2018高考山东理科数学试题及答案解析解析版

2017年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

数学(理科)第I卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1”2017年山东，理1,5分】设函数)=、：47；2的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B，则AB()(A)(1,2) (B)(1,2] (C)(-2,1) (D)[-2,1) 口【答案】D【解析】由4-x2>0得-2<x<2，由1-x〉0得x<1,AB={xI-2<x<2}{xIx<1}={xI-2<x<1}，故选D.(2)【2017年山东，理2,5分】已知aeR,i是虚数单位，若z=a+<3i,z•Z=4，则a=()(A)1或-1 (B)<7或-近 (C)-%3 (D)v3【答案】A _ _【解析】由z=a+<3i,z.Z=4得a2+3=4，所以a=±1,故选A.(3)【2017年山东，理3,5分】已知命题p：Vx〉0,ln(x+1)〉0；命题q:若a〉b，则a2〉b2，下列命题为真命题的是() _ _ __(A)paq (B)p△q (C)p△q (D)p△q【答案】B【解析】由x〉0时x+1〉1,ln(x+1)有意义，知p是真命题，由2〉12〉12；-1>-2,(-1)2<(-2)2可知q是假命题，即p,「q均是真命题，故选B.'x-y+3<0(4)【2017年山东，理4,5分】已知x、y满足约束条件[3x+y+5<0，则z=x+2y的最大值是()、x+3>0(A)0 (B)2 (C)5 (D)6【答案】Cx-y+3<0【解析】由卜x+y+5<0画出可行域及直线x+2y=0如图所示，平移x+2y=0发现，x+3>0当其经过直线3x+y+5=0与x=-3的交点(-3,4)时，z=x+2y最大为z=-3+2X4=5，故选C.(5)【2017年山东，理5,5分】为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y=b+1，已知丑x=225,£y=1600,b=4，该班某学生的脚iii=1 i=1长为24,据此估计其身高为()(A)160 (B)163 (C)166 (D)170【答案】C_【解析】x=22.5,y=160,aa=160-4x22.5=70,y=4x24+70=166，故选C.(6)【2017年山东，理6,5分】执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7,第二次输入的x值为9,则第一次、第二次输出的a值分别为()(A)0,0 (B)1,1 (C)0,1 (D)1,0【答案】D【解析】第一次x=7,22<7,b=3,32>7,a=1；第二次x=9,22<9,b=3,32=9,a=0，故选D.(7)【2017年山东，理7,5分】若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是()(A)a+b<2<log(a+b)(B)告<log(a+b)<a+b(C)a+b<log(a+b)<：(D)log2(a+b)<a+b<2―【答案】B

TOC\o"1-5"\h\z【解析】a〉1,0<b<1,，-b-<1,log(a+b)〉log2%防=1,2a+:〉a+-〉a+bna+-〉log(a+b),故选B.2a 2 2 b b2(8)【2017年山东，理8,5分】从分别标有1,2,…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()(A)— (B)4 (C)5 (D)718 9 9 9【答案】C【解析】改上=5,故选C.9x8 9(9)【2017年山东，理9,5分】在AABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若^ABC为锐角三角形，且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是( )(A)a=2b (B)b=2a (C)A=2B (D)B=2A【答案】A【解析】 sin(A+C)+2sinBcosC=2sinAcosC+cosAsinC 所以2sinBcosC=sinAcosCn2sinB=sinAn2b=a,故选A.(10)【2017年山东，理10,5分】已知当x£[0,1]时，函数y=(mx-1)2的图象与y=.鼠+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()(A)(0,1] [2瓜内)(B)(0,1] b,+8) (C)(0J2] [26,内)(D)[无][3,+8)【答案】B u U u U【解析】当0<m<1时，->1,y=(mx-1)2单调递减，且y=(mx-1)2£[(m-1)2,1],y=、.：x+m单调递增，且my=\：x+m£[m,1+m]，此时有且仅有一个交点；当m〉1时，0<—<1,y=(mx-1)2在[―,1]上单调m m递增，所以要有且仅有一个交点，需(m-1)2>1+mnm>3，故选B.第II卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题,每小题5分(11)【2017年山东，理11,5分】已知(1+3x)n的展开式中含有x2的系数是54,则n=【答案】4【解析】T=C(3x)『=C『-3-xr,令r=2得：C2・32=54，解得n=4.r+1 n n n(12)【2017年山东，理12,5分】已知e、e是互相垂直的单位向量，若<3e-e与e+九e的夹角为60。，则- 1 2 12 1 2实数九的值是.【答案】—3 一一 一一—一【解析】+2九e•e+九2e1 2 2)C【解析】+2九e•e+九2e1 2 2)Cr)-ehee+人e==1 2 1 2e-e-e=<r+xr,解得：九二苴.3-九,-e12-2x3e•e+e2=21 1 2 2(13)【2017年山东，理13,(13)【2017年山东，理13,5分】由一个长方体和两个1圆柱体构成的几何体的三视图如4图，则该几何体的体积为.【答案】2+-21 五【解析】该几何体的体积为V=—兀X12x1x2+2x1x1=-+2.4 2(14)【2017年山东，理14,5分】在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2-2=1(a〉0,a2b2b〉0)的右支与焦若|AF|+|BF|二4|OF|，则该双曲线的渐近线方程点为F的抛物线％2=2py若|AF|+|BF|二4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为.…、五【答案】y=±—x2x2y2【解析】IAFI+IBFI【解析】IAFI+IBFI=y+p+y+p=4xpny+y=p，A2B2 2AB因为，a2b2 na2y2一2pb2y+a2b2=0n，Ix2=2py所以y+y=2Pb=pna=\-'2bn渐近线方程为y=±±^x.ab a2 2(15)【2017年山东，理15,5分】若函数exf(x)(e=2.71828是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质。下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.①f(x)=2-x ②f(x)=3-x ③f(x)=x3 ④f(x)=x2+2【答案】①④ …【解析】①exf(x)=ex-2-x=[eT在R上单调递增，故f(x)=2-x具有M性质；12J②ex②exf(x)=ex-3-xx在R上单调递减，故f(x)=3-x不具有M性质;③exf(x)=ex-x3,令g(x)=ex-x3,贝|g，(x)=ex-x3+ex-3x2=x2ex(x+2),••当x>-2时，g，(x)〉0,当x<-2时，g'(x)<0,♦二exf(x)=ex.x3在(-3,-2)上单调递减，在(-2,+s)上单调递增，故f(x)=x3不具有M性质；④exf(x)=ex(x2+2)，令g(x)=ex(x2+2)，则g'(x)=exQ2+2)+ex-2x=ex[(x+1)2+1>0•二exf(x)=ex(x2+2)在R上单调递增，故f(x)=x2+2具有M性质.三、解答题：本大题共6题，共75分.(16)【2017年山东，理16,12分】设函数f(x)=sin(3x--6)+sin®x->，其中0<隆<3,已知f(-6)=0.(1)求①；… … 、 ... .-.(2)将函数f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移了个单位,得到函数g(x)的图象,求g(x)在4中上的最小值.解：(1)因为f解：(1)因为f(x)=sin(3x-—)+sin(3x--),6 2所以f(x)=-sin①x--cos①x-

