2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二（上）期末数学试卷

2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）若，则正整数n=___．2.（填空题，4分）投掷一颗均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6）一次，朝上的数字大于4的概率是___．3.（填空题，4分）直线与直线的夹角的大小是___．4.（填空题，4分）设（n为正整数），则ak+1-ak=___．5.（填空题，4分）在空间直角坐标系中，已知A（-1，2，-3），B（2，-4，6），若，则C点坐标为___．6.（填空题，4分）二项式展开式中的常数项为___．7.（填空题，5分）一排有10盏灯，如果用灯亮表示数1，用灯不亮表示数0，每一种亮灯方式代表一个数据，如：0010100101表示一个数据，那么这10盏灯可以表示的数据个数是___．8.（填空题，5分）若-1，x，y，z，-9（x、y、z∈R）是等比数列，则实数y=___．9.（填空题，5分）已知直线l1：kx-3y+9b=0与l2：2x+y+b2+3=0，其中k、b∈R．若直线l1||l2，则l1与l2间距离的最小值是___．10.（填空题，5分）公司库房中的某种零件的70%来自A公司，30%来自B公司，两个公司的合格率分别是95%和90%，从库房中任取一个零件，则它是合格品的概率是___．11.（填空题，5分）我们知道：相当于从两个不同的角度考察组合数：

①从n个不同的元素中选出m个元素并成一组的选法种数是；

②对n个元素中的某个元素A，若A必选，有种选法，若A不选，有种选法，两者结果相同，从而得到上述等式．

根据这个思想考察从n个不同的元素中选出m个元素并成一组的选法种数，若对其中的某k（n＞m＞k≥2，且n-k＞m）个元素分别选或不选，你能得到的等式是___．12.（填空题，5分）已知A1（x1，y1），A2（x2，y2），…，An（xn，yn）（n为正整数）是直线l：y=2x-3上的n个不同的点，设a1+a2+⋯+an=1，当且仅当i+j=n+1时，恒有ai=aj（i和j都是不大于n的正整数，且i≠j），=++⋯+．有下列命题：

①数列{yn}是等差数列；

②ak=an-k+1（k∈N，-1≤k≤n）；

③点P在直线l上；

④若{xn}是等差数列，P点坐标为．

其中正确的命题有___．（填写所有正确命题的序号）．13.（单选题，5分）已知直线l：（k+1）x+（3k-2）y=0，“k=0”是“直线l过点（0，0）”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.（单选题，5分）已知直线l过点P（3，4），且与坐标轴分别相交于点A、B，若△OAB的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条15.（单选题，5分）甲、乙、丙三人相约去看电影，他们的座位恰好是同一排10个位置中的3个，因疫情防控的需要（这一排没有其他人就座），则每人左右两边都有空位的坐法（）A.120种B.80种C.64种D.20种16.（单选题，5分）如图，四面体ABCD的表面积为S，体积为V，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AC||平面EFGH，BD||平面EFGH，设，则下列结论正确的是（）A.四边形EFGH是正方形B.AE和AH与平面EFGH所成的角相等C.若，则多面体BEF-DGH的表面积等于D.若，则多面体BEF-DGH的体积等于17.（问答题，14分）为响应市政府“绿色出行”的号召，小李工作日上下班出行方式由自驾车改为选择乘坐公共交通或骑共享单车中的一种．根据小李从2020年4月到2020年6月的出行情况统计，小李每次出行乘坐公共交通的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6．乘坐公共交通单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记小李在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X元，假设小李上下班选择出行方式是相互独立的．（小李上下班各计一次单程）．

（1）求小李在一个工作日内上下班出行费用为4元的概率；

（2）求X的分布和数学期望E[X]．18.（问答题，14分）已知（1-3x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxn（n为正整数）．

（1）若a2=15a0-13a1，求n的值；

（2）若n=2022，A=a0+a2+a4+⋯+a2022，B=a1+a3+a5+⋯+a2021，求A+B和A2-B2的值（结果用指数幂的形式表示）．19.（问答题，14分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），已知在每一局比赛中甲、乙获胜的概率分别为和（请用分数作答）．

（1）求甲以4：0获胜的概率；

（2）求乙获胜且比赛局数少于6局的概率．20.（问答题，16分）在数列{an}中，a1=，（n为正整数）．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求证：2a1+22a2+23a3+⋯+2nan＜1；

