2020年中考三轮冲刺复习培优同步练习：合集

三轮冲刺复习培优同步练习：《锐角三角函数》

1.为缓解交通压力，建设美丽遵义，市政府加快了风新快线的建设.如图，48两地之间

有一座山，汽车原来从4地到8地需途径C地沿折线/第行驶，现开通隧道后，汽车可

直接沿直线48行驶.已知仇=8千米，N4=45°,Z5=30°.

（1）开通隧道前，汽车从力地到8地大约要走多少千米？

（2）开通隧道后，汽车从力地到8地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）

（参考数据：加七1.414,«=1.732）

2.某次台风来袭时，一棵笔直大树树干48（树干48垂直于水平地面）被刮倾斜后折断倒

在地上，树的顶部恰好接触到地面。处，测得/01=37°,NACD=60°,4A5米，求

这棵大树48的高度.（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°-0.6,cos37°-0.8,

tan37°%0.75,73）

§|：B，

I虱

AD

3.某数学活动小组实地测量某条河流两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度.在河的北

岸边点4处，测得河的南岸边点8处在其南偏东45。方向，然后向北走40米到达点C

处，测得点8在点C的南偏东27。方向，求这段河的宽度.（结果精确到1米.参考数

据：sin27°七0.45,cos27°70.89,tan27°%0.51,&七1.41)

4.如图，无人机在离地面40米的。处，测得楼房顶点C处俯角为37°,测得地面点8的

俯角为45°.已知点8到楼房4C的距离为60米，求楼房4C的高度.（结果保留整数,

参考数据:sin37°—0.60,cos37°七0.80,tan37°—0.75）

5.小明尝试用自己所学的知识检测车速，如图，他将观测点设在到公路/的距离为0.1千

米的户处.一辆轿车匀速直线行驶过程中，小明测得此车从4处行驶到8处所用的时间

为4秒，并测得N4/7=59°,NBPg45°.根据以上的测量数据，请求出该轿车在这4

秒内的行驶速度.（参考数据：sin59°«=0.86,cos59°=»0.52,tan59°=1.66）

6.如图所示，一副篮架由配重、支架、篮板与篮筐组成，在立柱的C点观察篮板上沿。点

的仰角为45。，在支架底端的4点观察篮板上沿。点的仰角为54°,点C与篮板下沿点

£在同一水平线，若4A1.91米，篮板高度如为1.05米，求篮板下沿£点与地面的距

离.（结果精确到0.1m,参考数据：sin54°七0.80,cos54°^0.60,tan54°七1.33）

7.如图，在东西方向的海面线网上，有48两艘巡逻船，两船同时收到渔船C在海面停

滞点发出的求救信号，测得渔船分别在巡逻船48的北偏西30。和北偏东45。方向，

巡逻船力和渔船C相距120海里.(结果取整数，参考数据：&-1.41,向'1.73,加

Q2.45)

(1)求巡逻船8与渔船C间的距离；

(2)已知在48两艘巡逻船间有一观测点。(4B,。在直线仰上)，测得渔船。在

观测点。的北偏东15°方向，观测点。的45海里范围内有暗礁.若巡逻船8沿仇?方向

去营救渔船C,问有没有触礁的危险？并说明理由.

8.在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，

显示屏可以绕。点旋转一定角度.研究表明：当眼睛E与显示屏顶端/在同一水平线

上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心户的的视线EP与水平线9

的夹角N/的时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端4与底座C的连线4C与水平线

①垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得N83=30°,N的£=90°,液晶

显示屏的宽AB为32cm.

（1）求眼睛£与显示屏顶端A的水平距离AE-,（结果精确到1cm）

（2）求显示屏顶端4与底座C的距离4c.（结果精确到1cm）

（参考数据：sin18°=0.3,cos18°«=0.9,tan18°七0.3,&七1.4,百长1.7）

9.小甬工作的办公楼（矩形48C0）前有一旗杆恻MNLDN,旗杆高为12m,在办公楼底力

处测得旗杆顶的仰角为30°,在办公楼天台8处测旗杆顶的仰角为45°,在小甬所在办

公室楼层£处测得旗杆顶的俯角为15。.

（1）办公楼的高度48；

（2）求小甬所在办公室楼层的高度AE.

