高中数学汇编对数幂指数

20122.51 a a0,且a了解指数函数y=ax与对数函 a互为反函数 2y 1

xyx22axN(a0且a xaxN(a0且a xlogN表格1a对数形 特 记a一般对 a0,且a

log常用对 底数为自然对 底数为 对数的性质（a0,且a

lg ，③log1 log ，③对数的重要①换底

log

Na； loga；

a(ab均为大于零且不等于1N0)logbalogba

log

b

c

dlog b

如果a0,且a1M0N0M

Mloga；logMnnlogM(n

bn

nlog a 0a（0,+x=1时，y=0即过定点性质（4）当0x1y(0)x1y(0

（4）x1y(0)；当0x1时，y(0)（5）在（0,+）上为增函数 注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系提示：作一直线y=axy=logaxy=x对称。y=xα（a∈R）x是自变量，α1y=x3，y=x2，y=xyx2，y=x-11x0>1y=x3，y=x2，y=xyx2，y=x-10<x0<1y=x-1y

，y=xy=x2，y=x3

y

定义 [0，

x|xR且x值

[0，

y|yR且y奇偶 非奇非 单调

）

x∈(-,0)时，减定

（1） 因此幂函数图象上的点不会在第四（一）利用换 及，尽量地转化为同底的和、差、积、商运算1（2）lg5lg8000(lg

3)2 （1）原式lg2)21lg5lg2lg52lg2lg51lg22lg(lg2lg2)(lg3lg3)(lg2lg2)(lg3lg3

2lg 2lg 3lg3lg25lg2 36 分子lg5(33lg23(lg2)23lg53lg2(lg5lg36 分母

lg62

6 3原式=4。1①a>1,f(x)>0.g(x)>0,logaf(x)>logag(x)②0<a<1,f(x)>0,g(x)>0,logaf(x)>logag(x)f(x)>10<f(x)<1时，logaf(x)>f(x)>1时，logbf(x)>1>f(x)>0时，logaf(x)>f(x)>1logaf(x①作差（商）法；②利用函数的单调性；③特殊值法（10为中间值2〖例〗对于0a1log(1a)log(a1 alog(1a)log(11a ③a1aaa④a1a

a其中成立的是（ylogaxyax两个函数的单调性，故可先考虑函数 log(1a)log(11

a1a

a （1）

1②弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数2a>1时，x>00<a<1时，x<0；a>1{x|x>0}；0<a<1时，函数的定义域为{x|x<0}.(2)a>10<x1<x2 ∴当a>1时，函数f(x)在(0,+∞)上为增函数；当0<a<1时，设x1<x2<0， 0＜a＜1f(x)在(-∞,0) fx的单调区间

x的方程fxx2xa在区间0,2上的根的个数fx2x112xx解（1）函数的定义域为

x

x

1由fx0得x0 2由fx0得1x0 3则增区间为0,,减区间为 4fx2xx2

1(2)

x

6f111 e2 e2由 e2

fe1e2

2,,

8x1

时,f

e22,me22时,fxm恒成立9(3)方程fxx2xa,即x12ln1xa.记gxx1 ,gx12x1 1 x1.由g 得x1;由g

得1x1.而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 10分所以，当a＞1时，方程无解；3-2ln3＜a≤12-2ln2＜a≤a≤3-2ln3时，方程有两个解；a=2-2ln2时，方程有一个解；当a＜2-2ln2时，方程无解 13字上所述，a(1,)(,22ln2)a(32ln3,1a=2-2ln2a(22ln

时，方程有两个不等的解 1422

log1x (1)f(2012)+f(-2012)a,aa∈(0,1，a的最小值；若不存在，请说明理由:

21x2

2222 ∴f(-2012)+f(2012(2)x1、x2∈(-1,1)x1<x2 f(x1)-f(x2)=x2-x1+log21x1-log21f(x)在(-1,1)上是减函数，a,aa∈(0,1

∴f(x)min=f(a)=-a+log2 f(2012),f(2011)的值往往与函数的周期性有关，求此类函数值一般先研究函数2（12分）Oylog8xA、B两点，分别A、Byylog8xC、D两点。C、DOBCxA（1）（1）A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2log8x1log8因为A、B在过点O的直线上，所

C、D的坐标分别为（x1log2x1

x2，log2x2

2

log8x13loglog2x13log8OC的斜率为k1

OD

log2x23log8 由此可知k1k2O、C、Dx1x2的范围没有搞清楚。（2）BCx轴，知log2x1log8x21即得log2x1

2 x，xxlogxxlog

x3logx3xlog代入 8 82，

8 8x11

8x10

x3 考虑x11，解得x1 3于是点A的坐标为 ， 3方法提示:解决对数函数综合问题的方法如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误（二）1底数为自变量;1.ykx(k0)yk(k0,x②反比例函 ykxb(k0)yax2bxc(ayx（R211y=(m2+2m-2)·xm21+(2n-3)m、n的值m22m2m21

m2n3

n

n

，解得

2，所以m3 2f(x)（1）（2）（3）（4）（1（2（3（4）（1）∵f(x)m2-m-1=1m2-m-2=0m=2m=-1。（1）m=-4/5时，f(x)是正比例函数；m=-2/5时，f(x)m=-1时，f(x)m=2m=-1时，f(x)是幂函数。1幂函数yx的图象与性质由于的值不同而比较复杂，一般 面考查（1，1曲线在第一象限的凹凸性：>1时，曲线下凸；0<<1时，曲线上凸；<0时，曲n=m（其中mNnZmn互质①当nf(xy

f(x③当mn为奇数时，f(x)为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限。注：幂函数的图象无论取何实数，其必经过第一象限，且一定不经过第四象限。21((

