2020秋高中数学人教版2-2学案：1.7定积分的简单应用含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020秋高中数学人教A版选修2-2学案：1.7定积分的简单应用含解析1。7定积分的简单应用自主预习·探新知情景引入大家都可以想象到天女散花的情景--左手提着一篮娇艳美丽的鲜花，右手把一朵鲜花散落，一片片花瓣飘荡在空中，随后落在人间,让人产生无尽的遐想．一片花瓣的图形可以看成两条美丽的曲线相交而成．由前面学习的定积分的知识，我们可以计算出该图形的面积，即一片花瓣平铺的面积．新知导学1．求平面图形的面积(1)求由一条曲线y＝f（x)和直线x＝a、x＝b(a<b)及y＝0所围成平面图形的面积S.图①中，f(x）>0,eq\i\in（a,b,）f(x)dx〉0，因此面积S＝__eq\i\in（a，b，)f(x）dx__;图②中,f(x）<0，eq\i\in(a，b,）f（x）dx<0，因此面积S＝｜eq\i\in（a，b，）f（x)dx|＝__－eq\i\in(a,b，）f(x）dx__；图③中，当a≤x<c时,f（x）〈0，当c〈x≤b时，f（x）〉0，因此面积S＝eq\i\in（a，b，)｜f(x)|dx＝__－eq\i\in（a,c,)f(x)dx＋eq\i\in（c,b,）f(x)dx__。（2)求由两条曲线f(x）和g(x），直线x＝a、x＝b(a〈b）所围成平面图形的面积S。图④中，f(x)>g（x)>0，面积S＝__eq\i\in（a，b，)［f（x）－g（x)]dx__；图⑤中,f（x）〉0，g（x）〈0,面积S＝__eq\i\in(a，b,）［f(x）－g（x）］dx__.2．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v（t)（v（t）≥0）在时间区间［a，b］上的定积分，即s＝__eq\i\in(a,b，）v(t）dt__.3．变力做功一物体在恒力F(单位：N）的作用下做直线运动,如果物体沿着与F相同的方向移动了sm，则力F所做的功为W＝Fs.如果物体在变力F（x）的作用下沿着与F(x）相同的方向从x＝a移动到x＝b。则变力F（x）做的功W＝__eq\i\in(a,b,）F(x）dx__.预习自测1．由直线x＝0、x＝eq\f（2π,3)、y＝0与曲线y＝2sinx所围成的图形的面积等于（A)A．3 B．eq\f（3，2）C．1 D．eq\f(1，2）［解析]所求面积S＝eq\i\in（0,eq\f（2π,3),）2sinxdx＝－2cosxeq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（eq\f(2π，3），0，)）＝－2（－eq\f(1，2)－1）＝3。2．已知自由落体的速率v＝gt，则落体从t＝0到t＝t0所走的路程为(C)A．eq\f（1，3）gteq\o\al(2，0） B．gteq\o\al(2,0)C．eq\f（1,2）gteq\o\al(2，0) D．eq\f(1，6)gteq\o\al(2，0)[解析]如果变速直线运动的速度为v＝v(t）（v(t）≥0）,那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程是eq\i\in(a，b,)v(t）dt，∴eq\a\vs4\al(\i\in(0，t0，）)gtdt＝eq\f(1,2)gt2eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs2\al\co1(t0，0）)＝eq\f(1,2）g(teq\o\al（2,0）－0)＝eq\f(1，2）gteq\o\al（2,0）.故应选C．3．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c＞0)围成的图形的面积是eq\f（2,3），则c＝__eq\f（1，2）__.[解析］曲线y＝x2与y＝cx3的交点为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,c），\f(1,c2）)).由题意知eq\i\in(0，eq\f（1,c），)(x2－cx3）dx＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3）x3－\f(c,4）x4）)eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（eq\f(1,c）,0，))＝eq\f（1,12c3）＝eq\f(2,3)。∴c＝eq\f（1,2)。4．(2020·黄冈质量检测)设f（x）是一次函数，且eq\i\in(0,1,）f（x）dx＝5，eq\i\in(0，1,)xf（x)dx＝eq\f(17,6），则f（x）的解析式为__4x＋3__。