通信原理第九章课件

第九章差错控制编码主要内容：纠错编码的原理线性分组码循环码重点：检错、纠错的概念分组码的结构汉明码循环码9.1引言9.2纠错编码的原理9.3常用的简单编码9.4线性分组码9.5循环码9.1引言检错重发法9.1.2差错控制的方法9.1.1编码的目的：提高信号抗加性干扰的能力干扰种类：加性克服方法：差错控制编码加性干扰的特征：突发信道：出现错码成串集中。混合信道：前两者中和。乘性克服方法：均衡器随机信道：出现错码是随机的，相互间统计独立。（白噪声）反馈校验法前向纠错方法定义误码率标准检错重发法：在接收端检测出错码时，通知发端重发信号，直到接收正确为止。此方法只能判断是否有错码，不能判断具体的错码位置。所以，只能检错不能纠错，且需要双向通道。前向纠错方法：在收端检测出错码时，可以确定错码的位置，并予纠正。此方法只需要单向通道。实时性好，但设备复杂。反馈校验法：接收端将收到的信号原封不动的发回发端，由发端将其与原发信号相比较，如果有错则重发。这种方法需双向通道，效率低，但设备简单。在信息码序列中加监督码元（也称纠错码）自动请求重发系统（ARQ）9.1.3差错控制编码的原理：不同的编码方法，有不同的检错或纠错能力，监督码元越多，检、纠错能力越强。由于信息码元是随机序列，收端无法预知信号状态，因而无法判别接收码是否有错。增加了监督码元之后，监督码和信息码之间存在一种逻辑关系，因此，收端可以利用这种逻辑关系发现或纠正存在的错码。自动请求重发系统（ARQ）工作过程：3）重发控制器收到重发命令时，控制输入缓冲储存器重发一次当前码组，否则发送后一码组。2）收端解码器检测出错码时由指令发生器产生重发命令传给发端，同时发出删除命令，删除输出缓冲器内容。1）收发正常时，重发控制与指令发生器不工作。重发控制信源双向通道指令发生器解码器输出缓存器收信者错误时删除编码输入缓存器优点：1）监督码少，占总码的(20%)2）对各种信道有一定的适应能力。3）成本及复杂性低。缺点：1）需要双向通道2）干扰大时系统可能处于重发循环中，效率降低3）实时性差例：天气预报9.2.1分组码的概念特征：分组码中的监督码元仅监督本码组中的信息码元。分组码定义：将信息码分组，为每组信息码后附加若干监督码元形成的码集合。分组码检错、纠错能力的体现信源发送信息码晴00云01阴10雨11接收信息码判别01云10阴00晴10阴结论：虽然接收码组有错，但接收端无法识别。讨论信源发送信息码监督码晴000云011阴101雨110接收码组判别001、010、100010、001、111100、111、001111、100、010建立分组码A错1位接收码组判别011、110、101云、雨、阴000、101、110晴、阴、雨110、000、011雨、晴、云101、000、011阴、晴、云错2位结论：只能检测出1位错码，但不能纠正。禁用码组：非信息码组许用码组：有效信息码组结论：能纠正1位错码，或检测出2位错码。信源发送信息码监督码晴00000云01011阴10101雨11110接收码组判别00001、00010、00100、01000、1000001010、01001、01111、00011、1101110100、10111、10001、11101、0010111111、11100、11010、10110、01110建立分组码B错1位接收码组判别11000、10100、10010、10001、01100、01010、01001、00110、00101、0001110011、11111、11001、11010、00111、00001、00010、01101、01110、0101001101、00001、00111、00110、11001、11110、11101、10011、10000、1010000110、01010、01100、01111、10010、10100、10111、11000、11011、11111错2位例：码组（a2a1a0）=110（b2b1b0）=011码距的几何概念码距是2最小码距

d0

：码集合中任意两两码组间距离的最小值（010）（110）（000）（100）（101）（001）（011）（111）a1a0a2选许用码组：000011110101令n=3,共有8个码组沿立方体各边行走，4个码组的距离均为2个边长

d0

=2∵∴

检测e个错码，要求最小码距

纠正t个错码，要求最小码距纠正t个错码、同时检测e个错码，要求最小码距码距与码集合检、纠错能力的关系AB例：

A=(00000)、B=(11111)，d0

=5

结论：e=4或

t=2或e=3、t=1d=1d=2d=39.3常用的简单编码9.3.1

奇偶监督码9.3.2

正反码例:信源发送信息码a2a1监督码a0晴000云011阴101雨110一维偶数监督码接收码组判别001、010、100010、001、111100、111、001111、100、010错1位满足：检验不满足只能检错，不能纠错2）当同时出错，则按行按列均不能检测出有错。

能检测部分偶数个错码适用于突发信道。

若仅一行有奇数个错码时，可通过列确定错码位置并纠正。1）设和发生错码，按行无法检测出有错，而按列可检测。a2a1a0000011101110000例：二维偶数监督码通式结论：

