2020秋高中数学人教版5达标检测：3.2第2课时 一元二次不等式的应用含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020秋高中数学人教A版必修5达标检测：3.2第2课时一元二次不等式的应用含解析A级基础巩固一、选择题1．设集合P＝{m|－4＜m＜0｝，Q＝｛mx2－mx－1＜0，x∈R｝，则下列关系式成立的是()A．PQ B．QPC．P＝Q D．P∩Q＝Q解析：对Q：若mx2－mx－1＜0对x∈R恒成立，则：①当m＝0时⇒－1＜0恒成立．②当m≠0时⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（m＜0，,Δ＝m2＋4m＜0，）)解得－4＜m＜0.由①②得Q＝{m｜－4＜m≤0}，所以PQ。答案：A2．在R上定义运算⊙:A⊙B＝A（1－B），若不等式（x－a）⊙（x＋a）<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（)A．－1<a〈1 B．0<a<2C．－eq\f(1，2）〈a〈eq\f（3,2) D．－eq\f（3,2）〈a〈eq\f（1，2)解析：因为(x－a）⊙（x＋a)＝（x－a)（1－x－a）,所以不等式（x－a)⊙(x＋a）〈1，即(x－a）(1－x－a）<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1）〈0，解得－eq\f(1,2)〈a〈eq\f(3，2)。答案:C3．若函数f(x）＝eq\r(x2＋ax＋1)的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为()A．(－2，2) B．(－∞，－2）∪(2,＋∞)C．（－∞,－2)∪［2，＋∞） D．［－2,2]解析：由题意知,x2＋ax＋1≥0的解集为R，所以Δ≤0,即a2－4≤0，所以－2≤a≤2.答案:D4．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0｝＝∅，则实数a的取值范围为(）A．（0,4) B．［0,4) C．（0，4] D．［0，4]解析：由题意得，当a＝0时，满足条件．当a≠0时,由eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（a〉0,,Δ＝a2－4a≤0，）)得0<a≤4,综上,实数a的取值范围是［0，4]．答案：D5．若关于x的不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞）,则关于x的不等式eq\f（ax＋b,x－2)>0的解集为（)A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(1，2）C．（－∞，－1)∪（2，＋∞) D．（－1,2）解析:x＝1为ax－b＝0的根，所以a－b＝0，即a＝b，因为ax－b>0的解集为(1，＋∞)，所以a〉0，故eq\f(ax＋b,x－2)＝eq\f（a(x＋1）,x－2）〉0，转化为(x＋1）（x－2)>0。所以x>2或x<－1.答案:C二、填空题6．不等式（m2－2m－3）x2－(m－3)x－1〈0的解集为R，则m的取值范围为________．解析：①若m2－2m－3＝0,即m＝3或m＝－1，m＝3时,原式化为－1〈0，显然成立，m＝－1时,原式不恒成立，故m≠－1.②若m2－2m－3≠0，则eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（m2－2m－3〈0，,Δ＝（m－3）2＋4（m2－2m－3)<0,))解得－eq\f（1，5）<m<3，所以m∈eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f（1,5)，3））。答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1（－\f(1，5），3）)7．若关于x的不等式eq\f(x－a，x＋1）>0的解集为（－∞,－1）∪（4,＋∞），则实数a＝________．解析:因为（x－a）（x＋1）>0与eq\f(x－a，x＋1)〉0同解，所以（x－a）（x＋1)>0的解集为（－∞，－1）∪（4，＋∞)，所以4，－1是(x－a)（x＋1)＝0的根,所以a＝4.答案：48．已知函数f(x）＝x2＋mx－1，若对于任意x∈［m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．解析：若二次函数f（x)对于任意x∈［m,m＋1］，都有f（x)<0成立,则eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(f（m）＝m2＋m2－1〈0,,f(m＋1）＝（m＋1）2＋m（m＋1）－1〈0,））解得－eq\f（\r（2)，2)<m〈0。答案:eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（\r(2）,2)，0））三、解答题9．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入,应怎样制订这批台灯的销售价格?解:设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x［30－2（x－15)］元，由题意知，当x≥15时，有x［30－2（x－15）］>400，解得15≤x<20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制订这批台灯的销售价格区间为x∈［15，20)．10．已知函数f(x）＝x2－2ax－1＋a，a∈R.对于任意的x∈［0,2］，均有不等式f(x）≤a成立，试求a的取值范围．解：因为f（x）－a＝x2－2ax－1，所以要使得“∀x∈[0,2]，不等式f(x）≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0，2]上恒成立”．不妨设g（x）＝x2－2ax－1，则只要g（x）≤0在［0，2］上恒成立即可．所以eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（g（0）≤0,，g(2）≤0,）)即eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（0－0－1≤0，,4－4a－1≤0，))解得a≥eq\f（3,4）.故a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3，4)，＋∞））。B级能力提升1．已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4）x＋4－2a〉0恒成立,则x的取值范围为（)A．(－∞，2)∪（3,＋∞）B．(－∞，1)∪（2，＋∞)C．（－∞，1）∪（3,＋∞）D．(1，3)＋x2－4x＋4，则由f（a）〉0对于任意的a∈［－1,1]恒成立，可得f（－1）＝x2－5x＋6>0,且f(1)＝x2－3x＋2〉0，解得x<1或x〉3。答案：C2．设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈(1，3)恒成立，则a的取值范围是________．解析：原不等式x2－2x＋a－8≤0转化为a≤－x2＋2x＋8对任意x∈(1，3）恒成立，设f（x)＝－x2＋2x＋8,易知f(x)在［1，3］上的最小值为f(3）＝5.所以a∈(－∞,5］．答案:(－∞，5］3．设g(x)＝x2－mx＋1.(1）若eq\f(g（x)，x)≥0对任意x>0恒成立，求实数m的取值范围;(2）讨论关于x的不等式g（x）≥0的解集．解:(1)由题意，若eq\f（g（x)，x)≥0对任意x〉0恒成立，即为x－m＋eq\f（1，x)≥0对x>0恒成立，即有m≤x＋eq\f(1,x)的最小值，由x＋eq\f(1，x）≥2,可得x＝1时，取得最小值2,可得m≤2；(2）当Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2时，g（x）≥0的解集为R；当Δ〉0，即m〉2或m〈－2时,方程x2－mx＋1＝0的两根为eq\f(m－\r(m2－4),2），eq\f(m＋