考研基础班线性代数讲义

2012考研基础班线性代数

考研基础班线性代数讲义

第一讲基本概念

线性代数的主要的基本内容：线性方程组矩阵向量行列式（工

具）等

一.线性方程组的基本概念

线性方程组的一般形式为:

anxx+anx2H-------4,

。2内+。22%+…+。2印=%，

。机内++…+。机K”=0机，

其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.

线性方程组的解是一个n个数G，。2，…，。”构成，它满足:当每个方程中

的未知数匹都用G替代时都成为等式•

对线性方程组讨论的主要问题两个:

⑴判断解的情况.

线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.

[ax+by=c

\dx+ey=f

如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷

多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。（通过直角坐标系来进

行研究）

（2）求解,特别是在有无穷多解时求通解.

齐次线性方程组：4=%=..•=2=°的线性方程组.0,0,…，0

总是齐次线性方程组的解,称为零解.

因此齐次线性方程组解的情况只有两种：唯一解（即只有零解）和无穷

多解（即有非零解）.

二.矩阵和向量

1.基本概念

矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.

矩阵由数排列成的矩形表格，两边界以圆括号或方括号，m行n列的

表格称为mxn矩阵.这些数称为他的元素，位于第i行j列的元素称

为（i,j）位元素.

3-21

045是一个2x3矩阵.

对于上面的线性方程组,称矩阵

awan…a\na\\a\2…a\n仇

a2\“22…a2na2l。22…a2n

A二(A|0=

•・

和•••♦•••••••

aia、aa

mim2…a1m“ml,n2…mn

为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐

次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.

2009年的一个题中,一个方程组的系数矩阵为

1—1-11

—111

，常数列为T则方程组为

0—1-22

<-X]+x2+x3=-1,

-x2-2xn=2.

由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.

零矩阵:兀素都是0的矩阵.零向量:分量都是0的向量.

2.矩阵和向量的关系

书写中可用矩阵的形式来表示向量:写成一行或写成一列.

3

问题：（3,-2,1）和一2是不是一样？

1

作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵,它们不一样（左边是1x3矩

阵,右边是3x1矩阵）.习惯上把它们分别称为行向量和列向量.

一个mxn的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量；每一列

是一个m维向量，称为它的列向量.

3.n阶矩阵与几个特殊矩阵

nxn的矩阵叫做n阶矩阵.

把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.（其上的元素行

号与列号相等.）

下面列出儿类常用的n阶矩阵：

对角矩阵：对角线外的的元素都为。的n阶矩阵.

数量矩阵：对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵.

单位矩阵：对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E（或I）.

上三角矩阵：对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.

下三角矩阵：对角线上的的元素都为。的n阶矩阵.

对称矩阵:满足A7=A矩阵.也就是对任何i,j,（i,j）位的元素

和（1i）位的元素总是相等的n阶矩阵.

问题:下列矩阵都是什么矩阵？

100c002-11

①000②0c0③017

00200c000

011000

④120⑤000

100000

对角矩阵：①、②、⑤

上三角矩阵：①、②、③、⑤

下三角矩阵：①、②、⑤

对称矩阵：①、②、④、⑤

三.线性运算和转置

1.线性运算

是矩阵和向量所共有的.

①加（减）法:两个mxn的矩阵A和Q可以相加（减）,得到的和（差）仍

是mxn矩阵,记作A+B（4-8）,法则为对应元素相加（减）.

04-51-4310-2

+

11720-6311

两个同维数的向量可以相加（减），规则为对应分量相加（减）.

②数乘：一个数c与一个mxn的矩阵4可以相乘,乘积仍为mxn的矩

阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.

一个数c与一个n维向量。可以相乘,乘积仍为n维向量,记作C?.

法则为a的每个元素乘c.

c00

0c0=cE

00c

向量组的线性组合:设%，…，名是一组n维向量，。2,…,

Cs是一组数，则称C\a\+C2a2+,•,+Csas为。1，的…，%的

(以J,…C$为系数的线性组合.

3-14

507

例：求矩阵A的列向量组的系数为1,1,1的线性组

08_6

合.

把——个mxn的矩阵4行和列互换,得到的nxm的矩阵称为A的转置,

记作AT.