10.如图，在一条东西走向的公路椒的同侧有48两个村庄，村庄8位于村庄力的北偏东

60°的方向上（2048=60°）,公路旁的货站户位于村庄4的北偏东15°的方向上，已

知PA平为ZBPN,A42k用,求村庄48之间的距离.（计算结果精确到0.01痴，参考

数据：&11.414,73^1.732,76^2,449)

11.随着疫情逐步得到控制，在疫情防控初期驰援武汉的医护人员已陆续返回，深圳市为返

深医护人员在中心区亮灯致敬.某大厦的立面截图如图所示，图中的所有点都在同一平

面内，已知高度为的测量架4尸在/点处测得N1=30°,将测量架沿方向前进220〃

到达G点，在8点处测得N2=45°,电子显示屏的底端£与地面的距离加156，请你

计算电子显示屏然的高度.（结果精确到1m,其中：&七1.41,愿处1.73）

12.某太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示，已知真空集热管好与支架第所在

直线相交于点。，皂.0B=0E；支架宓与水平线4?垂直，AC=6Qcm,N4如=30°,DE=

280cm,另一支架48与水平线夹角NHIg65°,求防的长度.(结果精确到1cm；温馨

提示：sin65°=^0.91,cos65°70.42,tan65°^2.14)

13.如图1是一手机支架，其中48=8助，底座CO=1cm,当点4正好落在桌面上时如图2

所示，AABC=QQ°,Z/4=60°.

(1)求点B到桌面AD的距离;

(2)求宓的长.(结果精确到0.1cm；参考数据:sin50°=0.77,cos50°=0.64,tan50°

«=1.19,5/3=1.73)

14.如图1,是某保温杯的实物图和平面抽象示意图，点48是保温杯上两个固定点，与

两活动环相连，把手3与两个活动环8c相连，现测得47=&7=2.6cm,AB=\7cm,

如图2,当4D,C三点共线时，恰好

(1)请求把手办的长；

(2)如图3,当3〃48时，求N4JC的度数.(参考数据：sin57.5°40.843,cos57.5°

70.538,tan57.50=»1.570)

图1图2图3

15.图1是一台用保护套套好的带键盘的平板电脑实物图，图2是它的示意图，忽略平板电

脑的厚度，支架维分别固定在平板电脑4。背面中点8处，桌面£处，£8可以绕点£转

动，当点。在线段)上滑动时，可调节平板电脑4。的倾斜角N/%，经测量，CE=24cm,

CF=9cm,支架3£=LP=10.5c〃.

2

(1)连接作，求证：AELCE-,

(2)当/4a=120。时，求4,£两点间的距离；

(3)当点。滑到距离打点1的处时，视觉效果最好，求此时倾斜角N/AC的度数.

(参考数据：次比1.73,sin48.19°=0.75,cos48.19°=0.67,tan48.19°Q1.12,

结果保留一位小数)

图1图2

16.如今，不少人在购买家具时追求简约大气的风格，图1所示的是一款非常畅销的简约落

地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图2所示的是其侧面示意图，其

中勿为镜面，合为放置物品的收纳架，AB,4C为等长的支架，8c为水平地面，已知0A

=44cm,00=12。cm,SD=40cm,ZABC=75°.（结果精确到1c仍.参考数据：sin750

=0.97,cos750=s0.26,tan750=3.73,&七1.41,百七1.73）

（1）求支架顶点力到地面箔的距离.

（2）如图3,将镜面顺时针旋转15°,求此时收纳镜顶部端点。到地面宓的距离.

17.如图1,这是阳台电动升降晾衣架，它左侧的基本形状是菱形，通过调节菱形内角的大

小，从而实现升降晾衣杆.图2是晾衣架左侧的示意图，已知菱形的边长为15cm当晾衣

架伸展至长（即点0到直线/?的距离）为105cm时，求的大小.（参考数据：sin15°

=0.26,cos15°~0.97,sin51.3°«=0.78,sin58.1°々0.85）

图1图2

18.如图，旗杆48的后面有一建筑物切，当光线与地面的夹角是30°时，旗杆在建筑物的

墙上留下高2米的影子如，而当光线与地面夹角是45°时，旗杆顶端4在地面上的影子

尸与墙角C有6米的距离（B、F、。在一条直线上）.请你求出旗杆48的高度.（结果

保留根号）

19.图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点力处，手柄长

施=25的，阳与墙壁M的夹角N。'48=37°,喷出的水流坑?与48形成的夹角//1加=

72。，现住户要求：当人站在£处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且巫=50cm,

C£=130的，问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（sin37°«0.60,cos37°