（3）若数列{bn}满足b1=1，bn-bn+1=（n+2）an，求数列{bn}的通项公式．21.（问答题，18分）如图，已知菱形ABCD中，∠CBA=，直角梯形ABEF中，BE||AF，AB⊥AF，AB=BE=AF=2，O、P分别为AB、DF中点，平面ABEF⊥平面ABCD．

（1）求证：CO⊥平面ABEF；

（2）异面直线PE与AB所成角的大小；

（3）线段AD上是否存在一点G，使得直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，若存在，求出AG的长；若不存在，请说明理由．

2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）若，则正整数n=___．【正确答案】：[1]27【解析】：根据题意，由排列、组合数公式，可得n（n-1）（n-1）=，计算可得答案．

【解答】：解：根据题意，若，则有n（n-1）（n-1）=，

解可得：n=27，

故答案为：27．

【点评】：本题考查排列、组合数公式，注意排列、组合数公式的形式，属于基础题．2.（填空题，4分）投掷一颗均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6）一次，朝上的数字大于4的概率是___．【正确答案】：[1]【解析】：直接利用古典概型问题的应用求出结果．

【解答】：解：投掷一个正方体骰子，基本事件数为6；

朝上数字大于4的基本事件数为2；

故概率为P（A）=．

故答案为：．

【点评】：本题考查的知识要点：古典概型问题的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3.（填空题，4分）直线与直线的夹角的大小是___．【正确答案】：[1]30°【解析】：先求出两直线的斜率，求出倾斜角，然后求解夹角．

【解答】：解：直线的斜率等于，倾斜角为：60°，

直线的斜率等于，倾斜角为30°，

两直线的夹角为30°．

故答案为：30°．

【点评】：本题考查两直线的夹角的求法，已知三角函数值求角，是中档题．4.（填空题，4分）设（n为正整数），则ak+1-ak=___．【正确答案】：[1]3⋅22k+1-2k【解析】：求出ak+1，ak即得解．

【解答】：解：由题得，，

所以

两式相减得，

所以．

故答案为：3⋅22k+1-2k．

【点评】：本题考查数列的递推公式，考查学生的运算能力，属于中档题．5.（填空题，4分）在空间直角坐标系中，已知A（-1，2，-3），B（2，-4，6），若，则C点坐标为___．【正确答案】：[1]（1，-2，3）【解析】：设C的坐标为（x，y，z），根据向量的坐标运算即可求出．

【解答】：解：设C点的坐标为（x，y，z），

∵A（-1，2，-3），B（2，-4，6），

∴=（x+1，y-2，z+3），=（2-x，-4-y，6-z），

∵，

∴（x+1，y-2，z+3）=2（2-x，-4-y，6-z）=（4-2x，-8-2y，12-2z）

∴，

解得x=1，y=-2，z=3，

∴C（1，-2，3）．

故答案为：（1，-2，3）．

【点评】：本题考查点的坐标的求法，考查空间坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.（填空题，4分）二项式展开式中的常数项为___．【正确答案】：[1]15【解析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．

【解答】：解：二项式展开式的通项公式为Tr+1=•（-1）r•x12-3r，令12-3r=0，求得r=4，

可得展开式中的常数项为=15，

故答案为：15．

【点评】：本题主要二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．7.（填空题，5分）一排有10盏灯，如果用灯亮表示数1，用灯不亮表示数0，每一种亮灯方式代表一个数据，如：0010100101表示一个数据，那么这10盏灯可以表示的数据个数是___．【正确答案】：[1]1024【解析】：每一个位置只有亮与不亮两种状态，可得结论．

【解答】：解：每一个位置只有亮与不亮两种状态，故可表示的数据个数为210=1024．

【点评】：本题考查归纳推理，属中档题．8.（填空题，5分）若-1，x，y，z，-9（x、y、z∈R）是等比数列，则实数y=___．【正确答案】：[1]-3【解析】：由已知结合等比数列的性质即可直接求解．

【解答】：解：根据等比数列的性质可得y2=-1×（-9）=9，

所以y=3或y=-3，

设等比数列的公比q，

当y=3时，q2=-3不符合题意，

故y=-3．

故答案为：-3．

【点评】：本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题．9.（填空题，5分）已知直线l1：kx-3y+9b=0与l2：2x+y+b2+3=0，其中k、b∈R．若直线l1||l2，则l1与l2间距离的最小值是___．【正确答案】：[1]【解析】：根据已知条件，结合两直线平行的性质，以及两直线平行的距离公式，即可求解．

