静定结构的内力

第三章静定结构的内力分析第3章静定结构的受力分析内容提要本章是整个结构力学的基础，将在理论力学、材料力学的基础上对梁、刚架、拱以及桁架等常用的典型静定平面结构进行受力分析，包括支座反力、内力的计算，内力图的绘制和各类结构受力性能的分析。3.1概述

主要任务：要求灵活运用隔离体的平衡条件，熟练掌握静定梁内力图的作法。分析方法：按构造特点将结构拆成杆单元，把结构的受力分析问题转化为杆件的受力分析问题。§3-1单跨静定梁的内力分析一、截面上内力符号的规定：

轴力—截面上应力沿杆轴切线方向的合力，使杆产生伸长变形为正，画轴力图要注明正负号；

剪力—截面上应力沿杆轴法线方向的合力,使杆微段有顺时针方向转动趋势的为正，画剪力图要注明正负号；

弯矩—截面上应力对截面形心的力矩之和,不规定正负号。弯矩图画在杆件受拉一侧，不注符号。NNQQMM二、用截面法求指定截面内力先计算左截面的内力，可取截面1以左隔离体进行分析。PPPP1.5aMZ1NZ1QZ1MU1NU1QU12Pa计算右截面的内力,也可取截面1以左隔离体进行分析。在这个隔离体上有集中力矩2Pa，三个未知力为：P2Pa1a1.5a1.5aP计算如图所示结构截面1的内力PP1.5a根据静力平衡条件求截面未知力：aM2N2Q2aP1.5a1.5a2PaPPP123(a)PP1.5a(d)1.5a22PaPN2M2Q2N3PaPQ3M3现取截面2左边的隔离体进行分析，根据三个平衡条件就可得出截面2上的三个未知力：此时应取截面3以上的隔离体进行分析比较简单。计算截面2的内力也可取截面2右边隔离体计算计算截面3的内力三、荷载、内力之间的关系（平衡条件的几种表达方式）q(x)d

xQ

Q+d

Q

MM+d

M（1）微分关系qd

x（2）增量关系Q

Q+

Q

MM+

Md

xPm（3）积分关系q(x)QA

QB

MAMB由dQ=–q·d

x由dM=Q·d

x水平杆件下侧受拉为正；竖向杆件右侧受拉为正。几种典型弯矩图和剪力图l/2l/2ml/2l/2Plq1、集中荷载作用点M图有一夹角，荷载向下夹角亦向下；Q图有一突变，荷载向下突变亦向下。2、集中力矩作用点M图有一突变，力矩为顺时针向下突变；Q图没有变化。3、均布荷载作用段M图为抛物线，荷载向下曲线亦向下凸；Q图为斜直线，荷载向下直线由左向右下斜§3-2分段叠加法作弯矩图MAMBqM+qPABqMBNAYAYBNBMAMAMBqMBMAMMMBMAMAMBMMM分段叠加法的理论依据：假定：在外荷载作用下，结构构件材料均处于线弹性阶段。ABO图中：OA段即为线弹性阶段AB段为非线性弹性阶段3m3m4kN4kN·m4kN·m4kN·m2kN·m4kN·m6kN·m3m3m8kN·m2kN/m4kN·m2kN·m4kN·m4kN·m6kN·m4kN·m2kN·m（1）集中荷载作用下（2）集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图（1）悬臂段分布荷载作用下（2）跨中集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图分段叠加法作弯矩图的方法：（1）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值；（2）分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。1m1m2m2m1m1mq=4kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEFG例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。[分析]该梁为简支梁，弯矩控制截面为：C、D、F、G叠加法求作弯矩图的关键是计算控制截面位置的弯矩值解：（1）先计算支座反力kNkN（2）求控制截面弯矩值取AC部分为隔离体，可计算得：取GB部分为隔离体，可计算得：kNkN1m1m2m2m1m1mq=4kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEFGABCDEFGABCDEFG17AC1713P=8kNADm=16kN.mGB4267GB782315308M图（kN.m）1797+_Q图（kN）§3-3多跨静静定梁梁一、多多跨静静定梁梁的几几何组组成特特性多跨静静定梁梁常用用于桥桥梁结结构。。从几几何组组成特特点看看，它它的组组成可可以区区分为为基本本部分分和附附属部部分。。二、分分析多多跨静静定梁梁的一一般步步骤对如图图所示示的多多跨静静定梁梁，应应先从从附属属部分分CE开始分分析：将支支座C的支反反力求求出后后，进进行附附属部部分的的内力力分析析、画画内力力图，，然后后将支支座C的反力力反向向加在在基本本部分分AC的C端作为为荷载载，再进行行基本本部分分的内内力分分析和和画内内力图图，将将两部部分的的弯矩矩图和和剪力力图分分别相相连即即得整整个梁梁的弯弯矩图图和剪剪力图图。。CA E（a）（b）EA CA CE（c）如图所所示梁梁，其其中AC部分不不依赖赖于其其它部部分，，独立立地与与大地地组成成一个个几何何不变变部分分，称称它为为基本部部分；而CE部分就就需要要依靠靠基本本部分分AC才能保保证它它的几几何不不变性性，相相对于于AC部分来来说就就称它它为附属部部分。ABCDEFGHPqABFGHqECDPDEFqCABPCABDEFPq分析下列多跨连续续梁结构几何构造造关系，并确定内内力计算顺序。注意：从受力和变形方面面看：基本部分上上的荷载仅能在其其自身上产生内力力和弹性变形，而而附属部分上的荷荷载可使其自身和和基本部分均产生生内力和弹性变形形。因此，多跨静定梁梁的内力计算顺序序也可根据作用于于结构上的荷载的的传力路线来决定定。CDFBAEBAECDFM图+Q图0M图+Q图CDBAEM图Q图2m2m2m1m2m2m1m4m2m80k

