2017高二寒假讲义01函数性质的运用

奇偶性在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则若f(x)是偶函数，则图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．周期性定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，则其一个周期常见结论 函数f(x)的最小正周期为f(x＋a)＝

函数f(x)的最小正周期为f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于x＝a＋b2例1、设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，则不等式x

<0的解集 可得在(－2，0)和(2，＋∞)上f(x)>0，在(－∞，－2)和(0，2)上f(x)<0.当x>0时，由f（x）－f（－x）<0，可得

<0，可得f(x)－f(－x)＝2f(x)>0，结合图象可知(－2，0)符合.答案2f(x)＝ln(1＋|x|)－

，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围 － 当 时，f(x)＝ln(1＋x)－1，f′(x)＝＋

f(x) 则由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，平方得

3x2,x.f(x为增函数f(x2mmf(x0x1恒成立m0.即得(x2m)2mx2m0时.f(x)f(x2mmf(x)f(x2mmx2f(x2mf(mx)f(x2mf(即x2m mx对x1,)成m)x2m0

m

m所以

m2m 4f(x2x(xRf(xg(xh(xg(x)h(x2ag(x)h(2x)≥0对任意x[1，2]恒成立，则实数a的取值范围 g(x)2x2 解析：由g(x)h(x)2xg(x)为奇函数h(x)为偶函数得

2x2x∴不2ag(xh(2x)0对任意x[1，2]恒成立

h(x) 22x22可转化为a(22) 0对任意x[1，2]恒成立 令2x2xt(3t15，问题进一步转化为a )对任意t[3,

2 3 y

)在[,]上为减函数，∴ 2 ∴实a的取值范围是[)例5、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x>1时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)，且若直y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值 的公共点．作出x>0时函数y＝f(x)的图象，由图可知，当直线y＝kx与曲线段y＝(x－1)2＋1，x∈[1,2]联立方程组，消去y得：x2－(2＋k)x＋2＝0，因为相切，所以Δ＝(2＋k)2－8＝0.k>0k＝21、已知

f(x 是R上的奇函数，当x0时，g(x)ln(1x)，函f(x g(x)(xf(2x2f(x)，则实x的取值2、设函数f(x)＝lg(x＋1＋mx2)是奇函数，则实数m的值 3、已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质：①直线x＝1是函数f(x)的一条③当1≤x1<x2≤3时[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0则f(2015)，f(2016)f(2017)f(2018)从大到小的顺序 4、已知函数h(x)(x≠0)为偶函数，且当x＞0范围

— 若h(t)＞h(2)，则实数t的取5、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝|x－a|－a(a∈R)．若x∈R，f(x＋2016)>f(x)，则实数a的取值范围是 6、已知定义在R上的函数y＝f(x)对于任意的x都满足f(x＋1)＝－f(x)，当－1≤x<1时，f(x)＝x3，若g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围 选做题7、设函数f(xxln(ex1)1x23,x[t,t](t0)2

f(x的最大值是MmMm 答1g（x）R上的奇函数，且当x0g（x）=-ln（1x），x0g（x）=-g（-x）=-[-ln（1+x）]=ln（1+xx3(x∵函数f(x) g(x)(xx0f（x）=x3为单调递增函数，值域（-0]x0f（x）=lnx为单调递增函数，值域（+∞∴函数f（x）在区间（+）上单调递增．∵f（2-x2）＞f（x），∴2-x2＞即x2x-20，（x+2）（x-1）0-2x∴x∈（-2，12、由f(x)为奇函数可知，f(－x)＋f(x)＝0对∀x∈R∴lg(－x＋1＋mx2)＋lg(x＋1＋mx2)＝0对∀x∈R∴lg(1＋mx2－x2)＝0对∀x∈R恒成立3、由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期是4，f(2015)＝f(3)，f(2016)＝f(0)，f(2017)＝f(1)，f(2018)＝所以f(2017)>f(2016)＝f(2018)>f(2015)．4x＞0

— 函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减因为函数h(x)(x≠0)为偶函数，且h(t)＞h(2)，所以h(|t|)＞h(2)，所以所

即解得－2＜t＜0或综上，所求实数t的取值范围为5、当a＝0时，f(x)＝x，x∈R，满足a<0时，f(x)＝

为R上的单调递增函数，也满足条件a>0时，f(x)＝a的取值范围是a<504.

6、由f(x＋1)＝－f(x)得f(x＋1)＝－f(x＋2)，因此f(x)＝f(x＋2)，即函数f(x)是周期为2的周期数a进行分类讨论．若a>1，则h(5)＝loga5<1，即若0<a<1，则h(－5)＝loga5≥－1，即51a的取值范围是(