【解答】：解：∵直线l1：kx-3y+9b=0与l2：2x+y+b2+3=0平行，

∴k=-3×2=-6，即直线l1的方程为2x+y-3b=0，

∴l1与l2间距离d==，

当b=时，d取得最小值．

故答案为：．

【点评】：本题主要考查两直线平行的性质，以及两直线平行的距离公式，属于基础题．10.（填空题，5分）公司库房中的某种零件的70%来自A公司，30%来自B公司，两个公司的合格率分别是95%和90%，从库房中任取一个零件，则它是合格品的概率是___．【正确答案】：[1]【解析】：直接利用互斥事件的应用求出结果．

【解答】：解：根据题意合格品的概率P（A）==．

故答案为：．

【点评】：本题考查的知识要点：古典概型问题，互斥事件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.（填空题，5分）我们知道：相当于从两个不同的角度考察组合数：

①从n个不同的元素中选出m个元素并成一组的选法种数是；

②对n个元素中的某个元素A，若A必选，有种选法，若A不选，有种选法，两者结果相同，从而得到上述等式．

根据这个思想考察从n个不同的元素中选出m个元素并成一组的选法种数，若对其中的某k（n＞m＞k≥2，且n-k＞m）个元素分别选或不选，你能得到的等式是___．【正确答案】：[1]=+【解析】：根据题意，类比题目的思路，用两种方法讨论“从n个不同的元素中选出m个元素并成一组”的选法，分析可得答案．

【解答】：解：根据题意，从n个不同的元素中选出m个元素并成一组，有2种分析方法：

①从n个不同的元素中选出m个元素并成一组，有种选法，

②分2种情况讨论：若其中的某k个元素都入选，需要从剩下的n-k个元素中选m-k个元素，有种选法，

若k个元素都不入选，需要从剩下的n-k个元素中选m个元素，有种选法，

则有=+，

故答案为：=+．

【点评】：本题考查合情推理的应用，涉及组合数公式的性质，属于基础题．12.（填空题，5分）已知A1（x1，y1），A2（x2，y2），…，An（xn，yn）（n为正整数）是直线l：y=2x-3上的n个不同的点，设a1+a2+⋯+an=1，当且仅当i+j=n+1时，恒有ai=aj（i和j都是不大于n的正整数，且i≠j），=++⋯+．有下列命题：

①数列{yn}是等差数列；

②ak=an-k+1（k∈N，-1≤k≤n）；

③点P在直线l上；

④若{xn}是等差数列，P点坐标为．

其中正确的命题有___．（填写所有正确命题的序号）．【正确答案】：[1]②③④【解析】：①可以根据题意进行判断；

②根据题干条件当i+j=n+1时，恒有ai=aj，进行推导；

③设出点P坐标，结合题干条件进行推导；

④再第三问基础上进行推导即可．

【解答】：解：只有在数列{xn}是等差数列时，数列{yn}是等差数列，根据题意，数列{xn}不一定是等差数列，故数列{yn}不一定是等差数列，①错误；

因为k+n-k+1=n+1，所以ak=an-k+1（k∈N，-1≤k≤n），②正确；

因为=++⋯+，设P（s，t），

则s=a1x1+a2x2+…+anxn，t=a1y1+a2y2+…+anyn，

因为A1（x1，y1），A2（x2，y2），…，An（xn，yn）（n为正整数）是直线l：y=2x-3上的n个不同的点，

所以y1=2x1-3，y2=2x2-3，…，yn=2xn-3，

则a1y1=2a1x1-3a1，a2y2=2a2x2-3a2，…，anyn=2anxn-3an，

相加得：a1y1+a2y2+…+anyn=2（a1x1+a2x2+…+anyn）-3（a1+a2+…+an），

因为a1+a2+…+an=1，

所以t=2s-3，点P在直线l上，③正确；

{xn}是等差数列，若n为偶数，则x1+xn=x2+xn-1=…=，

若n为奇数，则x1+xn=x2+xn-1=…=2，

又当i+j=n+1时，恒有ai=aj（i和j都是不大于n的正整数，且i≠j），

若n为偶数，则s=a1x1+a2x2+…+anxn=a1（x1+xn）+a2（x2+xn-1）+…+=（x1+xn）（a1+a2+…+）=，

同理可得：t=；

若n为奇数，则s=a1x1+a2x2+…+anxn=a1（x1+xn）+a2（x2+xn-1）+…+=（x1+xn）（a1+a2+…+）=，

同理可得：t=；

综上所述：若{xn}是等差数列，P点坐标为，④正确．

故答案为：②③④．

【点评】：本题考查了数列的递推式及分类讨论，难点在于对③和④的判断，属于难题．13.（单选题，5分）已知直线l：（k+1）x+（3k-2）y=0，“k=0”是“直线l过点（0，0）”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【正确答案】：A【解析】：先求出不论k取何值，直线l过定点（0，0），再利用充要条件的定义判定即可．