10

153

58

087

37

(A±B)T±BT

(CAY=cAr

—1

/=(-1.2.3)即a=2

3

四.矩阵的初等变换和阶梯形矩阵2页空白没用的，请掠过阅读吧哈，这2页空

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1.初等变换

矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有3类.

初等行变换：

①交换两行的位置.

②用一个非0的常数乘某一行的各元素.

③把某一行的倍数加到另一行上.ATB.

2.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足：

①如果它有零行，非零行,则都零行在下,非零行在上.

②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自

上而下严格单调上升.

1-32651

0024—63

000-394

00000

0-32651

0024—63

000-394

00000

1-32651

0004—64

000-394

00000

问题:对角矩阵,上三角矩阵，数量矩阵中，哪个一定是阶梯形矩

阵？

000011c00

0-100100c0

00200100c

一个n阶的阶梯形矩阵一定是上三角矩阵.

问题:如果4是阶梯形矩阵.

(1)Z去掉一行还是阶梯形矩阵吗？

(2)Z去掉一列还是阶梯形矩阵吗？

3.简单阶梯形矩阵

把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.

简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,满足：

③台角位置的元素为1.

④并且其正上方的元素都为0.

4.用初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵

每个阶梯形矩阵都可以用初等行变换化为简单阶梯形矩阵.

每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵

2-5613131-3265

1-32652-561313

—25—4—15-1—25-4-15-1

—11—4—91—11—4—91

1-32651-3265

0121301213

—

002-212002-212

0-2-2-36002-112

1-3265

01213

002-212

00010

1-32051-300-71000-34

012030100-90100—9

—

0020120010600106

000100001000010

请注意：

①从阶梯形矩阵化得简单阶梯形矩阵时，台角不改变.

②一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非

零行数和台角位置是确定的.

③一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.

4.线性方程组的矩阵消元法

消元法原理:用同解变换化简方程组然后求解.

线性方程组的同解变换有三种：

①交换两个方程的上下位置.

②用一个非0的常数乘某个方程.

③把某个方程的倍数加到另一个方程上.

反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.

矩阵消元法即用初等行变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵,

再讨论解的情况和求解.

例:

15111

03-2—1-2

山分.00314

000-24

00000

+当+%4=1

3々一2%3+%4=—2

3%3+%4=4

-2%4=4

矩阵消元法步骤如下:

⑴写出方程组的增广矩阵（A]〃），用初等行变换把它化为阶梯形

矩阵（8/）.

⑵用（87）判别解的情况：

如果最下面的非零行为（°，°，•…，°H）,则无解,否则有解.有解时看

非零行数r（r不会大于未知数个数n）,r=n时唯一解；r<n时无穷多

解.

⑶有唯一解时求解的初等变换法:去掉（）的零行，得到一个nX

（n+1）矩阵（8（）7（））,并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵

（£〃），则〃就是解.

%**…*

0“22*…*

（为九户

・・・♦・•♦・・・・・・♦・/()

000…bnn

100

010

■

・・・・・♦••I

000

就是解.

（A网T（同7）T（闻加）T（即）,〃就是解.

5111

3—2—1—2

->

0314

00-24

1510310001

03-20-403000

0030600102

0001-20001-2

解为（1,0,2,—2）.

对齐次线性方程组：

（1）写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.

（2）用8判别解的情况:非零行数r=n时只有零解;r<n时有非零解（求

解方法在第五章讲）.

推论：当方程的个数m<n时,有非零解.

第二讲行列式

1.形式和意义

形式:用n?个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为

一个n阶行列式：

a

\\。12…a\n

“21〃22…。2n

•・・・♦・・・・・・・（简记为aij）

Cln\iu〃o2,•,〃nn

意义:是一个算式，把这子个元素按照一定的法则进行运算，得到的数

值称为这个行列式的值.

请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.

当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号！（不必形式一

样,甚至阶数可不同.）

每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|4I.

行列式的的核心问题是值的计算.