2 2八 .八 3 八cos①x= sin①x——cos①x2 2=v3(2sin①x--2-cos=v3(2sin①x--2-cos①x)=Esin3x-1■)，由题设知f(-6)=0，所以等=—=k—,故3=6k+2,kgZ，又0<3<3，所以3=2.(2)由(1)得f(x)=%.3sin(2x—-)，所以g(x)=v3sin(x+―—-)=\3sin(x-—).3 43 12因为xg[—-，2]，所以x-—g[--,2]，当x--=--，即x=--时，g(x)取得最小值-344 12 33 12 3 4 2(17)【2017年山东，理17,12分】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120。得到的，G是DF的中点.(1)设P是GE上的一点，且AP±BE，求ZCBP的大小；(2)当AB=3,AD-2时，求二面角E-AG-C的大小.解：(1)因为AP±BE,AB±BE,AB,APu平面ABP,ABAP=A,所以BE1平面ABP,又BPu平面ABP，所以BE±BP，又/EBC=120。，因此匕ZCBP=30。.(2)解法一：取EC的中点H,连接EH,GH,CH.因为ZEBC=120。，所以四边形BEHC菱形，所以AE=GE=AC=GC=<32+22=<13.取AG中点M，连接EM,CM,EC.EM±AG,CM±AG,ZEMC为所求二面角的平面角.AM=1,EM=CM=<13^1=2<3.在ABEC中，/EBC=120。，由余弦定理EC2=22+2—2x2x2xcos120。=12,所以EC=2<3，因此AEMC为等边三角形，故所求的角为60。.解法二：以B为坐标原点，分别以BE,BP,BA所在的直线为1,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得A(0,0,3)E(2,0,0),G(1,<3,3),C(—1,43,0)，故AE=(2,0,—3),AG=(1,J3,0),CG=(2,0,3),设m=(1,y,z)是平面AEG的一个法1 1 11m•AE二0 121—3z=0,向量.由广0可得11厂1取z=2,得平面AEG的一个法向量m.AG-0 ［1+3yy—0, 1—> 1 ——> 1——>1m(3,—x；3,2).设n-(1,y,zT平面ACG的一个法向量.由］n"G-0可得卜2+也y2—0,取222 n-CG-0 121+3z-0,z-—z-—2，2m-n1可得平面ACG的一个法向量n-(3,—x3-2).所以cos<m,n>— ——.因此所求的角为60。."ImI-InI2（18）【2017年山东，理18，12分】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A,A,A,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A但不包含B的概率；C4 5则P(M)-C4 5则P(M)-Cr=1810解：（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A但不包含B的事件为M,13C5 1 C4C1 5(2)由题意知X可取的值为：0,1,2,3,4.则P(X=0)-f=—，P(X=1)—-1——,C5 42 C5 2110 10C3C2 10 C2C3 5 C1C4 1P(X—2)——6―4~= ,P(X—3)——6-4~——,P(X—4)—6―4-- ,因此X的分布列为C5 21 C5 21 C5 42 100 10 1 10_234P42211021212X的数学期望是EX=0xP(X=0)+1xP(X=1)+2xP(X=2)+3xP(X=3)+4xP(X=4)1 5 10 5 1—0x+1x +2x+3x+4x =2.42 21 21 21 42(19)【2017年山东，理19,12分】已知｛1｝是各项均为正数的等比数列，且1+1-3,1—1-2.n 12 32(1)求数列｛1｝的通项公式；n(2)如图，在平面直角坐标系10y中，依次连接点P(1,1),P(1,2),…，P(1,n+1)得到折线11 22 n+1n+1TOC\o"1-5"\h\zPPP，求由该折线与直线y-0,1-1,1-1所围成的区域的面积T.12 n+1 1 n+1解：(1)设数列｛1｝的公比为q,由已知q>0.由题意得［、+、q=3cn 11q2—1q-2… 、1 13q2—5q—2-0,因为q>0，所以q-2,1-1,因此数列｛1｝的通项公式为1-2n-1.1 n n(2)过P,P,P,……P向1轴作垂线，垂足分别为Q,Q,Q,……Q,123 n+1 123 n+1由(1)得1—1-2n—2n-1-2n-1.记梯形PPQQ的面积为b.n+1 n nn+1n+1n n