【解答】：解：∵直线l：（k+1）x+（3k-2）y=0，

∴k（x+3y）+（x-2y）=0，

∴，∴，

∴不论k取何值，直线l过定点（0，0），

∴k=0是直线l过点（0，0）的充分不必要条件，

故选：A．

【点评】：本题考查了直线过定点问题，充要条件的判定，属于基础题．14.（单选题，5分）已知直线l过点P（3，4），且与坐标轴分别相交于点A、B，若△OAB的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条【正确答案】：C【解析】：由题意，用点斜式设出直线l的方程为y-4=k（x-3），求出A、B的坐标，根据△OAB的面积为24，求出k的值，可得结论．

【解答】：解：∵直线l过点P（3，4），且与坐标轴分别相交于点A、B，若△OAB的面积为24，

其中O为坐标原点，设直线的斜率为k，则直线l的方程为y-4=k（x-3），

故直线l与x轴的交点为A（，0），直线l与y轴的交点B（0，4-3k），

故△OAB的面积为×||×|4-3k|==24，

即（3k-4）2=48|k|，求得k=，或k=，或k=-，

∴这样的直线有3条，

故选：C．

【点评】：本题主要考查用点斜式求直线的方程，直线的截距的定义，属于基础题．15.（单选题，5分）甲、乙、丙三人相约去看电影，他们的座位恰好是同一排10个位置中的3个，因疫情防控的需要（这一排没有其他人就座），则每人左右两边都有空位的坐法（）A.120种B.80种C.64种D.20种【正确答案】：A【解析】：根据题意，先排好7个空座位，注意空座位是相同的，其中有6个空位符合条件，考虑顺序，将3人插入6个空位中，可得答案．

【解答】：解：先排7个空座位，由于空座位是相同的，则只有1种情况，其中有6个空位符合条件，

考虑三人的顺序，将3人插入6个空位中有A63，则共有1×A63=120种情况．

故选：A．

【点评】：本题考查排列、组合的应用，对于不相邻的问题采用插空法．16.（单选题，5分）如图，四面体ABCD的表面积为S，体积为V，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AC||平面EFGH，BD||平面EFGH，设，则下列结论正确的是（）A.四边形EFGH是正方形B.AE和AH与平面EFGH所成的角相等C.若，则多面体BEF-DGH的表面积等于D.若，则多面体BEF-DGH的体积等于【正确答案】：D【解析】：对A，证明四边形EFGH是平行四边形．所以选项A错误；

