2023届福建省连城县高三年级下册学期周考（一）数学试卷 【含答案】

连城一中2022-2023学年下期高三数学周考1试卷满分：150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.2.设非空集合，满足，则A.，有 B.，有C.，使得 D.，使得3.已知直线过抛物线：的焦点且与交于，两点，线段的中点关于轴的对称点在直线上，则（）A.3 B.4 C.5 D.64.已知均为单位向量，且.若，则（）A. B. C. D.5.已知函数，若在上的值域是，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.6.有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（）A.甲与丁相互独立 B.乙与丁相互独立C.甲与丙相互独立 D.丙与丁相互独立7.已知椭圆的左、右焦点分别为和，为上一点，且的内心为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.8.已知定义在上的可导函数f（x）的导函数为f（x），满足且为偶函数.为奇函数，若，则不等式的解集为（）A.B.C.D.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.给出下列说法，其中正确的是（）A.若数据，，…，的方差为0，则此组数据的众数唯一B.已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6C.一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等D.经验回归直线恒过样本点的中心（），且在回归直线上的样本点越多，拟合效果一定越好10.如图，四棱锥的底面ABCD是边长为正方形，底面ABCD，，E、F分别为PD、AB的中点，过C、E、F的平面与PA交于点G，则()

A．B．C．以P为球心，2为半径的球面与底面的交线长为D．四棱锥外接球体积为11.已知数列的前n项和为，，则下列选项正确的是（）A.数列的奇数项构成的数列是等差数列 B.数列的偶数项构成的数列是等比数列C. D.12.已知函数，其中实数，则下列结论正确是（）A.必有两个极值点B.有且仅有3个零点时，的范围是C.当时，点是曲线的对称中心D.当时，过点可以作曲线的3条切线三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.的展开式中的常数项为______．14.已如双曲线（，）的左右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为__________．15.过氧化氢（）是一种重要的化学品，工业用途广泛，通过催化和直接合成目前被认为是一种最有潜力替代现有生产方法的绿色环保生产途径.在自然界中，已知氧的同位素有17种，氢的同位素有3种，现有由，及，，五种原子中的几种构成的过氧化氢分子，则分子种数最多为______________.16.设点，，若直线AB关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________.四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本题10分）已知的内角所对的边分别为满足.(1)求角B的大小;(2)若,设的面积为S,满足,求b的值.18．（本题12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题.已知等差数列的公差为，等差数列的公差为2d.设，分别是数列，的前n项和，且，，_________.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.（本题12分）已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（1）证明：平面平面；（2）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值.20.（本题12分）冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，需要重新对高三年级学生加强训练.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6.（数据的最后结果都精确到整数）（1）求这40名学生测试成绩的平均分和标准差s；（2）假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布N（μ，），用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为的估计值.利用估计值估计，高二学生体能达标预测是否“合格”；（3）为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下：以4:0或4:1获胜队员积4分，落败队员积0分；以4:2或4:3获胜队员积3分，落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率.附：①n个数的方差；②若随机变量Z～N（μ，），则，，.21.（本题12分）已知椭圆的左､右焦点分别为点在上，的周长为，面积为（1）求的方程.（2）设的左､右顶点分别为，过点的直线与交于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，则__________.(从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答).①求直线和交点的轨迹方程；②是否存在实常数，使得恒成立；③过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过定点.22.（本题12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，，求的取值范围，并证明.

连城一中2022-2023学年下期高三数学周考1参考答案1—9.AC11.BC12.ABDCCA9.AC10.AC11.BC12.ABD13.14.15.1816.17.(1)由,得,根据正弦定理,得.因为,所以,所以.因为,所以,所以,则……………..5分(2)由,得.又由正弦定理得,所以,解得………….10分18.答案：答案一选择条件①.（1）数列，都是等差数列，且，，，，解得，，.综上，，……………6分（2）由（1）得，……………12分答案二选择条件②.（1）数列，都是等差数列，且，，，，，，.综上，，.（2）同答案一中的（2）.答案三选择条件③.（1）数列，都是等差数列，且，，.，解得，，.综上，，.（2）同答案一中的（2）.解析：19.【问1详解】如下图所示：设的中点为，连接，，由题意得，，；在中，，的中点为，.又在中，，，，，；又平面，平面；平面，又平面，平面平面…..5分【小问2详解】由（1）可知，，，平面，即为直线与平面所成的角，且，所以，当最短时，即为的中点时，最大；由图可知，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，；设平面的法向量为，则，令，得，即；易知，平面的法向量为，设二面角的平面角为，则所以，二面角的余弦值为…12分20.【问1详解】，第一组学生的方差为；解得；第二组学生的方差为；解得.这40名学生的方差为，所以；……5分【小问2详解】由，，得的估计值，的估计值.，∴.从而高三年级1000名学生中，不合格的有（人），又，所以高三年级学生体能达标为“合格”；……………..8分【小问3详解】设王强在这轮比赛得3分为事件A，他以的比分获胜为事件，他以的比分获胜为事件.则，；所以，设王强前3局比赛获胜的事件为B，则，所以…….12分21.（1）依题意，得，即，解得所以的方程….4分（2）选择①，设直线的方程为，联立方程，化简整理，得，假设，由韦达定理，得，得直线的方程：；直线的方程：；联立方程，得，两式相除，得，即，解得，所以直线和交点的轨迹方程是直线….12分选择②联立方程，化简整理，得，假设，由韦达定理，得，得于是故存在实数，使得恒成立.选择③，联立方程，得，化简整理，得，由韦达定理，得，直线与轴交于点，由对称性可知，，假设，即，则，所以，即，解得，所以直线恒过定点.22.解析：（1）解：因为，函数的定义域为，所以．当时，，所以函数在上单调递增．当时，由，得（负根舍去），当时，，当时，，所以函数在上单调递减；在上单调递增．综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增…………….5分（2）先求的取值范围：方法1:由（1）知，当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件．当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，要使函数有两个零点，首先，解得．因为，且，下面证明．设，则．因为，所以．所以在上单调递增，所以．所以的取值范围是．……….12分方法2:由，得到．设，则．当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以由．因为时，，且，要使函数有两个零点，必有．所以的取值范围是．再证明：方法1:因为，是函数的两个零点，不妨设，令，则．所以即．所以，即，，．要证，即证．即证，即证．因为，所以即证，或证．设，．即，．所以．所以在上单调递减，所以．所以．方法2:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．所以即．所以，即，，．要证，需证．即证，即证．因为，所以即证．设，则，．所以在上单调递减，所以．所以．方法3:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．所以即．要证，需证