[解析]∵f（x）是一次函数，设f(x)＝ax＋b（a≠0），则eq\i\in(0,1，）f(x)dx＝eq\i\in(0，1,）（ax＋b)dx＝eq\i\in(0，1,）axdx＋eq\i\in（0，1，）bdx＝eq\f（1,2）a＋b＝5，eq\i\in（0，1,)xf(x）dx＝eq\i\in(0，1，)x（ax＋b）dx＝eq\i\in（0，1，)(ax2)dx＋eq\i\in(0，1，)bxdx＝eq\f(1，3）ax3｜eq\o\al(1，0）＋eq\f(1，2)bx2｜eq\o\al(1,0）＝eq\f（1，3)a＋eq\f（1,2)b＝eq\f（17,6).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）a＋b＝5，,\f（1,3)a＋\f（1,2）b＝\f(17，6)，））解得a＝4,b＝3,故f（x)＝4x＋3.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶不需分割图形面积的求解典例1计算由直线y＝x＋3，曲线y＝x2－6x＋13所围图形的面积S.［思路分析］先画出图形，再求出两曲线的交点，然后结合图形利用定积分写出面积表达式，最后利用微积分基本定理求解．[解析]作出直线y＝x＋3，曲线y＝x2－6x＋13的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝x2－6x＋13，,y＝x＋3，）)得交点坐标为A(2,5)和B(5,8）．因此所求图形的面积S＝eq\i\in（2，5，）(x＋3)dx－eq\i\in（2，5，)(x2－6x＋13）dx＝eq\i\in（2,5,)（－x2＋7x－10)dx＝（－eq\f（1，3）x3＋eq\f(7,2）x2－10x）|eq\o\al（5，2)＝eq\f（9,2）。『规律总结』利用定积分求平面图形的面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象．（2）将平面图形分割成曲边梯形，并分清在x轴上方与下方的部分．(3)借助图形确定出被积函数．(4）求出交点坐标，确定积分的上、下限．（5）求出各部分的定积分，并将面积表达为定积分的代数和（定积分为负的部分求面积时要改变符号处理为正),求出面积．┃┃跟踪练习1__■（1）如图,已知点Aeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（1,4)）），点P（x0,y0)（x0〉0）在曲线y＝x2上，若阴影部分面积与△OAP面积相等,则x0＝__eq\f（\r(6)，4)。(2）(2020·安阳高二检测)如图是函数y＝cos（2x－eq\f（5π,6))在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是（B）A．eq\f（1,2） B．eq\f（5,4)C．eq\f（3,2） D．eq\f(3，2)－eq\f（\r（3），4)[解析］(1）S阴＝eq\a\vs4\al（\i\in（0,x0，)）x2dx＝eq\f(1，3）xeq\o\al(3，0）－eq\f(1，3)×03＝eq\f（1，3）xeq\o\al(3，0），S△OAP＝eq\f（1，2)×eq\f（1，4）×x0＝eq\f（1,8）x0，由题意知eq\f（1，3）xeq\o\al（3，0）＝eq\f（1,8）x0,因为x0>0，所以x0＝eq\f(\r(6）,4）.（2)由已知函数y＝cos（2x－eq\f(5π，6））的周期为T＝π，知图中阴影的最右的端点坐标为（eq\f（2π,3）,0)，故阴影部分的面积S＝－eq\i\in（0，eq\f（π，6)，)cos(2x－eq\f（5π,6)）dx＋eq\i\in（eq\f（π，6）,eq\f(2π，3),)cos（2x－eq\f(5π,6）)dx＝－［eq\f(1，2)sin（2x－eq\f（5π，6）)］eq\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（eq\f(π，6）,0,))＋[eq\f（1,2）sin（2x－eq\f(5π，6）)］eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(eq\f(2π,3），eq\f（π，6)，))＝－[eq\f（1,2)sin(－eq\f(π，2))－eq\f(1，2)sin（－eq\f(5π,6））]＋［eq\f（1,2）sineq\f(π,2）－eq\f（1,2)sin（－eq\f(π，2）)］＝eq\f（1，4)＋1＝eq\f（5,4).命题方向❷分割型平面图形面积的求解典例2求由曲线y＝eq\r（x)、y＝2－x、y＝－eq\f（1，3)x所围成图形的面积．[思路分析]画出三条曲(直)线，求出交点坐标，将平面图形按交点分割成可求积分的几部分再求解．［解析］解法1:画出草图，如图所示．