=0.80,tan37°=0.75,sin72°=0.95,cos72°Q0.31,tan72°08,sin35°弋

0.57,cos35°QO.82,tan35°^0.70)

图1图2

20.新冠肺炎期间，各地积极抗疫，建起了方舱医院，如图，某方舱医院内一张长200明，

高50cm的病床靠墙摆放，在上方安装空调，高度CE=250cm,下沿炉与墙垂直，出风口

F离墙20cm,空调开启后，挡风板房与£夹角成136。，风沿方向吹出，为了病人不

受空调风干扰，不能直接吹到病床上，请问空调安装的高度足够吗？为什么？（参考数

据：sin46°70.72,cos46°^0.69,tan46°^1.04）

20C?M

参考答案

1.解：（1）过点c作的的垂线CD,垂足为D,

；.C!9=80sin3O。=8X^=4（千米），

&仟米），

4/成=8+4&七13.7（千米），

答：开通隧道前，汽车从4地到8地要走约13.7千米;

（2）•••cos30°=—,8a8（千米），

BC

...故=80cos30°=8X1=4愿（千米），CD=—BC=A（千米），

22

••+一CD

・tan45=----,

AD

•■AD=―（千米），

tan45

・・・48=/4分能=4+45/^10.9（千米）,

：.AC+BC--45=13.7-10.9=2.8（千米），

答：开通隧道后，汽车从/地到8地可以少走约2.8千米千米.

2.解：过点4作①于点£则N的=90°.

D

•・•在RtZ\/497中，ZADC=37°,

・-DE-DE_Q

••COSu/Un.o■

AD5

:.DE=4,

••Q-70_AE_AE__八/

.s1n37------------------0.6,

AD5

：,AE=3.

在RtZk/l&;中，

'：ZCAE=90°-ZACE=90°-60°=30°,

."£=噂但仃

o

:.AC=2CE=2W、

4份府切=2伤后4=3伤4（米）.

答：这棵大树原来的高度是（3'》4）米.

3.解：如图，延长勿于点。，交直线劭于点。,

贝I]CDLBD,

NABD=45°,2BCD=TT,AC=^Q,

在RtZi/l做中，AD^BD,

在Rt△胸中，tanZBCD^—=-^―

CDAC+AD

解得力为41.6742（m）.

答：这段河的宽度约为42米.

4.解：如图,

过点。作。口彳8于点Ec。然于点E

根据题意可知：

CAA-AB,

所以四边形力性是矩形，

:.CF=AE、AC=EF,

VZ^=45°,

:・DE=BE=40,

：.AE=AB-BE=60-40=20,

:・CF=AE=20、

DF=DE-EF=DE-AC=40-AC,

在Rt△的7中，ZDCF=37°,

:.DF=CF*taMDCF

艮|J40-/k?=20Xtan37°,

解得/Ig25（米）.

答：楼房4C的高度为25米，

5.解：在RtZk80户中，4BPO=45。,P0=0.1

：.BO=PO=Q,U,

在RtZ\47「中，NAPO=59°,%=0.1,

・・・/kT=POtan59°^0.1X1.66=0.166,

：.AB=AO-BO=Q.166-0.1=0.066,

4

0.0664-=59.4,

3600

答：该轿车在这4秒内的行驶速度为每小时59.4千米.

6.解：如图,

D

延长DE与48的延长线交于点F,

则四边形8窕尸是矩形，

：.BC=EF,CE=BF,

根据题意可知：

NDCE=45°,

・・・宏=巫=1.05,

在尸中，N"尸=54。,

DF=DB~EF=\95+EF,

AF=A^BF=ABWE=r91+1.05=2.96,

DF=AF9tanZDAF、

即1.05+£F、2.96X1.33,

解得g2.9(米).

答：篮板下沿£点与地面的距离约为2.9米.