由题意b=(n+n+1)X2n-1=(2n+1)x2n-2,n2TOC\o"1-5"\h\z所以T=b+b+b+……+b=3x2-1+5x20+7x21+……+(2n-1)x2n-3+(2n+1)x2n-2①n12 3 n又2T=3x20+5x21+7x22+……+(2n-1)x2n-2+(2n+1)x2n-1② ①-②得n32(1—2n-1) (2n-1)X2n+1-T=3x2-1+(2+22+……+2n-1)-(2n+1)x2n-1=+-( )-(2n+1)x2n-1,「.T= ) ,n 2 1-2 n 2(20)【2017年山东，理20,13分】已知函数f(%)=%2+2cos%,g(%)=ex(cosx-sinx+2x-2),其中e=2.71828是自然对数的底数.(1)求曲线f(x)在点1"(兀))处的切线方程；(2)令h(x)=g(x)-af(x)(aeR)，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. …解：(1)由题意f(兀)=兀2-2，又f，(x)=2x-2sinx，所以尸(兀)=2兀，因此曲线y=f(x)在点(兀,f(兀))处的切线方程为y-G2-2)=2兀(x—兀)，即y=2兀x—兀2-2.(2)由题意得h(x)=e2(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx),因为h'(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)+ex(-sinx-cosx+2)-a(2x-2sinx)=2ex(x-sinx)-2a(x-sinx)=2(ex-a)(x-sinx)，令m(x)=x-sinx，则m'(x)=1-cosx>0，所以m(x)在R上单调递增.所以当x>0时，m(x)单调递减，当x>0时，m(x)<01)当aV0时，ex-a>0，当x<0时，h，(x)<0,h(x)单调递减，当x>0时，h，(x)>0,h(x)单调递增，所以当x=0时h(x)取得极小值，极小值是h(0)=-2a-1；2)当a>0时，h'(x)=2(ex-eina)(x-sinx)，由h'(x)=0，得x=Ina,x=0,1 2①当0<a<1时，ina<0,当xe(-8,lna)时，ex—eina<0,h'(x)>0,h(x)单调递增；当xe(lna,0)时，ex-eina>0,h'(x)<0,h(x)单调递减；当xe(0,+s)时，ex-eina>0,h'(x)>0,h(x)单调递增.所以当x=ina时h(x)取得极大值.极大值为h(in极大值为h(ina)=-a[in2a-2ina+sin(ina)+cos(ina)+2当x=0时h(x)取到极小值，极小值是h(0)=-2a-1；②当a=1时，ina=0，当xe(-8,+s)时，h，(x)>0，函数h(x)在(-8,+s)上单调递增，无极值;③当a>1时，ina>0所以当xe(-8,0)时，ex—eina<0,h，(x)>0,h(x)单调递增；当xe(0,ina)时，ex-eina<0,h'(x)<0,h(x)单调递减；当xe(ina,+8)时，ex—eina>0,、h，(x)>0,h(x)单调递增；所以当x=0时h(x)取得极大值，极大值是h(0)=-2a-1；当x=ina时h(x)取得极小值.极小值是h(ina)=-a[in2a-2ina+sin(ina)+cos(ina)+2].综上所述：当a<0时，h(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，函数h(x)有极小值，极小值是h(0)=-2a-1；当0<a<1时，函数h(x)在(-8,ina)和(0,ina)和(0,+s)上单调递增，在(i