方阵码除对构成矩形四角的错码无法检测外，其余均能检测。特征：具有纠正

1

位错码、检测

2位和大部分

2位以上错码的能力定义：信息码位数与监督码位数相同

编码规则：1）当信息位中有奇数个“1”时，监督位是信息位的重复。2）当信息位中有偶数个“1”时，监督位是信息位的反码。10001例：若信息码为11001

9.3.2

正反码则正反码为110011100110001011101）将接收码组中信息码和监督码对应按位模2加，得合成码组2）根据接收码组中信息码含

“1”的奇偶情况，由合成码组生成校验码组

3）根据校验码组的组成，依表判断错码情况，并予检错与纠错译码规则：“1”为奇校验=合成“1”为偶校验=例9.4线性分组码9.4.1汉明码的编码原理9.4.2一般线性分组码的编码原理9.4.3线性码分组码的数学描述9.4.1汉明码的编码原理定义：能纠正一位错码，且编码效率较高的线性分组码问题：在正反码中，为纠正一位错码，其监督码位数与信息码位数一样多，能否减少监督码位数但纠错能力不变？如何实现纠错？思路：分组码(n,k)只可能出现

n个一位错码事件，若某种逻辑组合具有n个状态，就能利用这种逻辑组合描述一位错码事件并予纠正。例：分析偶数监督码，寻找逻辑组合汉明码∵

监督方程则接收时解码是在计算0无错1有错定义：校正子

S=只能表示出错不能描述错码位置一位监督码对应一个监督方程结论：若增加监督码元，建立多个监督方程，多个校正子就能形成逻辑组合描述错码位置汉明码确定监督码元位数r确定监督关系表建立监督方程建立编码方程∵分组码(n,k)共需n+1个状态描述无错及n个有错事件∴为提高编码效率，r取最小值例：已知(7,4)码，r=3∴共有3个监督方程，构成3个校正子S1S2S3S1S2S3000无错001a0错010a1错100a2错110a3错011a4错111a5错101a6错例例：∵汉明码的监督方程为∴矩阵表达式9.4.2一般线性分组码的编码原理（矩阵方程）记为：H：监督矩阵A：码组向量当称H为典型矩阵（含单位阵）思路：确定编码矩阵方程，构造生成矩阵又∵根据监督方程确定了编码方程∴两边同取转置构造生成矩阵称G为典型生成矩阵（含单位阵）∴编码矩阵方程特点：信息位不变，监督位附加于其后。定义系统码：由典型生成矩阵得出的码组A发码组A=1100010收码组B=1000010∴译码运算例：(7,4)汉明码,S1S2S3000无错001a0错010a1错100a2错110a3错011a4错111a5错101a6错∴a5错含义：错码图样E=（0100000）只有一位错码定义：线性码中任意两个码组之和仍为这种码中的一个码组证：设A1、

A2为线性码中两个许用码组两式相加∴是许用码组推广：1）两个码组间的距离必是另一码组的重量2）除

0码组之外，码组的最小重量是码集合的最小距离。线性分组码具有封闭性9.5循环码9.5.1码多项式9.5.2循环码的特性9.5.3循环码的编码方法码多项式的按模运算：9.5.1码多项式码多项式定义：以码组中各码元为系数的多项式T(x)=an-1xn-1+an-2xn-2+...+a1x+a0设多项式F(x)、除数为N(x)记：模N(x)注：多项式按模N(x)运算过程中，其系数按模2加运算（系数为二进制，只能取0或1，系数的相减均为模2加）。x仅为码元位置的标记例R(x)：余式例：(1100101)T(x)=x6+x5+x2+1例：解：记为：余式定理：若T(x)对应一个码长为n的许用码组，证：令∴T´(x)的系数是T(x)中系数向左循环移位i次的结果9.5.2循环码的特性码集合中任意一个码组，左移或右移一位得到的新码组必是该码集合中另一码组循环码的定义循环码的码多项式则xi

T(x)按模xn

+1运算后余式T´(x)

仍为许用码组。∴∵例例：(7,3)循环码,码组为(1100101)，求码多项式T(x)。

验证x3

T(x)按模x7

+1运算后余式仍是一个许用码组。解：

∵

T(x)=an-1xn-1+an-2xn-2+...+a1x+a0∴T(x)=x6+x5+x2+1∵x3

T(x)=x9+x8+x5+x3∴∴余式T´(x)对应码组为(0101110)是T(x)码组左移三位循环码的生成矩阵G9.5.3循环码的编码方法思路：确定编码矩阵方程，构造生成矩阵码生成多项式g(x)的定义循环码的监督矩阵H码生成多项式g(x)的求解例G是G(x)的系数矩阵循环码的检、纠错能力与n、k的值相关循环码生成矩阵G

的数学描述已知(7,4)汉明码G中每行均为一个码组，且线性无关是线性分组码的共性。循环码是线性分组码成员之一，其G除满足上述特性外，每行之间必须满足循环性。∵循环码每个码组对应一个码多项式∴以最简方式寻找k个线性无关的码多项式就能建立G(x)码生成多项式g(x)的定义定义：幂次为(n-k)的码多项式。（具有唯一性）分析循环码：循环码(n,k)的形成方法是在信息码后加监督码且保持移位循环的特征。除全零码组外，权值最小的信息码组为00...001

，且监督位a0

不可能为零，否则循环数次后码组前k

位均为零，而监督位不为零的情况，这不符合监督码的定义结论：信息码组

00...001

对应的码多项式必为(n-k)

次幂，且常数项不等于零∵信息码组

00...001

唯一∴码多项式唯一，且幂次最低，记为g(x)∴与g(x)线性无关的

k-1个码多项式为xg(x)、...xk-1g(x)，可组成生成矩阵G(x)

码生成多项式g(x)的求解定理：循环码(n,k)的g(x)是

xn

+1的一个(n-k)次因子。证：∵g(x)是幂次最低的码多项式∴任意一个码多项式T(x)都是g(x)倍数令T(x)=h(x)g(x)余式为码组∵∴xkg(x)=xn

+1+T(x)∴xn

+1

=

xkg(x)+T(x)模2加=

xkg(x)+h(x)g(x)=[xk+h(x)]

g(x)得证例：已知(7,3)循环码