7.解：(1)作CELMN千E,如图1所示：

则N/C£=30°,NBCE=45°,NDCE=15°,ZABC=45°,

：.AE=^AC=6Q,在=如在=60«,△仇如是等腰直角三角形,

BE=CE=60弧,BG^■/jpE=60氓,

答：巡逻船8与渔船C间的距离为60遍海里；

(2)没有触礁的危险；理由如下：

由题意得：AB=B^AE=6Q^60,

ZACD^ZACE^ZDCE^30°+15°=45°,

NACD=2ABC,

'：NCAAZBAC,

:•XCADsXBAC,

.AD=AC即AD_120

''AC-AB'砺-6W§+6Ci，

解得：m120(V3-D,

：.BD=AB-AD=60^60-120(6-1)=180-60«(海里)；

作DF-LBC于F,如图2所示：

Z^C=45°,

.•.△8。尸是等腰直角三角形，

,.,54>45,

没有触礁的危险.

图2

8.解：(1)由已知得新=明=[>仍=16cm,

在Rt△4户£中，

AP

,；sinN/4£P=

AE

匚

/AP_______.A16E—七」53,_______

sin/AEPsinl800.3

答：眼睛E与显示屏顶端力的水平距离〃■约为53km；

(2)如图，过点8作8Q4C于点尸,

•:NEA济4BAF=9C,N£4次N4缶=90°,

:・/BAF=NAEP=\8。,

在Rt△48「中，

AF=AB-cosZBAF=32Xcos18°=32X0.9728.8,

斯=48・sinN分尸=32Xsin180%32X0.3^9.6,

'：BF〃CD,

：・NCBF=ZBCD=30°,

:.CF=BF*tan/CBF=9.6Xtan300=9.6X返=«5.44,

3

：.AC=AF+CF=28.8+5.44=«34(c而.

答：显示屏顶端A与底座C的距离4C约为34cm.

9.解：(1)如图，过点M作例AL48于点”，

'：MN'DN、NBAN=9Q°,

，四边形椒4〃是矩形，

：.AH=MN=M,

MH//AN//BC,

：.^AMH=ZW=30°,

在中，MH=―黑L=12«,

tan30

・・・N则=45°,

:.B4M仁\2如、

：.AB=A*BH=12+12M.

答：办公楼的高度48为(12+1273)m.

(2)过点£作々2_LM于点0,

由(1)得，NEAg60°,

：.ZfiW2=180°-NEAM-NAE/lf=180°-60°-75°=45°,

设/4£=x,则42=x・cos60°=-^-x,

MQ=EQ=x,sin60°=^^~x,

由/W=2*=24,

马匹x=24,

22

解得x=24«-24(而.

答：小甬所在办公室楼层的高度为(24我-24)m.

10.解：如图，延长加交椒于点4

则ADJLMN,过点户作PCL4B于点、C.

根据题意可知：N*〃=15°.

：.2APD=qQ°-NPAD=15°.

,:AP平伞ZBPN,

:.NAPD=4APB=15°.

•••N048=60°,

：.』PAB=/QAB-』PAD=45°.

N物=180°-NPAB-NAPB=6Q°.

在Rt△初C中，ZACP=90°,ZPAC=45a,AP=2,

，sinNPACh5y,

PA

即返匹

22

PC=V2.

/-AC=PC=

在Rt△户第中，ZBC七9G,NPBA=60°,PC=V2,

•cPC

.♦ta曲而，

即E祭

BC/

AB=AC+BC=721-414+^^-=2.23（痴.

答：村庄48之间的距离约为2.23km.

11.解：I•在RtZX8C〃中，Z2=45°,

.,.△83是等腰直角三角形，

.'.BC=DC.

设BXDgxm,

•••在RtZk/13中,Z1=30",

.Z1_DCV3

,.tan/1-^--'

AC=A/3X,

■：AC-仇？=220,

■,-V3x-x=220,

解得x=110相+110.

•：DE^DC+CH-EH,O/=1,£77=15,

•■.DE=U0V3+96«286.3^286（册.

故电子显示屏”的高度约为286m.

12.解：设OE=OB=2xcm,

：.OD=D&OE=280+2x,

；NADE=3G°,

：.OC=—OD=,\40+x,

2

/.BC=OC-0B=140+x-2x=140-x,

'.'tanZBAD=

AC

14。—x

・,.2.14-3乂

60

解得：1.6,

：,OB=2x%23(cni).

