，∴(lg2)＝4∴f(lg)＝f－lg2)φ(lg2)4＝－(lg2)－4＝－8.数f()在(－上调递减f(x在[2]上的最大值点与最小值点横坐之差为3k＝[答案]3[解析]∵偶函数f(x)(－，0]上单调递减，∴f(x在[0，＋)上单调递增．因此，若k0则－(－＝＋2<3，若k>0，∵()在[－上调减[，－k]上单调增，∴最小为f(0)，又在[－2]上最大值点与最小值点横坐标之差为，∴k－0＝3即－．数fx)在－－3)是减函数，则a的值范围是________．x＋3[答案]

－，－a＋11[解析]∵(x)＝a－在－，－上是减函数，a1<0，∴a－x＋3．(2010·江无锡市调研)设aa是定的常数，f(x)R上的奇函数，且(0∞)上是增函数，若f＝0f(logt)>0则t的值范围是_____a[答案]，

)∪，)4

[解析]ft)>0，f(logaa

，∵f(x)在，＋)为增函数，>，a∵，∴ta又f)为奇函数，∴f

1－＝－f＝，∴f(logt可化为f(logt)>fa

－，∵奇函数()在(，＋)上是增函数，∴f(x)在－，0)上为增函数，∴t>－a∵，∴t

，综上知，0<t<或1<t

三、解答题．北京市东城)已知函数f)＝log(＋－(1)，且1.aa(1)求f(x)定义域；(2)判断f)的奇偶性并予以证明；(3)当时求使(x)>0的的值集合．[解析]要使fx)＝＋－log(1－x有意义，则aa

，解得－故所求定义域为{－1<<1}(2)由1)知f(x)的定义域为{－，且f－)＝log(－x＋－log＋)＝－[log(x＋－log(1)]＝f()，故f()为奇函数．aaa(3)因为当时f)定义域{－1<<1}内是增函数，x＋1所以f>1.－解得x所以使f(x的x的值集合{<1}．1．北京东城)已知函数f(＝log是奇函数a>0，．ax－1(1)求的；(2)求函数f()的单调区间；(3)若当∈，a－2)时，f(x)值域(，＋)求实数a的．11＋[解析]依题意，(－x)＝－f(x，即(x)f－x＝，＋log＝，ax－－x－5

2aa2222ax2x2∴2aa2222ax2x2

－mx＋＝1，∴(1－m)x＝0成立，x－1－x－1∴1m

2

＝0，∴1或m1(不合题意，舍去＋当1时由得∈(－，－∪，＋，此即函数f的定义域，x－1又有f－)＝－f)∴m符合题意的解．＋(2)∵()＝log，a－x－∴()＝x＋1＝

x－1x－－x＋e＝x＋1x－－x①若，则logea当x∈(1，＋)时，－x<0，∴f(，f(x)(1，＋)上单调递减，即(1＋是fx)的单调递减区间；由奇函数的性质知，－，－1)是fx)单调递减区间．②若<1则loga当x∈(1，＋)时，－x

，∴f(，∴(1，＋是f(x的单调递增区间；由奇函数的性质知(－，1)是f(的单调递增区间．＋(3)令t＝＋，t为的减函数x－1x－1∵x∈(1，－，∴t∈＋，＋且，要使f(x的值域为(，＋)，需log－a．山东文)已知函数(x)x－ax＋－∈R)．x(1)当＝－1时，求曲线y＝(x在点(，f处的切线方程；(2)当≤时讨论f()的单调性．[解析](1)a－1时f(x)＝lnx＋x＋－1，∈(0，＋)x＋x－f()＝，x∈，＋)，因此f(2)1即曲线y＝(x)点2f(2))处的切线斜率为1.又f(2)＋，所以y＝()在(2f处的切线方程为－(ln2＝－2即x－y＋＝0.6

1－

＝1解得＝2

2xx222a－2xx222a(2)因为f)＝x－ax＋－，x－1－＋－a所以f(x＝＋＝∈，＋)令gx)＝

－x＋1，①当＝0时()＝－x，x∈(0＋)，当x∈(0,1)时，(x)>0，f(x)<0fx)单调递减；当x∈(1，＋)时，g(，时f(x，f(x)调递增；②当af(x＝ax－1)[x－(－1)]，(ⅰ)当＝时，g()0恒立f(x)0，f(x)在(，＋)上单调递减；(ⅱ)当0<<时，－，x∈(0,1)g(x，时f(x，(单调递减；x∈，－时，(，此时