一.定义（完全展开式）

2阶和3阶行列式的计算公式:

“11〃12

1221221

“21出2

aa〃12

Q[]6Z]2\3\\

。21a22。23。21。22“11^^22。33+。12〃23^^31+

。31。32。33。31“32

一。13〃22〃31-qI〃23“32一〃12。21〃33

一般地,一个n阶行列式

a>（一1）"、泌…力）。］a?，…Q山・

u7

ij=J'Mi2及njn

j\h---jn

这里

1.是许多（n!个）项的代数和（在求和时每项先要乘+1或T.）

2.每一项%，02/2•…〃叨…都是n个元素的乘积,它们取自

不同行,不同列.即列标人"2…Jn构成1,2,…,n的一个全排列

（称为一个n元排列），共有n!个n元排列,每个n元排列对应一项，因

此共有n!个项.

Z表示对所有n元排列求和.

3.规定工（I，，2…）〃）为全排列/，，2…力的逆序数.

称12-n为自然序排列,如果不是自然序排歹U,就出现小数排在大数

右面的现象,一对大小的数构成一个逆序.

逆序数可如下计算：标出每个数右面比它小的数的个数，它们的和

就是逆序数.

例如求436512的逆序数：

323200

436512,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.

用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为

0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.

例如下三角行列式

a\\00…00

a

2i。220…00

・・・♦・♦・・・・・・・・・0

an-\2••••••an-\n-\0

an2••••••ann-\ann

*12…n)

♦a

(-D22nn~%1〃22.-a

对角行列式，上(下)三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积

x—3ci—14

5x—80—2

0bx+1143

例求的X和X的系数.

221x

43

解析：X的系数是1；X的系数是-10

二.化零降阶法

1.余子式和代数余子式

元素0(/的余子式,是n把第i行和第j列划去后所得到的n-1

阶行列式,记作

4/的代数余子式为Aij=（一1）也此.

2.定理（对某一行或列的展开）行列式的值等于某行（列）的各元素与

其代数余子式乘积之和.

a二。21人2]+。22A22+a23A23+。24A24

n=4,IJ

例如求3阶行列式

-346

-201=(_3)An+4Al2+6A13=(-3)Mn-4M12+6m3

457

=(-3)x(-5)-4x(-18)+6x(-10)=27.

100

t100

0t10

例

000

=i+3—

解析:原式=1An+tAin

=1+(-1广丁

3040

2222

例求行列式0-700的第四行各元素的余子式的和.

53-22

解析:

所求为

"钻+"42+〃43+〃44=—^41+^42-^43+^44

原式=5441+3A42—2A43+2444

3040

2222

将原行列式换为0-700即他的值就是原题的余子式之

-11-11

和

一7432=7M32)

答案为-28（对第三行展开

3.命题第三类初等变换不改变行列式的值.

-346945

94

-201—001——=27

-187

4571857

2a100...........0

a?2a10...........0

0a?2a1...........0

A=

08题♦♦・♦♦・♦♦・・♦・・・・♦•・♦•・.证明|4|=(n+l)a"

0...................a~2a1

0...................0a22a

分析：

证明：初等变换

••・・•・

2a100•・・・・・02a1000

3a

3。••••••

......0000

0000T

2

4a

2<・・•.■

0a2a10000••••••0

T

......22

0a2a10.・・••.••・a2a1

・・・・・・・・2

0•0a2a0・・・・・・・・・0a22a

2a100.・..・・0

3a

000••.•.•0

2

4a

000•・・・•・0c3a4a(n+1)«.„

—3=2a--------------------=(〃+\)a"

・・・

•・・•.•23n

001

(n+l)a

0・・•・・・・・・00

n

4•化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,

再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.

三.其它性质

行列式还有以下性质：

3.把行列式转置值不变，即A，=4.

4.作第一类初等变换，行列式的值变号.

5.作第二类初等变换，行列式的值乘c.

问题：1cAi=?

cA，.cA，.c"A，.A

6.对一行或一列可分解，即如果某个行（列）向量，则原行列式等于两

个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行（列）向量a

换为万或/所得到的行列式.

例如|%夕1+夕2，，|二|戊，47|+|%夕2，7

K.|A+B|=|A|+|B|?