故08的长度约为23切.

13.解：(1)过点8作于点£

/.ZAEB=9Q°,

・・・N4=60°,AB=8,

：.BE=4M，

.■.点8到桌面的距离是4次.

(2)延长交必于点F,

：.ZBFC^9Q°

■：ZA=60°,ZABC=80°,

:.NCBF=50°,

由题意可知：8尸=4«-1,

BF

'.'cosSO0=----,

_BC

:3cm,

0.64

，仇?的长度为9.3cm.

图2

14.解：(1)如图2,•.,在RtZ\48C中，NC=90°,

/,<7=VAB2-BC2=7172-2.62=16-8(而，

：.CD=AC-AD=16.8-2.6=14.2(cm).

(2)如图3,分别过G。作CRM8于£DF1AB于F.

,/CD//AB,

：.ZCDF=90°=/DFE=4CEF,

二四边形CDFE是矩形，

:・DF=CE、EF=CD,

又AD=BC,

:・Rt4ADF边RtABCE(HD,

：.AF=BE=—(AB-EC=—(17-14.2)=1,4(cm),

22

AF_1.4_7

•\cosZ.DAF=—^0.538

AD2.613

：・4DAF=ai.5°,

CD//AB.

：.Z.ADC=\3QO-N勿尸=122.5°.

YBE*AD,8是47中点，

：,AB=BE=BD,

NA=NAEB,NADE=NDEB.

在《中，N"NAE济NAD&NDEA1B0。,

：.2HAE及ZDEff)=180",

:.』AE的NDEB=qQ°,即N4£Z7=90°,

.-.AE1.CE；

(2)•/ZADC=UQ°,

；.ZADE=60°.

在RtZ\/l国中，AE=sinZADE=^AD.

2

^-AD=10.5cz77,

'.AD=2ycm,

.・/£•=&厄％8.5(cm)；

2

(3)YDF='、g=24,CF=9,

:・DE=CE-CF-DF='4.

在就△>!，£中，cosZ/IP£==—=—=—^0.67,

AD213

・・・N4?E=48.2°,

A^ADC=y8Q°-N4℃131.8°.

16.解：(1)如图1,过点力作力以%于点/.

\'OA=44cm,⑺=120,

：.AD=OD-04=76,

BD=40cm,

：.AB=B次AD=76+40=116.

\'ABC=75°,

「•在Rt△48/中，

4/=/48・sin75°^116X0.97^113(的).

答：支架顶点4到地面M的距离约为113(阴),

(2)如图2,过点0作0GJ_8c于点G.过点4作4AL0G于点”,

VZBAC=3Q°,N%f=15°,

Z6M6*=135°.

/.ZAM/=90°,N)/=15°,

，HAC=15°,

AZ04//=60°,

•'-OH=OA-sin600=44

YHG=Aly113、

/.0G=OH^HG^22^\13^151(cm)

答：端点。到地面宓的距离为151(cm).

.・.四边形是菱形,

：.ABL0P,40AP=240AB,

由题意得，加芈■=乎，40=15,

y3

.'.sinZ0AB=—='~3~70.78

0AIT

・•・N048=51.3°,

・・・N/P=2N"8=102.6°.

0

18.解：过点£作日小48于点K设ZQx,

在RtZ\?!8尸中，•；N4:S=45。，

BF—AB^x,

：.BC=BPrFC=x+6.

在Rt△/日/中，

即奈=亨，解得x=2«.

■：ZAEM^30a,A4AB-CE=x-2、tan300=—,

ME

旗杆距的高度为2愿米.

19.解：过点8作8G_L"。于点G,延长&?、G8交于点尸,

•：AB=25,DE=50,

_GB_GA

/.sin37°-AB,cos37°"AB5

・・・G%25X0.60=15,外725X0.80=20,

・・・8尸=50-15=35,

•：4ABC=12°,N。'AB=37°,

・・・NG仍=53°,

・•，NC8尸=55。,

:・/BCF=35°,

=BF

'."tan350-CF,

35

CFx=50,

0.70

.,./T=50+130=180,

：.GD=FE=^Q,

...4X180-20=160,

，安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置.

