平面向量的实际背景及基本概念 (3) 教学设计

eq\a\vs4\al(平面向量的实际背景及基本概念)预习课本P74～76，思考并完成以下问题(1)向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？(2)怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？(3)两个向量(向量的模)能否比较大小？(4)如何判断相等向量或共线向量？向量与向量是相等向量吗？(5)零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别？eq\a\vs4\al([新知初探])1．向量的概念和表示方法(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．(2)向量的表示：表示法几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如，…字母表示：用小写字母a，b，c，…表示，手写时必须加箭头[点睛]向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．2．向量的长度(或称模)与特殊向量(1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度．(2)向量的长度表示：向量，a的长度分别记作：||，|a|.(3)特殊向量：①长度为0的向量为零向量，记作0；②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．[点睛]定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．3．向量间的关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a＝b.(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．[点睛]共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．eq\a\vs4\al([小试身手])1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量能比较大小．()(2)向量的模是一个正实数．()(3)单位向量的模都相等．()(4)向量与向量是相等向量．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的个数()A．1B．2C．3D．答案：B3．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是()A．也可以用表示 B．方向是由M指向NC．始点是M D．终点是M答案：D4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与相等的向量有______．答案：，向量的有关概念[典例]有下列说法：①向量和向量长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量是有向线段；④向量0eq\a\vs4\al(＝)0，其中正确的序号为________．[解析]对于①，||＝||＝AB，故①正确；对于②，平行向量包括方向相同或相反两种情况，故②错误；对于③，向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来，故③错误；对于④，0是一个向量，而0是一个数量，故④错误．[答案]①(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手①是否有大小；②是否有方向．(2)理解零向量和单位向量应注意的问题①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．[活学活用]有下列说法：①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；②若向量，满足||＞||，且与同向，则＞；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中正确说法的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A对于①，由共线向量的定义，知两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a|＝|b|，只能说明a，b的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．向量的表示[典例]在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①，使||＝4eq\r(2)，点A在点O北偏东45°；②，使||＝4，点B在点A正东；③，使||＝6，点C在点B北偏东30°.[解](1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4eq\r(2)，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．(2)由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．(3)由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3eq\r(3)≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．[活学活用]一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量，，，.解：如图所示．共线向量或相等向量[典例]如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．[解](1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，.(2)与a共线的向量有，，，，，，，，.(3)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量相等的向量．解：与向量相等的向量有，，.2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．层级一学业水平达标1．下列说法正确的是()A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．共线向量是在一条直线上的向量解析：选C向量∥包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．2.如图，在圆O中，向量，，是()A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：选C由图可知，，是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.3．向量与向量共线，下列关于向量的说法中，正确的为()A．向量与向量一定同向B．向量，向量，向量一定共线C．向量与向量一定相等D．以上说法都不正确解析：选B根据共线向量定义，可知，，这三个向量一定为共线向量，故选B.4.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选C根据向量的基本概念可知与平行的向量有，，，共3个．5．已知向量a，b是两个非零向量，，分别是与a，b同方向的单位向量，则下列各式正确的是()A．＝ B．＝或＝－C．＝1 D．||＝||解析：选D由于a与b的方向不知，故与无法判断是否相等，故A、B选项均错．又与均为单位向量．∴||＝||，故C错D对．6．已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，则||＝________.解析：由勾股定理可知，BC＝eq\r(AC2－AB2)＝eq\r(3)，所以||＝eq\r(3).答案：eq\r(3)7．设a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.解析：因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，所以|a0|＋|b0|＝2.答案：③8．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.答案：①③④9.如图，O是正方形ABCD的中心．(1)写出与向量相等的向量；(2)写出与的模相等的向量．解：(1)与向量相等的向量是.(2)与的模相等的向量有：，，，，，，.10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达(1)在如图所示的坐标系中画出，，，.(2)求B地相对于A地的位移．解：(1)向量，，，如图所示．(2)由题意知＝.所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形．所以＝，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．层级二应试能力达标1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是()A．＝ B．＝C．＝ D．＝解析：选D根据相等向量的定义，分析可得：A中，与方向不同，故＝错误；B中，与方向不同，故＝错误；C中，与方向相反，故＝错误；D中，与方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故＝正确．2．下列说法正确的是()A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．终点相同的两个向量不共线C．若a≠b，则a一定不与b共线D．单位向量的长度为1解析：选DA中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，对于两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b可能共线．3．若a为任一非零向量，b为单位向量，下列各式：①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.其中正确的是()A．①④ B．③C．③④ D．②③解析：选Ba为任一非零向量，所以|a|＞0，故③正确；由向量、单位向量、平行向量的概念易判断其他式子均错误．故选B.4．在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中相等向量有()A．一组 B．二组C．三组 D．四组解析：选A由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即＝.5．四边形ABCD满足＝，且||＝||，则四边形ABCD是______(填四边形ABCD的形状)．解析：∵＝，∴AD∥BC且||＝||，∴四边形ABCD是平行四边形．又||＝||知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD是矩形．答案：矩形6.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量相等的向量为________；与向量共线的向量为__________；与向量的模相等的向量为________．(填图中所画出的向量)解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，∴与相等的向量为；与共线的向量为，；与的模相等的向量为，，，，.答案：，，，，，7．如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．(1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量．(2)写出图中所示向量与向量相等的向量．(3)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量．解：(1)与长度相等的向量是，，，，，，，.(2)与相等的向量是，.(3)与共线的向量是，，；与共线的向量是，，.8．如图，已知函数y＝x的图象l与直线m