例如：

A=%a2a3\,B=（3XA|

A+5—|6Z|+0[a>+02戊3+夕3I

=CLX%+见氏+夕3I+I夕1%+夕2。3+夕3I

=%%%+夕3田/02+%+夕2

二...二A+BH—（另外的6个）

例设4阶矩阵

A=（6Z,/1,/2,/3）,B=（尸,％,72，/3）M=2,忸I=3,求|A+B

A+B=（a+。,2yl,2%,2.）,

A+B\^\a+夕,2%,2%,2%|=即+4力,%%

解：।

=8a,%,72，%+8|/,%,%，/3=40

7.如果一个行（列）向量是另一个行（列）向量的倍数,则行列式的值为

0.

8.某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积

之和=0.

abed

x-1-yz+1

例已知行列式1-zx+3y的代数余子式

y+2x+10z+3

An=-9,Ai2=3,A]3=—l,Ai4=3,求x,y,z.

-9x-3+y+3(z+1)=0x=・•・

解析：思路：利用性质8f.......n丁二…

拉普拉斯公式的一个特殊情形：

A*A0

如果/与方都是方阵（不必同阶），则0B=*B=间忸

1111

a2a3

222

%a2a3

范德蒙行列式：形如的行列式（或

・・・・・••••

n-in-in-i

%a2a3

其转置）.它由外,。2，。3,…，4所决定，它的值等于

n（%•-%）

i<j

因此范德蒙行列式不等于°=%,，•••，。〃两两不同.

对于元素有规律的行列式（包括n阶行列式），常常可利用性质简化计

算.

四.克莱姆法则

克莱姆法则当线性方程组的方程个数等于未知数个数n（即系数矩

阵1为n阶矩阵）时.A。0=＞方程组有唯一解.

此解为（，/|A|，2/|A|LDN/|A|）T,2是把|A|的第i个

列向量换成常数列向量尸所得到的行列式.

I.AW°是方程组有唯一解的充分必要条件.

（A⑼f（B|Z）

问题：A=B?

w0o忸|w0

于是只用说明Bw°是方程组有唯一解的充分必要条件.

2.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵（山广）作初等行变换,

使得A变为单位矩阵：（山万）T（同〃）；"就是解.

用在齐次方程组上：如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有

零解的充分必要条件是Aw°.

x1+x2+x3-a+b+c

22

ax{+bx2+cx3-a+b+c

例设有方程组

bcx}+acx2+abx3-3abc

⑴证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c两两不等.

⑵在此情况求解.

分析：

证明：（1）

111a+b+c

2.12.2阶梯形矩阵转换、

ucC/74-_1Lch/__1L_0r*

beacab3abc

111a+/7+c

227

ab-ac-ab+c-ab-acT

0ac-beab-bclabc-b2c-be2

111a+b+c

0b-ac-ab2+c2—ab—etc

00(c-tz)(c-/?)c(c-a)(c-b)

由克莱姆法则法则可知

Aw0——a）（c一a）（c一。）w0

故a,b,c两两不相等

11a+b+c

227

0b-ac—ab~+c-ab-acf

00(c-a)(c—。)c(c-a)(c—b)

110a+b100a

0b-a0b2-ab010b

(2)001001

解为X=(Q/,C)7

五.典型例题

例1

2aaaa

1+X111

a2aaa

11+X11

aa2aa

①②111+X1

aaa2a

1111+X

aaaa2

1+a111

22+a22

③333+a3

4444+a

④对角线上的元素都为0,其它元素都为1的n阶行列式.

②分析：

1+X1114+%111

11+%114+%1+X11

111+X14+x11+X1

1111+X4+无111+X

4+x111

0x00

->

解：00JC0

000x

所以值=J?（X+4）

①分析：与②同理

④分析：类型一致

③分析：把下面三行分别加到第一行

12345

23451

34512

例2

45123

51234

解:

12345152345152345

234511534510111—4

34512f154512011—41

4512315512301—411

512341512340—4111

111—4—111—4

1—41—11—41

-»15-»15

—411—1—411

111—1111

00—5

0—50

-»15

—500

000

所以值=15X125=1875

1+x,111

1l+x211

例3111+邑1

111l+x4

解:

1+Xj111

11+%211

111+%31

1111+/

1111X1111

11

11+%21+01+%21二•

111+%31011+x31

1111+%40111+%4

%)0001000再100

0x001々oo0100

2--------1—・++­••+

%3°

00x3010%3001

000%4100x4010%4

=4xix2x3x4+…

例4证明分析：

证明：归纳法：展开递推

a+bb0…00

aa+bb…00

〃Z7n+1A

(当QWZ?时)