图2

20.解：空调安装的高度足够.理由如下：

如图，延长尸G交直线朋于点“，过尸作卬•!•加于点0,

贝I]/77=£»=250-50=200(cm),200-20=180(cm),/HFO=136°-90°=46°

,在RtZ^a/0中，tan46°=—,

F0

HgFOXtan46°七200X1.04=208>200,

：.HO>AO,

••・空调安装的高度足够.

B

三轮冲刺复习培优同步练习：《四边形》

1.在平面直角坐标系中，0为原点，点4(JE，0),点8(0,1),点E是边48中点，

把△480绕点4顺时针旋转，得点0,8旋转后的对应点分别为。，C.记旋转角

为a.

(I)如图①，当点。恰好在熊上时，求点。的坐标；

(II)如图②，若a=60°时，求证：四边形如缈是平行四边形；

(III)连接OC,在旋转的过程中，求△应C面积的最大值(直接写出结果即可).

2.如图，在长方形加3中，A8=4cm,8£=5cm,点£是47边上的一点，4£、底分别长acm、

bcm,满足(a-3)2+|2^b-9|=0.动点"从8点出发，以2cWs的速度沿5Hg。运

动，最终到达点D.设运动时间为ts.

(1)a—cm-

(2)t为何值时，把四边形成汪的周长平分？

(3)另有一点。从点石出发，按照的路径运动，且速度为1cWs,若户、。两点

同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动.求力为何值时，△8户。的面积

等于6cm.

备用图

3.如图所示，四边形缈为平行四边形，/4。=13,48=25,ZDAB=a,且cosa=W，

xO

点£为直线3上一动点，将线段)绕点£逆时针旋转a得到线段EF,连接CF.

(1)求平行四边形48缈的面积；

(2)当点C、B、尸三点共线时，设)与四相交于点G,求线段8G的长；

(3)求线段次的长度的最小值.

4.如图，在正方形48纱中，点£是边8c上任意一点(点£不与点反。重合)，连结。£,

点C关于萌的对称点为Q连结4G并延长交纸的延长线于点M,尸是4G的中点，连

结匹

【猜想】如图①，N&W的大小为度.

【探究】如图②，过点力作4黑〃跌交船的延长线于点儿，连结8〃

求证：XAB旭XADM、.

【拓展】如图③，连结为C,若正方形4仇沙的边长为2,则△476面积的最大值为______.

图①

5.如图，已知nABCD,£是以延长线上一点，且N&8=90°,AB=AE,点、F是BC下方一

点，皂.FE=FD,4EFD=90°,

(1)求证：ZFEA=NFDC；

(2)若加'=3,求4?的长.

6.在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点为(5,0)在x轴的正半轴上，四边形以8c

为平行四边形，对角线必="，8c交y轴于点。，且&@g=20.

(1)如图①，求点8的坐标:

(2)如图②，点尸在线段勿上，设点户的纵坐标为t,△以8的面积为S,请用含t的

式子表示5;

(3)在(2)的条件下，如图③，点。在x轴上，点"为坐标平面内一点，若NOCB-N

惭=45°,且四边形夕。身?为菱形，求方的值并直接写出点。的坐标.

R

7.已知在四边形力比。中，AD//BC,ABI.80,47=2,48=4,於=6.

(1)如图1,P为四边上一点，以勿，0C为边作平行四边形"约〃，过点。作

交8c的延长线于求证：△/¥运△HC0；

(2)若P为四边上任意一点，延长必到E,使DE=PD,再以PE,外为边作平行四边

形PCQE.请问对角线。。的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在,

请说明理由.

(3)如图2,若户为〃C边上任意一点，延长必到£,使〃•=〃*("为常数)，以PE,

用为边作平行四边形在以后请探究对角线夕。的长是否也存在最小值？如果存在，请求

出最小值；如果不存在，请说明理由.

8.如图①，在平行四边形4宓〃中，AB=Q,BC=6,NABC=60；AE平分NBAD交CD于前

F.动点户从点A出发沿初向点。以每秒1个单位长度的速度运动.过点尸作PQLAD,

交射线于点0,以力。为邻边作平行四边形平行四边形4砸与△/(〃下重叠

部分面积为$当点户与点。重合时停止运动，设户点运动时间为t秒.(t>0)

(1)用含t的代数式表示。尸的长.

