常微分方程教学设计

#/8★精品文档★理论n阶常系数线性齐次方程的解法n阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性方程与振动现象第五章定性和稳定性理论简介第21讲稳定性概念及李雅普诺夫第二方法第22讲平面自治系统的基本概念平面定性理论简介(1)第23讲平面定性理论简介(2)第1讲微分方程与解微分方程什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题.300多年前，由牛顿(Newto设质量为m的物体，在时间t=0时，在距地面高度为H处以初始速度v(0)=v0垂直地面下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系•解如图1-1建立坐标系，设为t.于是物体下落的速度为加速度为质量为m的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力，当速度不太大时，空气阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律F=ma(力二质量X加速度)可以列出方程其中k>0为阻尼系数，g是重力加速度.(•=)00式就是一个微分方程，这里t是自变量，x是未知函数，是未知函数对t导数.现在，我们还不会求解方程()，但是，如果考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程()可化为将上式对t积分两次得()其中和()是两个独立的任意常数，它是方程()的解.一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关系式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程.本书所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程.例如下面的方程都是常微分方程(•=)('=)在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶.这样，一阶常微分方程的一般形式可表为如果在()中能将y‘解出，则得到方程或0称为一阶隐式方程，()称为一阶显式方程，()称为微分形式的一阶方程・n阶隐式方程的一般形式为n阶显式方程的一般形式为()在方程()中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数y',y"，…,y(n)的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程.这样，一个以y为未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式：显然，方程()是一阶线性方程；方程()是一阶非线性方程；方程()是二阶线性方程；方程()是二阶非线性方程.通解与特解微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.定义1.1设函数在区间I上连续，且有直到n阶的导数•如果把代入方程()，得到在区间I上关于x的恒等式，则称为方程()在区间I上的一个解・1•函数y=x2+C是方程()在区间(-8,+8)上的解，其中C是任意的常数・2•函数是方程()在区间上的解，其中C是任意常数•又方程()有两个明显的常数解y=±1,这两个解不包含在上述解中・3•函数立的任意常数・4•函数是方程(1.7)在区间(-8,+8)上的解，其中和是独立的是方程()在区间(-8,+8)上的解,其中和是独★精品文档★任意常数.这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，在(一8,+8)上有所以在上有从而该函数是方程()的解•从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数.我们把n阶常微分方程()的含有n个独立的任意常数C1,C2,…，Cn的解，称为该方程的通解，如果方程()的解不包含任意常数，则称它为特解.由隐式表出的通解称为通积分，而由隐式表出的特解称为特积分.由上面的定义，不难看出，函数分别是方程()，()和()的通解，函数和是方程()的通积分，而函数y=土1是方程()的特解•通常方程的特解可对通解中的任意常数以定值确定，这种确定过程，需要下面介绍的初始值条件，或简称初值条件.初值问题例1中的函数()显然是方程()的通解，由于和是两个任意常数，这表明方程()有无数个解，解的图像见下面的图a和图b所示•图a图b而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹.产生这种多解性的原因是因为方程()所表达的是任何一个自由落体，在任意瞬时t所满足的关系式，并未考虑运动的初始状态，因此,通过积分求得的其通解()所描述的是任何一个自由落体的运动规律.显然，在同一初始时刻，从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹.为了求解满足初值条件的解，我们可以把例1中给出的两个初始值条件，即初始位置x(0)=H初始速度代入到通解中，推得于是，得到满足上述初值条件的特解为()它描述了初始高度为H,初始速度为vO的自由落体运动规律•求微分方程满足初值条件的