解方程组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)，，x＋y＝2。））、eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝\r（x），，y＝－\f(1，3)x.）)及eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y＝2，,y＝－\f(1,3)x。))得交点分别为(1，1)，（0，0），（3，－1)．所以S＝eq\i\in(0,1，)[eq\r（x）－（－eq\f（1，3)x)]dx＋eq\i\in（1,3，）［（2－x)－(－eq\f（1，3）x）］dx＝eq\i\in(0,1,）(eq\r(x)＋eq\f（1，3）x）dx＋eq\i\in（1,3，）(2－eq\f（2,3）x)dx＝(eq\f(2，3）xeq\f（3，2）＋eq\f（1，6）x2)｜eq\o\al(1，0）＋（2x－eq\f(1,3）x2)|eq\o\al(3,1)＝eq\f（2,3)＋eq\f(1，6)＋［（2×3－eq\f(1，3)×32）－（2－eq\f(1,3））]＝eq\f（13，6).解法2：若选积分变量为y，则三个函数分别为x＝y2，x＝2－y，x＝－3y。因为它们的交点分别为(1,1)，(0，0），（3，－1）．所以S＝eq\i\in(－1,0，)［（2－y)－（－3y)］dy＋eq\i\in（0,1，）[（2－y）－y2］dy＝eq\i\in（－1，0,)（2＋2y)dy＋eq\i\in(0,1,)(2－y－y2)dy＝（2y＋y2）｜eq\o\al(0,－1)＋(2y－eq\f（1，2）y2－eq\f（1,3)y3)｜eq\o\al（1，0)＝－（－2＋1）＋2－eq\f(1,2)－eq\f（1，3)＝eq\f（13,6）。『规律总结』由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的各交点坐标,可以将积分区间细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下;若积分变量选取x运算较为复杂,可以选y为积分变量，同时更改积分的上下限为y的对应值．被积函数也相应的改变．┃┃跟踪练习2__■求由抛物线y2＝eq\f(x,5），y2＝x－1所围成图形的面积．［解析]在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形，如图所示．方法一：以x为积分变量．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y2＝\f（x，5）,,y2＝x－1))得两个抛物线的两个交点坐标分别为A(eq\f(5,4）,eq\f（1，2))，B（eq\f（5,4），－eq\f（1，2)）．设点P(1,0)，则所求面积S＝2(eq\i\in(0，eq\f（5,4)，）eq\r（\f（x，5))dx－eq\i\in(1，eq\f(5，4），)eq\r(x－1）dx)＝2［eq\f（2\r(5），15）xeq\s\up7(\f（3，2))eq\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（eq\f(5,4)，0，）)－eq\f(2,3)（x－1)eq\f（3,2)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(eq\f（5,4),1,)）］＝eq\f(2,3）.方法二：以y为积分变量．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y2＝\f（x，5),，y2＝x－1)）得两个抛物线的两个交点坐标分别为A(eq\f（5,4)，eq\f（1，2)）,B（eq\f（5，4)，－eq\f(1,2））．设点P（1,0），则所求面积S＝2eq\i\in(0,eq\f(1,2),）(y2＋1－5y2）dy＝2（y－eq\f(4,3）y3）eq\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(eq\f（1，2)，0，）)＝eq\f（2,3）。命题方向❸变速直线运动的路程、位移问题典例3有一动点P从原点出发沿x轴运动，在时刻为t时的速度为v（t）＝8t－2t2（速度的正方向与x轴正方向一致）．求：（1)t＝6时，点P离开原点后运动的路程和点P的位移;(2）经过时间t后又返回原点时的t值．[思路分析](1）eq\x(解不等式vt>0或vt<0）→eq\x(确定积分区间)→eq\x(求t＝6时的路程以及位移)(2)eq\x（求定积分\i\in（0,t,）vtdt)→eq\x(令\i\in（0，t,)vtdt＝0求t）[解析](1)由v（t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点沿x轴正方向运动，当t>4时,P点向x轴负方向运动．