(2)当点的落到3边上时，求1的值.

(3)求S与t之间的函数关系式.

(4)连结对角线4/与户。交于点G,对角线4;与劭交于点0(如图②).直接写出当

GO与做的边平行时t的值.

BB

图①图②

9.如图①，正方形加中的边长为2,点户是正方形力成0内一点，连结版PB,PD,XPAB

为等边三角形.

(1)求点户到边做48的距离之和;

(2)如图②，连结曲交以于点E求△在劭的面积以及照■的值.

10.如图，已知N胱290°,A,8分别是边第和加上的点，四边形"Z厉和四边形阳7c

都是正方形.

(1)当以=2,08=1时，求力的长.

(2)当/=1,点4在直线掰上运动时，求0c的最小值.

(3)设S△斯=y,OA=x,求y关于x的函数关系式.

E

11.已知：如图①，在比中，N4沼=90°,BX8,48=10,点。，E,尸分别是阳,

AC,8c上的动点，且AP=2CE=2BF,连结生PF,以PE,所为邻边作平行四边形而阳

(1)当点户是48的中点时，试求线段用的长.

(2)在运动过程中，谕,CE=m,若平行四边形外•"的面积恰好被线段回或射线力C分成

1：3的两部分，试求m的值.

(3)如图②，设直找卬与直线4C交于点乂在运动过程中，以点。，N,£为顶点的三

角形能否构成直角三角形？若能，请直接写出符合要求的纸的长；若不能，请说明理由.

12.定义：有三条边相等的四边形称为三等边四边形.

(1)如图①，平行四边形〃中，对角线OI平分仇也将线段CD绕点C旋转一个角度

a(0°VaVNb)至CE,连结布

①求证：四边形在是三等边四边形；

②如图②，连结DE.求证：/BEXZACB.

(2)如图③，在(1)的条件下，设BE与4c交于点、G,NABE=3NEBC,48=10,cos

/BAC=W'求以仇?，G£和然为边的三角形的面积.

5

13.如图，长方形48必在平面直角坐标系中，AD〃BC//x蝴、ABHDCHy蝴、x轴与y轴夹

角为90°,点必〃分别在xy轴上，点》(1,8),8(1,6),C(7,6),D(7,8).

(1)连接线段如、OD、BD,求劭的面积；

(2)若长方形切在第一象限内以每秒0.5个单位长度的速度向下平移，经过多少秒

时，△。劭的面积与长方形为8切的面积相等请直接写出答案；

(3)见备用图，连接OB,OD,OD交BC于点、E,NBON的平分线和NBEO的平分线交于

点尸.

①当N8&?的度数为"，NaW的度数为m时，求N0E的度数.

②请直接写出N旌和N8"之间的数量关系.

14.将一个矩形纸片以8c放置在平面直角坐标系中，点0(0,0)，点力(8,0)，点C(0,

6).。是边。C上的-一点(点。不与点0,C重合)，沿着4P折叠该纸片，得点。的对

应点0'.

图①图②

(I)如图①，当点。’落在边8c上时，求点。’的坐标；

(II)若点0'落在边8c的上方，O'P,O'力与分别与边8c交于点D,E.

①如图②，当N"Q30°时，求点。的坐标；

②当少=0，。时，求点。的坐标(直接写出结果即可).

15.在等腰梯形4仇切中，AD//BC,AADX5、4。=6,民=12.

(1)梯形48缈的面积等于.

(2)如图1,动点户从。点出发沿0C以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点。从C

点出发沿缈以每秒2个单位的速度向8点运动.两点同时出发，当户点到达C点时，0

点随之停止运动.当。。〃48时，P点离开。点多少时间？

(3)如图2,点K是线段4?上的点，M、/V为边8c上的点，BM=CN=5,连接4V、DM,

分别交耿、欧于点£、F,记△40G和△身。重叠部分的面积为S,求S的最大值.

16.【探索规律】

如图①，在a/b。中，点伉E,尸分别在4昆BC,4;上，豆DF//BC、EF//AB.设XADF

的边〃尸上的高为功,的边在上的高为4.

h.

