2020版高中数学第一章解三角形阶段训练一新人教B版

阶段训练一(范围：§1.1～§1.2)一、选择题1．在△ABC中，已知b＝3，c＝33，A＝30°，则角C等于( )A．30°B．60°或120°C．60°D．120°答案D222ac分析由余弦定理可得a＝b＋c－2bccosA，即a＝3，依据正弦定理有sinA＝sinC，3故sinC＝2，故C＝60°或120°.若C＝60°，则B＝90°＞C，而b<c，不知足大边对大角，故C＝120°.2．已知a，b，c为△ABC的三边长，若知足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则C的大小为( )A．60°B．90°C．120°D．150°答案C分析∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，即a2＋b2－c2＝－1，2ab21cosC＝－2，∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.3．为了测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔的高为()ABA．201＋3mB．201＋3mC．20(1＋3)mD．30m32答案A分析塔的高度为20tan30°＋20tan45°＝201＋3(m)．34．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－)，若p∥，则角的大小为()aqCπππ2πA.6B.3C.2D.3答案B分析由p∥q，得(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，222a2＋b2－c21即c－a－b＋ab＝0，即2ab＝2＝cosC，又C∈(0，π)，因此C＝π.3sinB＋sinC5．在△ABC中，sinA＝cosB＋cosC，则△ABC为( )A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形答案C分析由已知得cos＋cossinB＋sinC＝，BCsinAa2＋c2－b2a2＋b2－c2b＋c由正弦、余弦定理得2ac＋2ab＝a，即a2(b＋c)－(b＋c)(b2－bc＋c2)＝bc(b＋c)，即a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形．6．在△中，角，，C的对边分别是，，，已知b＝，2＝22(1－sin)，则A等ABCABabccabA于( )3ππππA.4B.3C.4D.6答案C分析∵b＝c，∴B＝C，又B＝π－(A＋C)，∴2B＝π－A.由正弦定理，得sin2A＝2sin2B(1－sinA)，sin2A＝(1－cos2B)(1－sinA)，sin2A＝[1－cos(π－A)](1－sinA)(1＋cosA)(1－sinA)，1－cos2A＝(1＋cosA)(1－sinA)，∵A∈(0，π)，∴1＋cosA≠0，1－cosA＝1－sinA，πsinA＝cosA，A＝4.7．(2018·银川模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝23，a＋＝6，acosB＋bcosA＝2cos，则c等于( )bcCA．27B．4C．23D．33答案CacosB＋bcosA分析∵＝2cosC，c由正弦定理，得sinAcosB＋cosAsinB＝2sinCcosC，sin(A＋B)＝sinC＝2sinCcosC，π因为0<C<π，sinC≠0，∴cosC＝2，∴C＝3，13S△ABC＝23＝2absinC＝4ab，∴ab＝8，a＝2，a＝4，又a＋b＝6，解得或b＝4b＝2，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋16－8＝12，c＝23.二、填空题8．(2018·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°，则sinB＝________，c＝________.答案2137分析如图，b由正弦定理sinA＝sinB，得sin＝b·sin＝2×3＝21.BaA727由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cosA，得7＝4＋c2－4c×cos60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．9．已知在△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cosC的值为________．1答案3分析由3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，得c2＝a2＋b2－2.3ab依据余弦定理得cos＝a2＋b2－c2C2ab22222a＋b－a－b＋3ab1＝2ab＝3，因此cos1＝.C310．在△ABC中，sinA＝3，a＝10，则边长c的取值范围是________．440答案0，3分析∵c＝a404040sin＝，∴c＝sinC，∴0<c≤.sinCA33311．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，，B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为________km.A答案6－1分析由题意知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，AC＝2km，AB＝3km，设B船到灯塔C的距离为xkm，即BC＝xkm.由余弦定理可知222AB＝AC＋BC－2AC×BC×cos∠ACB，即9＝4＋x2－2×2x×－1，2整理得x2＋2x－5＝0，解得＝－1－6(舍去)或x＝－1＋6.x三、解答题12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC.求cosA；若a＝3，△ABC的面积为22，求b，c.解(1)∵3(cosBcosC＋sinBsinC)－1＝6cosBcosC，∴3cosBcosC－3sinBsinC＝－1，13cos(B＋C)＝－1，∴cos(π－A)＝－3，1cosA＝.32由(1)得sinA＝3，1由面积公式2bcsinA＝22，得bc＝6，①依据余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a2b2＋c2－912bc＝12＝3，则b2＋c2＝13，②①②两式联立可得＝2，＝3或b＝3，＝2.bccπ13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝3.若△ABC的面积等于3，求a，b.若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．解(1)由余弦定理及已知条件得a2＋b2－ab＝4，①13又S△ABC＝2absinC＝4ab＝3，得ab＝4，②①②联立解得a＝2，b＝2.(2)由题设得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin2A，即sinBcosA＝2sinAcosA，当cos＝0时，＝π，＝π，264323依据正弦定理，得a＝3，b＝3，此时S＝2absinC＝3，△ABC123当cosA≠0时，sinB＝2sinA，由正弦定理得，b＝2a，③2343联立①③解得a＝3，b＝3，123则S△ABC＝2absinC＝3.3综上可得S△ABC＝3.→→14．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若D为BC的中点，AD·BC＝a2－3ac，则＝________.2B答案30°→1→→分析∵D为BC的中点，∴AD＝2(AC＋AB)．→→→→→1→→→→1→2→2122又BC＝AC－AB，∴AD·BC＝2(AC＋AB)·(AC－AB)＝2(AC－AB)＝2(b－c)，122a2－3ac222∴2(b－c)＝2，∴b＝a＋c－3ac.2223∴由余弦定理b＝a＋c－2accosB知，cosB＝2，又0°<<180°，∴＝30°.BB15．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB.求角C的大小；若c＝3，求△ABC周长的取值范围．解(1)由题意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sinAsinB，即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sinAsinB，由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，cosC＝a2＋b2－c2－ab1由余弦定理得2ab＝2ab＝－2，2π又0<C<π，∴C＝3.ab＝c3＝2，(2)∵