勺a—b

000…a+bb

000…aa+b

->递推公式2=(a+b)D"_「abDr2

再用归纳法证明之

也可以:

ab0•••00bb0­••00

aa+bb•••000a+bb•••00

・・・.•・・・・・・・•・・・・・+•・・・・・・・・・・・•・・・・・

000…a+bh000•••a+bb

000•••aa+h000•••aa+b

ab0­••00

0ab…00

=bDn-l+•••♦・♦•・・・•♦・・.=•••=

000•­•a+bb

000•••aa+h

ah0•••0Q

0ah---00

皿T+=bD“_+an

000•••ah

000•­•0«

a=b0i+a"⑴

另OnnMl+b'Q〉

n+lrn+1

n+xn+x

①xa—⑵xbf(a—b)D"=a-bDn=~~^―(当QHb时)

a-b

另当〃=/?时

2aa000

a2aa…00

•a•・・・・・•・・・・・・・•・其值为5+1)/

000•••2aa

000•••a2a

推广：(ab=cd)

ci+bd000

ca+bd•••00n+x

a

•・♦・・••・♦・•・・・•・・・其值为£一匕

a-b

000,,•ci+bd

000•••ca+b

第二讲行列式

1.形式和意义

形式:用r?个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为

一个n阶行列式：

a\\"12…a\n

的1。22…

....................（简记为阳）

an\an2…ann

意义:是一个算式,把这/个元素按照一定的法则进行运算,得到的数

值称为这个行列式的值.

请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.

当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号！（不必形式一

样,甚至阶数可不同.）

每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作A.

行列式的的核心问题是值的计算.

定义（完全展开式）

2阶和3阶行列式的计算公式:

a\\a\2

—Cl11022-G[2,21

a2\。22

aaaa

Hi2。13\\\2

aa

2\a22。232\a223^^21^39

aaa—•

3\32。333\。32

aj।।C/LJd।d

般地,一个n阶行列式

a，（—1）"//‘'/）〃〃…Q..

uv7

ij==1/2/2njn

jiJr-jn

这里

1.是许多（n!个）项的代数和（在求和时每项先要乘+1或T.）

2.每一项的j1，“2/2…都是n个元素的乘积,它们取自

不同行,不同列.即列标木"2…Jn构成1,2.…,n的一个全排列

（称为一个n元排列），共有n!个n元排列,每个n元排列对应一项，因

此共有n!个项.

Z.表示对所有n元排列求和.

7172,,Jn

3.规定Di，…力）为全排列Jvh…的逆序数.

称12-n为自然序排列,如果不是自然序排歹U,就出现小数排在大数

右面的现象,一对大小的数构成一个逆序.

逆序数可如下计算：标出每个数右面比它小的数的个数，它们的和

就是逆序数.

例如求436512的逆序数：

323200

436512,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.

用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为

0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.

例如下三角行列式

a\\00…00

。21。220,••00

・♦・・・♦・♦・・♦・・♦・0

an-Uan-\2••••••0

n••••••H

Un\Un2Unn-\^nn

工(12…〃)a・・

:(一1)ll22nn-%］。22.Q

对角行列式，上(下)三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积

x—3a—14

5x-80-2

例求°bx+11的X4和丁3的系数.

221x

43

解析：X的系数是1;汇的系数是-10

二.化零降阶法

1.余子式和代数余子式

元素的余子式,是n把第i行和第j列划去后所得到的n-1

阶行列式，记作M，：/.

aij的代数余子式为Aij=（T）""）.

2.定理（对某一行或列的展开）行列式的值等于某行（列）的各元素与

其代数余子式乘积之和.

21^2122A22+423423+”24424

n=4,=a

例如求3阶行列式

-346

-201-

=(3)An+4Ai2+6Ai3=(一3)4Ml2+61H3

457

=(-3)x(-5)-4x(-18)+6x(-10)=27.

100

100

0t10

例

0001

1

解析:原式=1Au+tAu,=1+八(-1)""〃

=1+(-1产/

3040

2222

例求行列式0-700的第四行各元素的余子式的和.