(1)若/\ADF、△&•<!?的面积分别为3,1,则一;

h2

(2)设AADF、XEFC、四边形8勿芒的面积分别为£,&,S,求证：S=2宿用；

【解决问题】

(3)如图②，在△他?中，点〃，£分别在他4C上，点尸，G在BC上,且如〃8C,DF

//BG.若△儿好、4DBF、的面积分别为3,7,5,求△486•的面积.

图①图②

17.已知：如图，在四边形4口盟中，AB//CD,N/8C=90°,4B=A0=lQcm,QA4cm.点

户从点力出发，沿形方向匀速运动，速度为2cWs；同时点。从点C出发，沿外方向在

AC的延长线上匀速运动，速度为1c/s；当点户到达点8时，点。停止运动.过点户作

PE//BD,交4?于点£连接口?,BQ.设运动时间为t(s)(0<t<5),解答下列问题:

(1)连接/。，当力为何值时，P0//AD1

(2)设四边形阳处的面积为y(cZ),求y与大的函数关系式；

(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使四边形必处的面积为四边形力83面积的金,

y

若存在，求出1的值；若不存在，请说明理由；

(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t,校EQ'BH若存在，求出力的值；若不存在,

请说明理由.

18.已知菱形48勿中，48=4,N外A120°,点户是直线四上任意一点，连接力,在N

户3内部作射线C。与对角线劭交于点。(与反。不重合)，且N户约=30°.

(1)如图，当点户在边力8上，且加=3时，求外的长；

(2)当点。在射线&I上，且%〃(0W〃<8)时，求OC的长；(用含〃的式子表示)

(3)连接户0,直线。。与直线8c相交于点£,如果如与△仇尸相似，请直接写出线

段加的长.

BB

备用图

19.如图，在Rt^/ISC中，NACB=90°,AC=}2,48=20.点户从点8出发，以每秒5个

单位长度的速度沿宓向终点C运动，同时点”从点4出发，以相同速度沿48向终点3

运动.过点户作必U48于点。，连结"。，以PQ、他为邻边作矩形%W,当点户运动到

终点时，整个运动停止，设矩形必恤与重叠部分图形的面积为$(S>0),点尸

的运动时间为/秒.

(1)①8c的长为；

②用含/的代数式表示线段户。的长为.

(2)当做的长度为10时，求t的值；

(3)求6与力的函数关系式；

(4)当过点。和点〃的直线垂直于RtZ\48C的一边时，直接写出t的值.

20.在正方形4仇》中，E,尸分别在力〃，DC上,且AE=DF,AF交BD于G.

(1)如图1,求证：BELAF.

(2)如图2,在边四上取一点儿使砍=/!£这K作KS〃AF交BD于S、求证：G是SD

中I占八、、•

(3)在(2)的条件下，如果48=8,的是N/I8Z?的平分线，求△8S/T的面积.

图1图2

参考答案

1.解：(I)F(V3.O),点s(0,1),

OB—1,

在^九厉中，NAOB=90。,tanNElg=*=^,

ZBAO=3Q°.

:.AB=2OA2,

由旋转性质得，DA=OA~yp^,

过。作DM1.（M于M,如图①所示：

则在RS%"中，例/=｝）〃=券，A46PQ今,

：.OM^AO-04如_1-,

（岳多冬.

（H）延长如交4c于尸，如图②所示：

在RtZVl仍中，点E为四的中点，ABAO=3Q0,

：.OE=BE=AE.

又NA8O=60°,

・•・48%是等边三角形，

・•・OE=OB,

・・・N8如=60°,

ZEOA=30°,

由旋转性质，DC=OB,

：.OE=DC.

'/a=60°,

AZ04/7=60°,

由旋转性质知，ZDAC=ZOAB=30°,4DCA=/OBA=0°,

：.AOAC=^OAD^^DAC=9Q°,

・•・/07^=90°-Z£6M=90°-30°=60°,

・•・/DCA=/OFA、

：.0E//DC.

，四边形0&切是平行四边形.

(///)由旋转的性质得：在旋转的过程中，点C在以点4为圆心，以48为半径的圆上,

如图③所示：

过点A作AG1.OE交如的延长线于G,

当G、AC三点共线时，△兆C面积最大，

••,点£是边四中点，4390°,AB=2,

OE=BE=AE=1=OB,

.•