，

g(x 在幂函 的图象上，点 4，在幂函 的图象上（１）（２）（３）f(x

f(xxm，则由题意，得2(2)m1m2f

，则由题意，得 ∴n

g(x)

f(x

2（1）x

x1f(x)g(x)（2）x1f(x)g(x)（3）当1

x0f(xg(x)g(xx02

x24xf(x)x24xf(x2比 f( f2比 （1）x24xf(x)x24x

(x

y 1所以该函数在(2上是减函数，在(2x24x方法二：

f(x)2x4x2

=1+(x2)2，设在定义域内

x1x2f(x)fx[1x22][1

x1x2x1x24

x x x22x当x1,x2，2时，f(x)f(x)

当x1,x2-2,+时，f(x2)-f(x1)<0,y=f(x)在-2,+上是减函数，即减区间为-2,+x222f()f 2222()2 (2)2

2

f(x)x2m2m3(m

mf(x22m2

f(x (mZ)为偶函数，已限定了2m2m3必为偶数，且mZ，f(3)

mf(xf(x2m2m332m

2m2

2m2

5 又 ，即 1m2mZm0

，整理，得

，∴2m m=0

2m2m33为奇数（舍去；当m12m2m32故m的值为1，f 例 已知函数f

，设函数g(x)qff(x2q1f(x1，问是否存在实数q(q

在区间

)解：∵f ，则g(x)qx4(2q1)x2q(q

g(x)g(x)qx (xx)(xx)[q(x2x2)(2q ，，

x1x20，x2x10

在

有q(x2x22q1

∵x1

，∴x2x2

．而q0 ∴q(x2x2)32 q(xq(x 从而要

恒成立，则有2q ，

30

(x1x

，要使f(x(4，0)上是增函数，则应有 q(x2x2)(2q1)

∵4 ，4 ∴x2x2

，而q0

q(x2x2)32q

q≥ 要 q(x2要

恒成立，则必有2q1≤32q

30

q

在

)y(k y(k x例 时随着x的增大其函数值的变化情况2（1）当k2k0，即k0k1y0为常函数；2（2）当k2 时，k1

k1

2k22k122

即0k1

x

k22k1

k1k1

2xk22k12当2k22k1

即1 k0时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大当

，即1k1

x22【感悟高考1（2011·高考文科·Ｔ5）若点abylgxa1，则下列点也在此图象上的是（）1

10,b

【思路点拨】利用对数的运算性质，代入验证D.blga,2b2lgalg

(a2,2bylgx图象上21-x，x2（2011· x1x1【精讲精析】选D.x1，则21-x2，解得0x1;x1，则1log2x2x1

x0.

琪a5log234b5log436c琪

log30,3（201.

则 a>b

b>a

a>c

c>aC3log3 【精讲精析选项C可化 如图所示结合指数函数的单调性可知选项C正确4（2011· (1,【精讲精析】答案

.根据对数函数的底数大于12x10

x2

(1, （2）.

y1ln(x1)(x2

ye2x11(x（C）ye2x11(xR)【答案】

ye2x11(x（D）ye2x11(xR)【命题意图】本试题主要反函数的求法及指数函数与对数函数的互化【解析】由原函数解 ， ， ∴在反函数 ，故选＋y）＝（）（y（B）（C）f(x)f(y)axayaxyf(x（ 文数）9.函数f(xlog3(x3的反函数的图像与y轴的交点坐标是 f(xlog3(x3y3x3x=0y=-法二：函数f(xlog3(x3图像与x轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数f(x)log3(x3y轴的交点为（0，- 【解析】选A.由对数函数的增减性可知:lg lg2>lg1=0,∴lg2最大.在对数式b=log(a-2)(5-a)中,实数a的取值范围是 （A）a>5或 2<a<3或 a-2≠12<a<31已知函数f(x)=lg1x，若f(a)=b，则f(-a)等于 （B）- 1

1

1B.f(-x)=lg1x=lg(1x)-1=-lg1x=-f(x)f(x)f(-a)=-f(a)=-（0，1， C显然函数y=log2|x|x>0C选项相符 f(x)在（1，2）f(x)>0D.幂函数y=xm，y=xn，y=xp的图象如下图所示，则 当x∈(1，+∞)时，幂函数y=xα的图象恒在y=x的下方，则α的取值范围是 1 19（201·

(2

，b=23

(2

.则下列关系式中正确的是 1 1 1

(2

(=

；b=23

.yx3在（0,+∞)上是增函数 ,即5510．函数y(mx24xm2)4(m2mx1)的定义域是全体实数，则实数m的取值范围 55Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．(1

ymx24xm2)4m2mx1mx24x

对一切实数都成立，即m0且424m(m205解得m 1 故选5111.(2011·福州模拟)幂函数的图象过点(2,4)，则它的单调增区间是( 1D.y=xα,∵其图象过点