故t＝6时，点P离开原点后运动的路程s1＝eq\i\in（0,4，）（8t－2t2)dt－eq\i\in（4，6，)(8t－2t2）dt＝（4t2－eq\f(2,3)t3)｜eq\o\al（4，0）－(4t2－eq\f（2,3)t3)|eq\o\al（6,4)＝eq\f（128,3).当t＝6时,点P的位移为eq\i\in（0，6，）（8t－2t2)dt＝（4t2－eq\f(2,3）t3）｜eq\o\al(6,0）＝0.（2）依题意eq\i\in（0，t，）（8t－2t2)dt＝0，即4t2－eq\f（2，3)t3＝0,解得t＝0或t＝6，t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是所求的值．『规律总结』1。沿直线运动时，路程是位移的绝对值之和,从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程s和位移s′情况如下:（1)若v（t）≥0,则s＝eq\i\in（a，b，)v（t）dt；s′＝eq\i\in(a,b，)v（t)dt。(2）若v(t)≤0,则s＝－eq\i\in（a，b,）v(t）dt；s′＝eq\i\in（a,b,）v（t）dt。（3)若在区间[a，c]上v(t）≥0，在区间［c，b]上v（t)〈0,则s＝eq\i\in（a,c，)v（t）dt－eq\i\in(c,b,)v（t)dt，s′＝eq\i\in(a,b，）v(t）dt.所以求路程时要先求得速度的正负区间．2．用定积分解决简单的物理问题，关键是要结合物理学中相关的内容，将物理问题转化为定积分解决．┃┃跟踪练习3__■列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4［解析］已知列车速度v0＝72km/h＝20m/s，列车制动时获得加速度a设列车由开始制动经过ts后的速度为v，则v＝v0＋at＝20－0。4t.令v＝0，得t＝50（s）．设列车由开始制动到停止时所走的路程为s,则s＝eq\i\in（0,50,）vdt＝eq\i\in(0，50,）(20－0。4t）dt＝500（m）．所以列车应在进站前50s，离车站500m学科核心素养求变力做功用定积分解决此类变力做功问题，要明确变力是在其方向上的位移之和，再用定积分求解．典例4一物体在变力F(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2x＋40≤x≤2，x2＋2x2≤x≤5））(x的单位：m，F的单位：N）的作用下，沿着与力F相同的方向从x＝0运动到x＝5处，求变力所做的功．[解析]变力F(x)所做的功为W＝eq\i\in（0，2，)（2x＋4）dx＋eq\i\in(2，5，）(x2＋2x)dx＝(x2＋4x）|eq\o\al(2，0)＋(eq\f（1，3)x3＋x2）｜eq\o\al（5，2）＝12＋60＝72（J)．『规律总结』1。对于给出物体在变力作用下沿与力相同方向运动的变力做功问题，可直接用定积分求解，计算公式W＝eq\i\in（a,b，)F(x)dx。2．注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．┃┃跟踪练习4__■设有一长25cm的弹簧,若加以100N的力，则弹簧伸长到30cm,求使弹簧由25[解析]设x表示弹簧伸长的长度（单位：厘米），F（x）表示加在弹簧上的力，设F（x)＝kx，依题意得x＝5时F(x）＝100,所以k＝20，x＝40－25＝15，所做的功为：Weq\i\in（0，15,)20xdx＝10x2eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs2\al\co1（15,0））＝2250（N·cm）＝22。5（J)．易混易错警示因被积函数和积分上下限确定不准致误典例5由抛物线y2＝8x(y〉0）与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积为（C)A．16－eq\f（32\r(2）,3) B．16＋eq\f(32\r（2）,3）C．eq\f（40,3) D．eq\f（14,3）[错解］选D．由y2＝8x（y〉0)得y＝eq\r(8x），由x＋y－6＝0得y＝6－x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y2＝8x,，x＋y－6＝0,)）得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,,y＝4.）)或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝18，,y＝－12。）)(舍去)．∴所求面积S＝eq\i\in(0，2,）