应用概率统计 国家开放大学春季期末考试真题（含解析）

试卷代号：1091 座位号国家开放大学春季学期期末统一考试应用概率统计试题一、 判断题(回答对或错，每小題3分，共15分)单因素方差分析，组间平方和S,为Q-P。()设X],X2,…，入日是来自正态总体N(0,尸)的一个商单随机样本，则样本一阶原点矩人2= 當Xf的数学期望与方差为/与(°()对一切均值为卩，方差为的总体，不管总体的具体分布形式如何，卩和的矩估计总是R=彳和浪=jE金】(XlX)2,且方差的矩估计等于样本方差S2。()独立同分布中心极限定理表明：对于独立同分布的随机变量X】，X2,…，X”，只要它们有有限的数学期望和方差，且方差不为零时，则不论它们原来服从何种分布，当n 很大时，其“标准化”的随机变量*=為常冲服从其原来的分布。()正交表中，任取两列数字的搭配是均衡的，如扇(27)表里每两列中(1,1).(1.2),(2,1),(2,2)各出现两次。()二、 填空题(每小题3分，共15分)设每人血清中含有肝炎病毒的概率是0.4%,混合100人血清，此血清中含有肝炎病毒的概率为 o“正交试验法”就是研究与处理多因素试验的一种科学有效的方法，正交表是一系列规格化的表格，每个表都有一个记号，它具有—8.(1)设随机变量X的分布律为： 的特点。X-4 -10 25Pk7—— a2。 丄3_202020贝ija为 。某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车停站，乘客在任意时刻到达汽车站，则候车时间的数学期望为 (假设汽车到站时，乘客都能上车)。剩余平方和Q= 或&一应"反映了观测值有(i=l，2 n)的 三、计算题(每小題10分，共50分)设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G内服从均匀分布。求联合分布密度和边缘分布密度。抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品的次品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9?(0(-1.28)=0.1)某公司利用两条自动化流水线灌装矿泉水。现从生产线上随机抽取样本X],X2,…，X12。和*，*，•••，*7,它们是每瓶矿泉水的体积(臺升)。算得样本均值X=501.1和卩=499.7,样本方差=2.4.S顶=4.7。假设这两条流水线所装的矿泉水的体积都服从正态分布，分别为N(印，戶)和n(“2,夕)。给定置信度0.95,试求加_“2的区间估计。(如(0.025=2.05)某公司用机器向瓶子里灌装液体洗净剂，规定每瓶装卩臺升。但实际灌装量总有一定的波动。假定灌装量的方差“2=1,如果每箱装25瓶这样的洗净剂，试问这25瓯洗净剂的平均灌装量与标准定值卩相差不超过0.3亳升的概率是多少？(0(1.5)=0.9332)甲罐中装有2个白球，3个黑球，乙罐中装有4个白球，5个黑球，从甲罐中任取一球，从乙罐中任取一球，求这两个球同色的概率。四、证明题(本题20分)16•设总体X〜N(0,1),X】，X2,…，Xn°为来自总体X的简单随机样本，求统计量F=(%_^/Xt=1^(n>m)服从何种分布。试卷代号：试卷代号：1091国家开放大学春季学期期末统一考试

应用概率统计试题答案及评分标准

（供参考）每小题3分，共15分）每小题3分，共15分）4.错 5.对共15分）1.对 2.对3.错二、 填空题（每小题3分，约为0.33均衡性（或均衡分散）9.2.5偏离经验回归直线的程度三、计算题（每小題10分，共50分）解：区域G的面积A=f^x-x2)dx由题设知（X,V）的联合分布密度为“、(6,0<x<1,x2<y<x；/(x)=lo,其它。从而fxM= y)dy=6f^2dy=6(x-x2), 0<x<l即fxM6(x-xz),0<x<1即fxM.0,其它。fyM= y)dx= =6(7y-y), 0<y<lo即用甘驾技"•解：设卵为至少应抽取的产品数，X为其中的次品数1，第k次检查时为次品,0.第是次检査时为正品,则X=Yk=iXk,E(Xk)=0.1,D(Xk)=pq=0.1fl-0.1；=0.09,由德莫佛一拉普拉斯定理'有P{l°vXMn}={焉器V崙飄潟繇卽（3S）3|端］当n充分大时，＜D（3^）«0（+oo）=1,由题意端］*

2分 査正态分布表可得：号辩=-1.28,所以取n=147可满足要求。解：由(7.4.11)式算出S2=S2=(m1)S并(n-l)SM

m+n-2112.4+16X4/712+17-2=3.763,于是s=1.94,查t分布表tm+n_2(|)=t27(0.025)=2.05,由(7.4.15)算得所求区间估计为[一0.101,2.901].解：记一箱中25瓶洗净剂灌装量为％,%，…，乂25,他们均来自均值为卩，方差为1的总体中的样本。我们需要计算的是事件|X-^|<0.3的概率。根据教材定理6.2.1有P{|X-g|<0.3)=P(-0.3<X-n<0.3}=P{-悬*湍V湘=20(1.5)-1=0.86643分这就是说，对于装25瓶的一箱而言，平均每瓶罐装量与标准定值不超过0.3臺升的概率近似地为0.8664=20(1.5)-1=0.8664解：［分析］此题的关键在于分析事件B竺“两个球同色”的内容，即把较复杂的事件拆分成一些简单的事件。日发生=“两个球同色”=“同白色”或“同黑色”，再此基础上运用加法公式与乘法公式就容易求解了。A】竺“从甲罐中取得白球"，A?竺"从乙罐中取得白球”。由于B=A1A2UA1A2,且“同白色"与“同黑色”又是互斥的， 4分因而P(B)=P(AiA2UAiA2)=P(A】A2)+P(硬)=P(A】)P(A2)+PfAJPCAJ=23/45四、证明题(本题20分)证明：统计量F呈现商的形式，且分子、分母均含有X，项，而&〜N(0,1),则X，〜X&根据/分布的可加性，可确定&X7的分布。由F分布的定义，可得出结论。因为Xj〜N(O,1),i=1,2 〜