N·mAB40k

NCDE20k

N/mFGH80k

N·m2020404040k

NC2025520502020k

N/mFGH1020405585255040k

NCABFGH20k

N/m80k

N·m构造关系图205040401020405050205040402010402m2m2m1m2m2m1m4m2m80k

N·mAB40k

NCDE20k

N/mFGH2555585M图（kN·m）2540k

N5558520k

N/m251520354540Q图（kN）§4-1静定平面刚架的组组成特点及类型刚架是由梁和柱以以刚性结点相连组组成的，其优点是是将梁柱形成一个个刚性整体，使结结构具有较大的刚刚度，内力分布也也比较均匀合理，，便于形成大空间间。(a)(b)(c)(d)(e)下图是常见的几种种刚架：图（a）是车站雨蓬，图（（b）是多层多跨房屋，，图（c）是具有部分铰结点点的刚架。刚架结构优点：（1）内部有效使用空空间大；（2）结构整体性好、、刚度大；（3）内力分布均匀，，受力合理。一、平面刚架结构构特点：1、悬臂刚架2、简支刚架3、三铰刚架4、主从刚架二、常见的静定刚刚架类型下图所示两跨刚架可先建立投影方程计算，再对和的交点O取矩，建立力矩方程，计算RA，最后建立投影方程计算。Y=å0RCRCRBMO=å0X=å0RBxy0ABCO.刚架分析的步骤一一般是先求出支座座反力，再求出各各杆控制截面的内内力，然后再绘制制各杆的弯矩图和和刚架的内力图。。§4-2静定刚架支座反力力的计算在支座反力的计算算过程中，应尽可可能建立独立方程程。如图（a）三铰刚架，具有四四个支座反力，可可以利用三个整体体平衡条件和中间间铰结点C处弯矩等于零的局局部平衡条件，一一共四个平衡方程程就可以求出这四四个支座反力。XAl/2l/2qABCf(a)qfl/2l/2ABC(b)YAYBXBXAqfl/2l/2ABC(b)YAYBXBfl/2C(c)YBXBBXCYC于是O对O点取矩即得：l/2l/2qABCfOABDCOO’注意：三铰刚架结构中，，支座反力的计算算是内力计算的关关键所在。通常情况下，支座座反力是两两偶联联的，需要通过解解联立方程组来计计算支座反力，因因此寻找建立相互互独立的支座反力力的静力平衡方程程，可以大大降低低计算反力的复杂杂程度和难度。XCXCYCXDYBYAXAQCABqYCqPDC(b)PQqABDC(a)(c)如右图(a)是一个多跨刚架，，具有四个支座反反力，根据几何组组成分析：Ｃ以右右是基本部分、以以左是附属部分，，分析顺序应从附附属部分到基本部部分。①分段：根据荷载不连续点点、结点分段。②定形：根据每段内的荷载载情况，定出内力力图的形状。③求值：由截面法或内力算算式，求出各控制制截面的内力值。。④画图：画M图时，将两端弯矩矩竖标画在受拉侧侧，连以直线，再叠加上横向向荷载产生的简支支梁的弯矩图。Q，N图要标＋，－号；竖标大大致成比例。§4-3刚架的内力分析及及内力图的绘制例1.试计算图(a)所示简支刚架的支支座反力，并绘制制Ｍ、Q和N图。2m2m4mABCD40kN20kN/m(1)支座反力(a)20kN/mAB4m20kN/mAB4m160kN·m(b)(c)[解]。(2)求杆端力并画杆单单元弯矩图。40160AB(d)M图2m2m40kNBD602m2mBD40kN160kN·m16040BD40160AB160D4020kN/mAB4m802060Q图（kN)M图(kN·m）M图2m2m4mABCD40kN20kN/m602080802060Q图（kN)200B20N图（kN)40160AB160D40M图(kN·m）§5-1三铰拱的支座反力力和内力一、支座反力与同跨度同荷载对对应简支梁比较P2HAVAVBP1HBP1P2a1a2b1b2xxdDVAHP1dcl1ffyll1l2ccQoMoP1VAHP1QoHMDxy二、内力计算以截面D为例截面内弯矩要和竖竖向力及水平力对对D点构成的力矩相平平衡，设使下面的的纤维受拉为正。。ＨＱo三、受力特点（1）在竖向荷载作用下下有水平反力H;（2）由拱截面弯矩计算算式可见，比相应应简支梁小得多;（3）拱内有较大的轴向向压力N.x-a1xq=2kN.mP=8kN3mx2=3m7.5kNVAHVB2y2y012345678AB例1、三铰拱及其所受受荷载如图所示拱拱的轴线为抛物线线方程计算反力并绘制内力图。