对B，如果AE和AH与平面EFGH所成的角相等，则AE=AH，则AB=AD，所以选项B错误；

对C，假设正四面体ABCD，AB=2，取BD的中点N，连接AN，CN．多面体BEF-DGH的表面积，所以选项C错误；

对D，如图，设BD中点为M，连接EM，MF，设点B到平面EMF的距离为h1，则多面体BEF-DGH的体积=VB-MEF+VEMF-HDG==，所以选项D正确．

【解答】：解：对A，因为AC||平面EFGH，AC⊂平面ABC，

EF⊂平面EFGH，平面EFGH⋂平面ABC=EF，所以AC||EF，同理AC||GH，

所以EF||GH，同理EH||FG，

所以四边形EFGH是平行四边形．

所以四边形EFGH不一定是正方形，所以选项A错误；

对B，如果AE和AH与平面EFGH所成的角相等，则AE=AH，则AB=AD，

已知中没有AB=AD，所以AE和AH与平面EFGH所成的角不一定相等，所以选项B错误；

对C，假设正四面体ABCD，AB=2，取BD的中点N，

连接AN，CN．则BD⊥AN，BD⊥CN，

因为AN⋂CN=N，AN，CN⊂平面ACN，所以BD⊥平面ACN，

所以BD⊥AC，所以EF⊥FG，

前面已经证明四边形EFGH是平行四边形，

又EF=FG，所以四边形EFGH是正方形，且EF=FG=1，

正四面体的每一个面的面积为，

所以正四面体的表面积为，

所以多面体BEF-DGH的表面积，

所以选项C错误；

对D，如图，设BD中点为M，连接EM，MF，则多面体EMF-HDG是棱柱，

设点B到平面EMF的距离为h1，由于，所以点E是AB的中点，

则点M到平面HDC的距离为h1，点B到平面ADC的距离为2h1．

则多面体BEF-DGH的体积==，

所以选项D正确．

故选：D．

【点评】：本题主要考查线面角的计算，多面体体积的计算，多面体表面积的计算等知识，属于中等题．17.（问答题，14分）为响应市政府“绿色出行”的号召，小李工作日上下班出行方式由自驾车改为选择乘坐公共交通或骑共享单车中的一种．根据小李从2020年4月到2020年6月的出行情况统计，小李每次出行乘坐公共交通的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6．乘坐公共交通单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记小李在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X元，假设小李上下班选择出行方式是相互独立的．（小李上下班各计一次单程）．

（1）求小李在一个工作日内上下班出行费用为4元的概率；

（2）求X的分布和数学期望E[X]．【正确答案】：

【解析】：（1）由独立事件概率的乘法公式及互斥事件的概率公式求解即可；

（2）由题意可得X=2，4，6，分别求出对应的概率，可得分布列及数学期望．

【解答】：解：（1）由题意可得P（X=4）=0.4×0.6+0.6×0.4=0.48．

（2）由题意可得X=2，4，6，

P（X=2）=0.6×0.6=0.36，

P（X=4）=0.48，

P（X=6）=0.4×0.4=0.16，

所以X的分布列为：X246P0.360.480.16数学期望E（x）=2×0.36+4×0.48+6×0.16=3.6．

【点评】：本题主要考查概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于基础题．18.（问答题，14分）已知（1-3x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxn（n为正整数）．

（1）若a2=15a0-13a1，求n的值；

（2）若n=2022，A=a0+a2+a4+⋯+a2022，B=a1+a3+a5+⋯+a2021，求A+B和A2-B2的值（结果用指数幂的形式表示）．【正确答案】：

【解析】：（1）令x=1即可求出a0，再根据二项式定理的性质分别求出a1，a2，然后解方程即可求解；（2）分别令x=1，x=-1，求出展开式的值，进而可以求解．

【解答】：解：（1）令x=1，则a0=1，

二项式的展开式中含x项的系数为a1=C=-3n，

二项式的展开式中含x2项的系数为a2=C=，

则由已知可得，即9n2-87n-30=0，解得n=10或-（舍去），

故n的值为10；

（2）若n=2022，则二项式为（1-3x）+....+a，

令x=1，则a0+a1+a2+.....+a2022=（1-3）2022=22022①，

令x=-1，则a0-a1+a2-.....+a2022=[1-3×（-1）]2022=42022=24044②，

①+②可得A=22021+24043，①-②可得B=22021-24043，

所以A+B=22022，A2-B2=（A+B）（A-B）=22022•24044=26066．

【点评】：本题考查了二项式定理的应用，涉及到赋值法的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．19.（问答题，14分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），已知在每一局比赛中甲、乙获胜的概率分别为和（请用分数作答）．

（1）求甲以4：0获胜的概率；

（2）求乙获胜且比赛局数少于6局的概率．【正确答案】：

【解析】：（1）甲以4：0获胜的概率为P=（）4，由此能求出结果．

（2）乙获胜且比赛局数少于6局的情况有2种情况：①乙连胜4局，②前四局乙3胜1负，第五局乙胜，由此能求出乙获胜且比赛局数少于6局的概率．

【解答】：解：（1）比赛采用7局4胜制，在每一局比赛中甲、乙获胜的概率分别为和，

∴甲以4：0获胜的概率为：

P=（）4=．

（2）乙获胜且比赛局数少于6局的情况有2种情况：

①乙连胜4局，概率为P1=（）4=，

②前四局乙3胜1负，第五局乙胜，概率为P2==，

∴乙获胜且比赛局数少于6局的概率P=P1+P2=．

【点评】：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.（问答题，16分）在数列{an}中，a1=，（n为正整数）．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求证：2a1+22a2+23a3+⋯+2nan＜1；

（3）若数列{bn}满足b1=1，bn-bn+1=（n+2）an，求数列{bn}的