53-22

解析:

所求为

42+加43+“44=_441+^42—443+^44

M41+Af

原式=5441+3442—43

2A+2A44

3040

2222

将原行列式换为0-700即他的值就是原题的余子式之

-11-11

和

答案为-28（对第三行展开一7人32=7河32）

3.命题第三类初等变换不改变行列式的值.

-346945

94

-201—001———27

-187

4571857

2a100・・•…0

a1la10・・•…0

0a12a1・・•••・0

A-

08题•・・.................・・・.........•.......证明㈤=(n+l)an

0.................•a12a1

0••・.................・0/2,2

分析：

证明：初等变换

0••■・•・

2a100・・・・•・02a100

3a0■■■■••

000・・.•♦・00--00

T2

2....•.色0••••••

0a2a100c0

—3•••

・・・•,.,1

0••a2a10­•....…Q?2Q1

0•・・•・・•・・0a~2a0••・・♦・…0a2la

2a100••.•・•0

3〃

000•..•・.()

2

4a

000•..•..03a4a

=2a•-----------=(n+V)a

3T'T'

・..・♦・••・•♦・・・・••・•n

0.••••.・••01

(n+V)a

0...•....・00

n

4.化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,

再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.

三.其它性质

行列式还有以下性质：

3.把行列式转置值不变，即A，=A.

4.作第一类初等变换，行列式的值变号.

5.作第二类初等变换，行列式的值乘c.

问题：|词=?

cA.cA.c〃A.

，，，

6.对一行或一列可分解，即如果某个行（列）向量，则原行列式等于两

个行列式之和，这两个行列式分别是把原行列式的该行（列）向量a

换为分或/所得到的行列式.

例如|私4+夕2，/|=1%4，，+1%夕2，7

问题：A+B=A+3?

例如：A=|%的的I,8=I才I

+

|A+B[=|%+4%+四«3AI

=|/a”%«3+A|+|A%+62«3+AI

=1/a?«3+A|+|42^3+Al+lA%+42

=...=国+怛|+…（另外的6个）

例设4阶矩阵

A=（a,%,72，/3），8=（夕，/"2，/3），|川=2,|B|=3,求|A+B

A+3=（a+#,2%2y2,2/3），

\A+B\=\a+2%,2%,2刃=81a+

用牛：

=8|a,/1,/2,73|+8|^,71,72,/3|=40

7.如果一个行（列）向量是另一个行（列）向量的倍数,则行列式的值为

0.

8.某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积

之和=0.

abed

x-1-yz+1

例已知行列式1-zx+3y的代数余子式

y+2x+10z+3

An=-9,Ai2—3,Ai3=-1,Au—3,求x,y,z.

一9元-3+y+3(z+1)=0x=…

解析：思路：利用性质8f.....n丁二…

拉普拉斯公式的一个特殊情形：

A*A0

=|A悯

如果/与方都是方阵（不必同阶），则nR

UD*B

1111

%a2an

2222

axa2a3%

范德蒙行列式：形如的行列式（或

•••,•••••

n-\n-\n-\n-\

qa2a3an

其转置）.它由。1，。2，。3,…，4所决定，它的值等于

n（%•-%）

i<j

因此范德蒙行列式不等于°=《，，口3，•••，。〃两两不同.

对于元素有规律的行列式（包括n阶行列式），常常可利用性质简化计

算.

四.克莱姆法则

克莱姆法则当线性方程组的方程个数等于未知数个数n（即系数矩

阵1为n阶矩阵）时.A。0=＞方程组有唯一解.

此解为（，/|A|，2/|A|LDN/|A|）T,2是把|A|的第i个

列向量换成常数列向量尸所得到的行列式.

I.AW°是方程组有唯一解的充分必要条件.

（A⑼f（B|Z）

问题：A=B?

w0o忸|w0

于是只用说明Bw°是方程组有唯一解的充分必要条件.

2.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵（山广）作初等行变换,

使得A变为单位矩阵：（山万）T（同〃）；"就是解.

用在齐次方程组上：如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有

零解的充分必要条件是Aw°.

x1+x2+x3-a+b+c

22

ax{+bx2+cx3