（1）计算支座反力（2）内力计算6m6mf=4m以截面2为例xq=2kN.mP=8kN2y2y012345678AB6m6m0.0001.1251.5001.1250.0000.3750.3754.5000.0000.6000.3540.0030.4721.0001.4213.3250.6001.0603.331M图kN.mQ图kNN图kN13.30010.9589.0157.7497.43311.6656.79611.23511.7007.500绘制内力力图若用合力力R代替截面面所有内内力，则则其偏心心距为e=M/N，显然我们们可以求求出各个个截面的的合力大大小、方方向和作作用点。。§5-2三铰拱的的压力线拱与受弯弯结构不不同，在在竖向荷荷载作用用下，它它不仅产产生弯矩矩和剪力力，还产产生轴力力。经过过合理设设计可使使其成为为以受压压为主的的结构体体系。拱截面一一般承受受三种内内力：M、Q、N。MQNeR因此拱结结构可采采用受压压性能良良好而受受拉性能能较差的的脆性材材料（如如砖石、、素砼））建造，，以保证证其良好好的经济济性。下面我们们研究拱拱截面的的受力情情况。1223ABC1223FGH（1）确定各各截面合合力的大大小和方方向：数解绘力多边边形射线D（2）确定各各截面合合力的作作用线合力多边边形索多边形形压力多边边形压力线大小和方方向作用线o如果是分分布荷载载，压力力线呈曲曲线，称称为压力力曲线；；如果是是集中荷荷载，压压力线呈呈多边形形，称压压力多边边形。压力线线可以以描述述拱的的工作作状况况。各各截面面合力力R若都沿沿拱轴轴切线线方向向作用用是最最理想想的情情况，，此时时各截截面内内只有有均匀匀分布布的正正应力力，拱拱处于于轴心心受压压状态态，如如果在在拱的的设计计中能能获得得上述述结果果，拱拱的经经济效效果将将最好好。§5-3拱的合合理轴轴线在固定定荷载载作用用下，，使拱拱处于于无弯弯矩状状态的的轴线线称为为合理理轴线线。由由上述述可知知，按按照压压力曲曲线设设计的的拱轴轴线就就是合合理轴轴线。。它是由由两项项组成成，第第一项项是简简支梁梁的弯弯矩，，而后后一项项与拱拱轴形形状有有关。。令在竖向向荷载载作用用下，，三铰铰拱的的合理理轴线线的纵纵标值值与简简支梁梁的弯弯矩纵纵标值值成比比例。。从结构构优化化设计计观点点出发发，寻寻找合合理轴轴线即即拱结结构的的优化化选型型。对拱结结构而而言，，任意意截面面上弯弯矩计计算式式子为为：例1、设三三铰拱拱承受受沿水水平方方向均均匀分分布的的竖向向荷载载，求求其合合理轴轴线。。yxxqABqfl/2l/2ABC[解]由式先列出出简支支梁的的弯矩矩方程程拱的推推力为为：所以拱拱的合合理轴轴线方方程为为：注意意*合理理轴线线对应应的是是一一组固固定荷荷载；；*合理理轴线线是一一组。。例2、设三三铰拱拱承受受均匀匀分布布的水水压力力，试试证明明其合合理轴轴线是是园弧弧曲线线。[证明]设拱在在静水水压力力作用用下处处于无无弯矩矩状态态，然然后由由平衡衡条件件推导导轴线线方程程。qdsRR+dRdoyNDNEd/2d/2q这表明明拱在在法向向均布布荷载载作用用下处处于无无弯矩矩状态态时，，截面面的轴轴力为为一常常数。。因N为一常数，，q也为一一常数数，所所以任任一点点的曲曲率半半径R也是常常数，，即拱拱轴为为园弧弧。DE例3、设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱的合理轴线，设填土的容重为，拱所受的分布荷载为 。qc+.ffxyyy*[解]由拱截面弯矩计算式在本例的座标系中可表达为：因事先 得不到，故改用q(x)和y(x)表示：对简支梁来说，而即特征方程为：设其特解

设悬链线线§7-1静定结构的的一般性质质静定结构的的几何特性性:无多余约束束的几何不不变体系;静定结构的的静力特性性:全部反力和和内力均可可由静力平平衡条件求求得，解答答是唯一的的。(1)非荷载因素素不产生反反力和内力力(2)平衡力系的的影响ABCPPP温度作用下下支座位移作作用下PP静定结构在在平衡力系系作用下，，只在其作作用的最小小几何不变变体系上产产生内力，，其它结构构构件上不不产生弹性性变形和内内力。注意：（3）荷载作等等效变换的的影响PAB（a）AB（b）ABP（c）PABPNN（4）构造作等等效变换的的影响ABAB二、虚功